لنفترض أنني أريد الحصول على حجم مكعب، حيث

أن قيم المكعب-- لنقل اكس بين-- اكس اكبر

من أو يساوي 0، أقل من أو يساوي،

لا أعرف، 3.

لنفترض أن y هو أكبر من أو تساوي 0، وهو

أقل من أو يساوي إلى 4.

وثم دعنا نقول أن ع أكبر من أو يساوي 0 و

أقل من أو يساوي 2.

وأنا أعلم، باستخدام هندسة الأساسية يمكن أن تستنتج

كما تعلم، مجرد ضرب العرض في الطول في العمق

بعدها ستحصل على الحجم

ولكن أريد أن أفعل هذا المثال، حتى تعتاد على

كيف يبدو الـ التكامل الثلاثي ، كيفية إرتباطه

بالـ التكامل الثنائي، وثم بعد ذلك في الفيديو التالي يمكن أن نحل

شيئا يبدو قليلاً أكثر تعقيداً

لذلك دعونا، نرسم هذا

هذا محور الـ اكس
هذا محور الـ زي

وهذا محور الـ واي

x، y، z.

اكس، واي، زي

حسناً

قيمة اكس تقع بين صفر و ٣

هنا اكس تساوي صفر

هنا اكس تساوي ٣، لنعد واحد اثنين ثلاثة

و الـ واي بين صفر و ٤

1، 2، 3، 4.

حيث أن الفضاء أكس - واي سيبدو شيئا من هذا القبيل

انه نوعاً ما قاعدة المكعب، ستبدو شيئا من هذا القبيل

وبعد ذلك، زي بين صفر و ٢

هنا الصفر، هو في الفضاء اكس - واي

وبعدها اثنين ستكون هنا، في الجزء العلوي

وربما سأفعل ذلك بألوان مختلفة بعض الشيء

ولهذا فهذه على محور الـ زي

سيكون لديك حد هنا، وبعد ذلك حد آخر هنا

تأتي مثل هذا

لديك حد هنا، يأتي في مثل ذلك

حد آخر هناك

نريد معرفة حجم هذا المكعب

ويمكنك أن تفعل ذلك

يمكن القول، أيضا، وهو العمق 3، القاعدة، العرض هو 4،

حتى أن هذا المجال هو 12 مرة الارتفاع.

2 12 مرة من 24.

يمكنك أن تقول أنها 24 وحدة مكعب، أيا كان

وحدات نقوم به.

ولكن دعونا نفعل ذلك كثلاثي لا يتجزأ.

حتى ماذا يعني لا يتجزأ من ثلاثي؟

حسنا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن الحجم جداً

الصغيرة-لا أريد أن أقول المنطقة اليوم لوحدة تخزين صغيرة جداً.

لذلك دعونا نقول أردت أن تأخذ حجم مكعب صغير.

بعض المكان في هذا اليوم في وحدة التخزين تحت السؤال.

وأنها سوف تبدأ في أكثر من معنى، أو يبدأ لتصبح

الكثير أكثر فائدة، عندما يكون لدينا حدود متغيرة و

الأسطح والمنحنيات كحدود.

ولكن دعنا نقول أننا نريد معرفة حجم هذا

مكعبات صغيرة قليلة، هنا.

هذا هو بلدي المكعب.

من مكان ما في هذا المكعب أكبر، هذا المستطيل أكبر،

مكعب المستطيل، أيا كان الذي تريد تسميته.

فما هو حجم هذا المكعب؟

دعنا نقول أن ما عرض هو dy.

حيث يكون طول هناك حق dy.

هو أنه في ذروة dx.

عذرا، لا، هذا الارتفاع هو dz، الحق؟

الطريقة التي وجهت عليه، ع صعودا وهبوطاً.

ومن العمق dx.

هذا هو dx.

وهذا هو dz.

وهذا هو dy.

حيث يمكنك أن تقول أن كمية صغيرة داخل هذا أكبر

وحدة التخزين-هل يمكن تسمية ذلك dv، هو نوع من

حجم التفاضلية.

وسيكون ذلك يساوي، يمكن القول، أنها مجرد

العرض الأوقات الطول أوقات ذروة.

dx الأوقات dy مرات dz.

ويمكن التبديل بناء على أوامر من هذه، الحق؟

لأن تكاثر التضامنية، وتأمر

لا يهم وكل ما.

ولكن على أية حال، ماذا يمكنك أن تفعل معها هنا؟

حسنا، يمكن أن نتخذها في المتكاملة.

تكاملات جميع تساعدنا على القيام به هو يساعدنا تأخذ مبالغ لا حصر له من

مسافات صغيرة متناهية، مثل dz أو dx أو

dy، إلخ.

لذا، ما يمكن أن نفعله أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب و

أولاً، إضافة في، دعنا نقول، باتجاه z.

حتى أننا يمكن أن يأخذ هذا المكعب وثم إضافته على طول لأعلى و

أسفل محور اليوم محور "ع"-حيث أن نحصل

حجم العمود.

حتى ما تود أن تبحث؟

حسنا، وبما أننا في طريقنا صعودا وهبوطاً، كنت مشيراً إلى أننا-نحن

أخذ المبلغ في اتجاه z.

سيكون لدينا يتجزأ.

ومن ثم ما هو أقل قيمة z؟

حسنا، z أنه يساوي 0.

وما هو الحد الأعلى؟

كما لو كنت مجرد اتخاذ-الاحتفاظ بإضافة هذه المكعبات، و

الاحتفاظ بالصعود، يمكنك أن تصل إلى الحد الأعلى.

وما هو الحد الأعلى؟

Z أنه يساوي 2.

والطبع، كنت تأخذ مجموع هذه dv.

وأنا اكتب dz أولاً.

فقط حيث أنه يذكرنا بأن ونحن في طريقنا إلى

أخذ متكاملة فيما يتعلق z أولاً.

ودعونا نقول أننا سنفعل y التالي.

وبعد ذلك سنفعل x.

وحتى هذا المتكاملة، هذه القيمة، كما قمت بكتابة، سوف

معرفة حجم عمود إعطاء أي x و y.

أنها سوف تكون مهمة من x و y، ولكن بما أننا نتعامل مع

جميع الثوابت هنا، فهو فعلا سيكون

قيمة ثابتة.

أنها سوف تكون قيمة ثابتة من حجم واحد

من هذه الأعمدة.

ذلك في الأساس، سيكون dx dy 2 مرات.

لأن ارتفاع أحد هذه الأعمدة 2،

ومن ثم، مع وعمقه dy و dx.

ثم حتى إذا كنا نريد معرفة حجم كامل اليوم ما

وقد فعلنا الآن هو أننا احسب ارتفاع عمود.

حتى ذلك الحين يمكن أن نأخذ هذه الأعمدة وجمع لهم

في اتجاه y.

حتى إذا كنت الجمع ونحن في اتجاه y، أننا يمكن أن تأخذ فقط

متكاملة أخرى من هذا المبلغ في اتجاه y.

ويذهب y من 0 إلى ماذا؟
يذهب y من 0 إلى 4.

لقد كتبت هذا المتكاملة قليلاً جداً الآن من

غادر، يبدو غريبا.

ولكن أعتقد أن تحصل على الفكرة.

y يساوي 0، إلى y يساوي 4.

ثم أنه سوف يعطي لنا حجم الورقة التي يتم

وإلى جانب الطائرة زد.

والكل ثم تركنا للقيام بإضافة حتى حفنة من تلك

أوراق في اتجاه x، وسيتعين علينا أن الحجم

لدينا رقم كامل.

حيث إضافة تلك الأوراق، سيتعين علينا أن مجموع

في اتجاه x.

وسوف نذهب من x يساوي 0، إلى x يساوي 3.

وتقييم هذا في الواقع إلى حد ما

مباشرة.

وهكذا، أولاً نقوم متكاملة فيما يتعلق z.

حسنا، ليس لدينا أي شيء مكتوب تحت هنا، ولكن علينا

يمكن أن مجرد افتراض أن هناك حق 1،؟

لأن أوقات dz dy مرات dx هو الشيء نفسه

dz مرات 1 مرات dy dx.

فما هو قيمة هذا لا يتجزأ؟

حسنا، أنتيديريفاتيفي 1 فيما يتعلق

z z عادل، يصح؟

لأنه مشتق z هو 1.

وتقييم ذلك من 2 إلى 0.

حتى ذلك الحين كنت غادرت مع--لذلك فإنه ناقص 0 2.

حتى كنت فقط غادرت مع 2.

لذلك كنت غادرت مع 2، ويمكنك اتخاذ المتكاملة من ذلك من

y يساوي 0، إلى y يساوي 4 دي، ومن ثم

لديك x.

من x يساوي 0، إلى x يساوي 3 dx.

والإشعار، عندما اتخذنا فقط متكاملة فيما يتعلق

z، لقد انتهى الأمر مع متكاملة مزدوجة.

وهذا متكاملة مزدوجة هي متكاملة الدقيق سيكون لدينا

حرر في أشرطة الفيديو السابقة في حيث لا يتجزأ، مزدوجة لك

أن ذكرته للتو، حسنا، z دالة x و y.

حيث أنك قد قمت بكتابة، تعلمون، z، دالة x

وص، دائماً يساوي 2.

وهي دالة مستمرة.

ومستقل عن x و y.

ولكن إذا كنت قد حددت z في هذا الطريق، وأنت تريد أن

معرفة الحجم تحت هذا السطح، حيث السطح

هو يساوي 2-تعلمون، وهذا سطح، هو z z

يساوي 2-أننا قد انتهى مع هذا.

لذا ترى أن ما نقوم به مع الثلاثي

لا يتجزأ، حقا، حقا أنها شيء مختلف.

وحسنا، كنت قد يتساءل لماذا نحن

يفعل ذلك على الإطلاق؟

وسوف يظهر لك أنه في المرة ثانية.

ولكن على أية حال، لتقييم هذا، هل يمكن أن

أنتيديريفاتيفي من ذلك فيما يتعلق بذ، يمكنك الحصول على 2y-اسمحوا

لي أن انتقل لأسفل قليلاً.

يمكنك الحصول على 2y تقييم ذلك في 4 و 0.

ومن ثم، لكي تحصل على 4 2 مرات.

ولذا فإن 8 ناقص 0.

وثم يمكنك دمج ذلك من، مع احترام

إلى العاشر من 0 إلى 3.

هذا هو x 8 من 0 إلى 3.

حيث أنه سوف يكون مساوياً ل 24 أربع وحدات مكعبة.

إذا كنت لا تعرف السؤال البديهي، ما هو جيد لهذا؟

حسنا، إذا كان لديك نوع من قيمة ثابتة داخل

وحدة التخزين، أنت على حق.

يمكن فقط القيام تكامل مزدوج.

ولكن ماذا لو كان لي أن أقول لكم، هدفنا عدم معرفة

وحدة التخزين لهذا الرقم.

أن هدفنا معرفة الكتلة من هذا الرقم.

وحتى أكثر من ذلك، هذا الحجم-هذا المجال من الفضاء أو

أيا كان-كتلتها ليست موحدة.

إذا كانت كتلتها موحدة، يمكن أن قمت بضرب فقط الزي العسكري

كثافة إضعاف حجمه، وسوف تحصل على كتلتها.

ولكن لنفترض أن التغييرات الكثافة.

يمكن أن يكون حجم بعض الغاز أو أنه يمكن أن يكون حتى بعض

المواد مع المركبات المختلفة فيه.

لذلك دعونا نقول أن كثافته دالة متغير

من x و y، و z.

لذلك دعونا نقول أن الكثافة-هذا الصف، هذا الشيء الذي يبدو

مثل ف ما عادة استخدام في الفيزياء للكثافة-حتى

كثافته دالة x، y، و z.

دعونا اليوم فقط لجعلها بسيطة-ولجعل

فس مرات مرات y z.

إذا كنا نرغب في معرفة كتلة أي وحدة تخزين صغيرة، فإنه

وسيكون أن حجم أوقات الكثافة، الحق؟

لأن كثافة-الوحدات الخاصة بكثافة مثل كجم

متر مكعبة.

حتى إذا قمت بضرب من الأوقات أمتار مكعبة، تحصل على كجم.

لذلك يمكن أن نقول أن الكتلة-حسنا، سوف تشكل التدوين، د

الجماعية-هذه ليست مهمة.

حسنا، أنا لا أريد أن يكتب لها في أقواس، لأن ذلك

يجعلها تبدو وكأنها دالة.

وهكذا، سوف كتلة تفاضلية جداً، أو كتلة صغيرة جداً،

على قدم المساواة الكثافة في تلك المرحلة، التي ستكون xyz،

إضعاف الحجم من تلك الكتلة الصغيرة.

وهذا الحجم من تلك الكتلة الصغيرة يمكن أن نكتب ك dv.

وإننا نعلم أن العنف المنزلي هو الشيء نفسه كأوقات العرض

أوقات ذروة العمق.

dv لا ينبغي دائماً أن يكون dx الأوقات dy مرات dz.

إذا أننا نقوم بالإحداثيات الأخرى، إذا نقوم به

الإحداثيات القطبية، يمكن أن يكون شيئا مختلفاً بعض الشيء.

وسنفعل ذلك في نهاية المطاف.

ولكن إذا كنا نرغب في معرفة الكتلة، منذ ذلك الحين نستخدمه

إحداثيات rectangular، سيكون من دالة الكثافة

عند هذه النقطة مرات حجم التفاضلية.

بذلك أوقات dx dy dz.

والطبع، نستطيع أن نغير النظام هنا.

لذلك عندما تريد معرفة الحجم-عندما تريد

معرفة الكتلة-التي سوف أفعل في الفيديو التالي، ونحن

وسيكون أساسا لدمج هذه الدالة.

بالمقارنة مع 1 فقط على z، y و x.

وأنا ذاهب إلى القيام بذلك في الفيديو التالي.

وسترى أنها حقا فقط كثير من أخذ الأساسية

أنتيديريفاتيفيس وتجنب أخطاء الإهمال.

وسوف نراكم في الفيديو التالي.