Przetestuj swoją intuicję: Problem urodzin - David Knuffke

Zobacz całą lekcję: http://ed.ted.com/lessons/check-your-intuition-the-birthday-problem-david-knuffke

Wyobraź sobie grupę ludzi. Jak myślisz, jak duża musiałaby być ta grupa, żeby prawdopodobieństwo, że dwie osoby z grupy będą miały urodziny w tym samym dniu, było wyższe niż 50%? Liczba osób jest prawdopodobnie mniejsza, niż myślisz. David Knuffke wyjaśnia, jak problem urodzin obnaża naszą często słabą intuicję, jeśli chodzi o prawdopodobieństwo.

Lekcja: David Knuffke, animacja: TED-Ed.

Wyobraź sobie grupę ludzi.

Jak duża musiałaby być ta grupa,

żeby było ponad 50% szans,
że dwie osoby będą miały urodziny

tego samego dnia?

Załóżmy, że nie ma bliźniąt,

każdy dzień urodzin
jest równie prawdopodobny

i zignorujmy lata przestępne.

Zastanów się chwilę.

Odpowiedź może być zaskakująca.

W grupie 23 osób

jest 50,73% prawdopodobieństwa,
że dwie osoby będą miały razem urodziny.

Ale skoro rok ma 365 dni,

jak to możliwe,
że wystarczy tak mała grupa

do uzyskania 50% szans
na wspólne urodziny?

Dlaczego nasza intuicja
tak bardzo się myli?

Żeby znaleźć odpowiedź,

spójrzmy na metodę, którą matematyk

może wykorzystać do obliczenia
prawdopodobieństwa wspólnych urodzin.

Wykorzystajmy kombinatorykę,
dziedzinę matematyki

zajmującą się prawdopodobieństwem
różnych kombinacji.

Najpierw odwróćmy problem.

Obliczenie prawdopodobieństwa
wspólnych urodzin jest trudne,

bo wynik można uzyskać na wiele sposobów.

Łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo,
że każdy ma urodziny innego dnia.

Co nam to da?

W grupie albo są
wspólne urodziny, albo nie,

więc prawdopodobieństwa
ich istnienia i nieistnienia

dają razem 100%.

Szanse ich wystąpienia można obliczyć,

odejmując szanse
ich niewystąpienia od 100.

Obliczanie szans braku wspólnych urodzin
zacznijmy od czegoś prostego.

Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie osoby
będą miały urodziny w różne dni.

Jeden dzień roku to urodziny osoby A,

co daje 364 możliwe dni urodzin osoby B.

Prawdopodobieństwo różnych urodzin
A i B lub dowolnej pary osób

wynosi 364 z 365,

około 0,997 lub 99,7%,
czyli bardzo dużo.

Dodajmy osobę C.

Prawdopodobieństwo, że ma ona
osobne urodziny w tak małej grupie,

wynosi 363 z 365,

bo dwa dni są już zajęte przez A i B.

W przypadku D prawdopodobieństwo
wyniesie 362 z 365 i tak dalej,

aż do W z prawdopodobieństwem 343 z 365.

Pomnóżmy te wyniki,

a otrzymamy prawdopodobieństwo
braku wspólnych urodzin.

Wynik to 0,4927,

więc jest 49,27% szans, że wśród 23 osób
nikt nie ma wspólnych urodzin.

Po odjęciu od 100 otrzymamy 50,73% szans

na przynajmniej jedne wspólne urodziny.

To więcej niż 50%.

Kluczem do wysokiego prawdopodobieństwa
w stosunkowo małej grupie

jest bardzo duża liczba możliwych par.

Z powiększaniem się grupy liczba możliwych
kombinacji wzrasta o wiele szybciej.

W pięcioosobowej grupie istnieje
dziesięć możliwych par.

Każda z pięciu osób może stworzyć parę
z pozostałymi czterema osobami.

Połowa tych kombinacji jest zbędna,

bo para osoby A z osobą B
to para osoby B z osobą A,

więc wynik dzielimy na pół.

Na tej samej zasadzie

w grupie dziesięciu osób jest 45 par,

a w grupie 23 osób są 253 pary.

Liczba par wzrasta kwadratowo,

czyli jest proporcjonalna
do kwadratu liczby osób w grupie.

Niestety, nasze mózgi nie radzą sobie

z intuicyjnym rozumieniem
funkcji nieliniowych.

Początkowo wydaje się nieprawdopodobne,
że 23 osoby mogą stworzyć 253 pary.

Jeśli nasze mózgi to zaakceptują,
problem urodzin nabierze sensu.

Każda z tych 253 par
to szansa na wspólne urodziny.

W grupie 70 osób

możliwych jest 2415 par,

a prawdopodobieństwo
wspólnych urodzin to ponad 99,9%.

Problem urodzin to jeden z przykładów,

że rzeczy, które wyglądają na niemożliwe,

jak dwukrotna wygrana na loterii,

w rzeczywistości wcale
nie są nieprawdopodobne.

Czasem przypadki nie są
tak przypadkowe, jak się wydaje.