Odejmowanie 2

Różne sposoby spojrzenia na odejmowanie

Zróbmy najpierw małą powtórkę.

Co wiemy już o odejmowaniu ?

Jeżeli powiem "pięć odjąć trzy"

To co to oznacza ?

Możemy potraktować takie odejmowanie

na parę różnych sposobów.

Moglibyśmy na przykład pójść na jagody

i powiedzmy, że nazbierałbym aż pięć jagód.

Jedna, druga, trzecia, czwarta, piąta.

Mógłbym mieć w koszyczku pięć jagód - ale wyżerka !

I kiedy mówię "minus trzy"

albo "odjąć od nich trzy"

to mogę równie dobrze powiedzieć,

że chcę zabrać trzy z tych jagód, które zebrałem.

No to zabieramy z koszyka tę jagodę, tę jagodę i tę.

Zabrałem: jeden, dwa, trzy jagody

i ile mi zostało ?

No cóż, jedyne jagody, które mi zostały

są tutaj. Jedna, druga.

Zatem zostały dwie jagody.

Takie to proste.

Inny sposób myślenia o odejmowaniu

takim jak "pięć odjąć trzy",

napiszę to jeszcze raz,

"pięć odjąć trzy",

to zastanowienie się jaka jest różnica

pomiędzy piątką i trójką.

Narysujmy to.

Powiedzmy, że ja mam pięć jagód.

Jedna, druga, trzecia, czwarta, piąta.

I powiedzmy, że ty masz trzy jagody.

Trochę innym kolorem.

Masz trzy jagody.

Tak więc innym sposobem rozmyślania

o odejmowaniu "pięć odjąć trzy"

jest zadanie pytania:

"O ile mam jagód więcej niż ty ? "

Jeżeli spojrzymy na ten rysunek,

to tu mam jagodę - ty też masz jedną.

Tu też mamy po jednej.

I tutaj też po jednej jagodzie.

Ale ja mam tutaj jeszcze jedną i drugą,

a ty już więcej nie masz.

No i jeszcze raz to samo -

mam dwie więcej niż ty.

Możemy jeszcze popatrzeć na to wszystko

z perspektywy osi liczbowej.

Oś liczbowa.

Narysujmy oś liczbową.

O tak.

Oto moja oś liczbowa.

Nauczyliśmy się już przy okazji dodawania,

że oś liczbowa rozciąga się w nieskończoność

tak samo z prawej jak i z lewej strony.

I że w stronę liczb ujemnych,

w lewo od zera też możemy

pojechać z osią w nieskończoność.

Zobaczymy to w następnych filmach.

Ale tutaj zaczniemy od zera.

Zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, ...

do siódemki wystarczy.

No i liczymy: "pięć odjąć trzy".

Jeżeli spojrzymy na to jak na

trójkę zabraną z pięciu

to 5 odjąć 3 oznacza rozpoczęcie w piątce,

gdybym dodawał 3 do pięciu pokicałbym

o trzy w prawo bo zwiększam

w ten sposób ilość tego co mam,

ale jeżeli odejmuję trzy

to chcę zmniejszyć o trzy.

No to zmniejszam - o jeden, o dwa, o trzy.

I dostałem dwa.

Dotarłem do dwójki.

No i tyle.

No dobra.

Jeżeli spojrzymy z tego punktu widzenia ...

Pozwólcie, że narysuję jeszcze jedną oś.

Zaraz wam to pokażę ...

tutaj zabieram trzy

a tutaj pytam o ile pięć

jest większe od trzech.

I w obydwu przypadkach otrzymuję

dokładnie taką samą odpowiedź.

Chociaż są to dwa różne sposoby

myślenia o odejmowaniu.

Pozwólcie, że narysuję

jeszcze jedną oś liczbową.

Taką samą oś liczbową.

Zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem.

Gdybym miał zaznaczyć gdzie na osi jest 5 ...

To jest ta piątka.

Zaznaczę ją różowym kwadratem.

Piątka na osi jest tutaj.

A trójka - zaznaczę trójkę na żółto,

trójka jest na osi tutaj.

Zatem w tym sposobie myślenia o odejmowaniu

"pięć odjąć trzy" pytamy jak daleko ...

jaka jest różnica ...

Zapiszmy to.

Pytamy "jaka jest różnica".

Różnica.

Pomiędzy pięć i trzy.

Pomiędzy

pięć i trzy.

I żeby wyznaczyć tę różnicę

wystarczy policzyć ile musisz dodać

do trójki, żeby dotrzeć do piątki.

Czyli szukamy różnicy.

O ile pięć różni się od trzy?

No cóż, musimy pójść w górę o jeden krok

i o drugi, żeby dotrzeć do piątki.

Zatem różnica pomiędzy piątką,

która jest o taka długa, aż dotąd,

i trójką, która jest o taka długa,

to ... różnica pomiędzy 5 i 3 ... wynosi 2.

O tak.

To tutaj zielone to dwa.

Pozwólcie, że dwójkę zamkniemy w zielonym pudełku.

To jest nasza dwójka.

Chciałbym żebyście dobrze zrozumieli różnicę

pomiędzy "zabieraniem" i "znajdowaniem różnicy"

ponieważ są to dwa różne sposoby patrzenia

na odejmowanie ale w rezultacie

są dokładnie tym samym działaniem.

Otrzymamy dokładnie ten sam wynik

bez względu na to, którym sposobem się posłużymy.

Zróbmy przykład na innych liczbach.

Obliczmy na przykład siedem odjąć cztery.

Mogę ten przykład potraktować jak

siedmiometrowy pień drzewa.

Powiedzmy, że mam siedmiometrowy kawał dechy.

Ma siedem metrów.

Jeżeli przyłożymy do niego linijkę

to tutaj będzie zero, dalej jeden,

dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem.

No i mam siedmiometrowe drzewo.

I mogę odciąć z tych siedmiu cztery metry.

No to tniemy - jeden, dwa, trzy, cztery.

Ile mi zostało drewna?

Odciąłem wszystko aż do tego miejsca.

Wyrzucam to, eliminuje, odcinam.

Wszystko to wywalamy.

Może powinienem to namalować czymś ciemniejszym,

żeby było widać, że to odcinam.

To wszystko tutaj zaraz zniknie.

Zaraz to wszystko zeszlifuję.

A to co mi zostaje ...

po odcięciu czterech metrów, cali, stóp,

czegokolwiek, z tego pnia,

to zostaje mi jeden, dwa, trzy metry drzewa.

Czyli to jest trzy.

Czyli siedem odjąć cztery

równa się trzy.

Tak wygląda odejmowanie potraktowane

jako dosłownie usuwanie czegoś.

Odciąłem to drzewo.

Usunąłem, zabrałem ten kawałek.

Teraz potraktujemy odejmowanie

trochę inaczej ale otrzymamy dokładnie

taka samą odpowiedź.

Obliczymy siedem odjąć cztery.

Czyli jeszcze raz mamy siedmiometrowy

kawałek drzewca (na halabardę dla krasnoluda).

O, dokładnie taki.

Tutaj przykładamy linijkę.

Tu jest jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć,

siedem. Czyli jeszcze raz -

siedmiometrowy kawał bala z lasu.

A teraz, zamiast odcinania z tego kloca czterech

porównam go z innym kawałkiem czterometrowym.

Tutaj mamy cztery metry drzewa.

Oto nasz czterometrowiec.

Tu jest siedem a tu jest cztery.

Możemy rozpatrywać odejmowanie "7 odjąć 4"

jako usuwanie czterech metrów z siedmiometrowego pnia

albo jako różnicę pomiędzy kawałkiem czterometrowym

i kawałkiem siedmiometrowym.

Zobaczmy jaka jest ta różnica.

Żeby dotrzeć z końca czterometrowego kawałka

do końca siedmiometrowego kawałka

muszę przesunąć się o trzy metry

albo muszę dodać trzymetrowy kawałek.

To drzewo musiałoby w jakiś sposób urosnąć

o kolejne trzy metry, żeby stać się drzewem

siedmiometrowym.

Tak więc są to dwa całkowicie równoznaczne

sposoby myślenia o odejmowaniu.

To taka mała powtórka z ostatniego wideo.

W tym filmie chciałbym jeszcze

zacząć trochę trudniejsze zadania.

Chociaż zauważycie, że oś liczbową

można do nich zastosować tak samo

jak do prostych zadań, które

właśnie ćwiczyliśmy.

W takim razie obliczmy ...

ile to jest ... siedemnaście odjąć dziewięć.

Tak jak w każdym innym przypadku

mamy znowu dwa sposoby

na rozwiązanie tego zadania.

Pierwszy - wolniejszy - możemy narysować

siedemnaście przedmiotów.

Na przykład siedemnaście żetonów.

Jeden, dwa, trzy, cztery, pięć,

6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

I teraz dziewięć z nich zabiorę.

No to zabieram: jeden, dwa, trzy, cztery,

5, 6, 7, 8, 9.

Ile mi zostało ?

Zostało: jeden, dwa, trzy, cztery

5, 6, 7, 8.

Czyli 17 odjąć 9 równa się 8.

Ale zabrało nam to sporo czasu

i możecie sobie wyobrazić,

że gdyby ta liczba była dużo większa

to narysowanie tych wszystkich kółek

trwałoby wieki a potem jeszcze musiałbym

je przekreślać i marnować papier i czas

a mamy inne rzeczy do zrobienia.

Tak więc inny sposób na rozwiązanie tego zadania

może prostszy do wyobrażenia

to narysowanie osi liczbowej.

Nie musisz zawsze zaczynać od zera.

Mamy oś liczbową. Powiedzmy, że tu

jest 18, tutaj 17, 16, 15, 13, 12, 11,

10, 9, 8, 7 możemy tak dalej w lewo aż do zera

i ... zacznijmy od 17.

Zaczynam w 17 i zabieram z siedemnastki 9.

Czyli skaczemy o jeden, dwa, trzy, cztery,

5, 6, 7, 8, 9 i znowu dotarliśmy do ósemki.

Ten sposób, przynajmniej w mojej głowie,

jest trochę jaśniejszy i szybszy od tego.

ale obojętnie, który sposób stosujesz

nie zawsze będzie ci się chciało to wszystko wykonywać

kiedy odejmujesz "17 odjąć 9"

albo szukasz różnicy pomiędzy 17 i 9,

żeby dojść do wniosku, że wynik to 8.

W końcu będziesz chciał to zapamiętać

i pisać wynik z pamięci.

17 odjąć 9 ? Wiem ! To 8.

A tak przy okazji - ile to jest 17 odjąć 8 ?

Cóż, to jest 9.

Dlaczego to się tak wszystko ładnie zgadza?

Dlatego, że 8 dodać 9 równa się 17.

A w takim razie 17 odjąć 9 równa się 8,

17 odjąć 9 równa się 8

albo ... 17 odjąć 8 równa się 9.

Kiedy mówię, 17 odjąć 8 to

właściwie mówię, że wynikiem jest jakaś liczba,

która dodana do ośmiu da nam 17.

I ta liczba to 9.

Kiedy mówię 17 odjąć 9

to mówię, że jest to jakaś liczba,

taka, że jeśli dodam ją do dziewięciu

to otrzymam 17.

I to jest liczba 8.

Tak więc wszystkie te równania

właściwie mówią nam to samo,

że 8 dodać 9 równa się 17

albo, że różnica pomiędzy 17 i 9 to 8

albo, że różnica pomiędzy 17 i 8 wynosi 9.

Mam nadzieję, że za dużo nie namieszałem.

Większości zadań z odejmowania,

w których wynik jest liczbą jednocyfrową,

powinniście w końcu nauczyć się na pamięć.

Ale w głowie dobrze jest

wyobrażać sobie oś liczbową.

Zróbmy parę kolejnych przykładów.

Kiedy to już zapamiętacie

albo przynajmniej nauczycie się posługiwać

osią liczbową kiedy zapomnicie

jaki jest wynik,

to pokażę wam jak rozwiązać

KAŻDE zadanie z odejmowania

z dowolnie dużymi liczbami.

Powiedzmy, że chcemy teraz policzyć

13 odjąć 5.

Jeszcze raz, nie będę znowu rysował

wszystkich tych kółek i jagód

zamiast tego narysuję oś liczbową.

Narysujmy taką oś.

Zacznijmy od 14, 13, 12, 11,

10, 9, 8, 7, 6, 5 i tak dalej aż do zera

albo nawet poniżej zera

będziemy o tym mówić w przyszłości

i zaczynamy w 13.

Zaczynamy od liczby 13.

Trzynaście. I zabierzemy z trzynastki 5.

To jest sposób widzenia odejmowania

jako zabierania - usuwamy coś.

Jeden, dwa, trzy, cztery, pięć

i lądujemy w ósemce.

W taki razie 13 odjąć 5,

zrobimy to nowym kolorem,

13 odjąć pięć równa się 8.

Innym sposobem potraktowania tego problemu

jest zaznaczenie trzynastki

potem zaznaczenie piątki

mogę zrobić tak - to jest piątka

a na osi liczbowej piątka jest tutaj

i ile muszę dodać do piątki,

żeby dostać się do trzynastki ?

No to zobaczmy - jeden, dwa, trzy,

4, 5, 6, 7, 8 - muszę dodać 8,

żeby z piątki dostać się do trzynastki.

5 dodać 8 równa się 13.

To mi mówi, że 13 odjąć 5 równa się osiem

i również mi to mówi, że

13 odjąć 8 równa się 5.

Wszystko to, w pewnym sensie, opisuje

ten sam fakt - że różnica

pomiędzy 13 i 5 wynosi 8

i że różnica pomiędzy 13 i 8 wynosi 5.

5 dodać 8 równa się 13.

Mam nadzieję, że złapaliście już

o co w tym odejmowaniu chodzi

a jeżeli jeszcze nie, to możecie

trochę poćwiczyć odejmując liczby jednocyfrowe

od liczb dwucyfrowych z zakresu od 10 do 20.

To bardzo dobre ćwiczenie.