0:00:10.048,0:00:11.933
Wyobraź sobie grupę ludzi.

0:00:11.933,0:00:14.304
Jak duża musiałaby być ta grupa,

0:00:14.304,0:00:18.778
żeby było ponad 50% szans,[br]że dwie osoby będą miały urodziny

0:00:18.778,0:00:21.218
tego samego dnia?

0:00:21.218,0:00:24.187
Załóżmy, że nie ma bliźniąt,

0:00:24.187,0:00:26.748
każdy dzień urodzin[br]jest równie prawdopodobny

0:00:26.748,0:00:29.977
i zignorujmy lata przestępne.

0:00:29.977,0:00:33.049
Zastanów się chwilę.

0:00:33.049,0:00:35.908
Odpowiedź może być zaskakująca.

0:00:35.908,0:00:37.708
W grupie 23 osób

0:00:37.708,0:00:44.669
jest 50,73% prawdopodobieństwa,[br]że dwie osoby będą miały razem urodziny.

0:00:44.669,0:00:47.239
Ale skoro rok ma 365 dni,

0:00:47.239,0:00:50.489
jak to możliwe,[br]że wystarczy tak mała grupa

0:00:50.489,0:00:53.700
do uzyskania 50% szans[br]na wspólne urodziny?

0:00:53.700,0:00:58.156
Dlaczego nasza intuicja[br]tak bardzo się myli?

0:00:58.156,0:00:59.498
Żeby znaleźć odpowiedź,

0:00:59.498,0:01:01.389
spójrzmy na metodę, którą matematyk

0:01:01.389,0:01:05.218
może wykorzystać do obliczenia[br]prawdopodobieństwa wspólnych urodzin.

0:01:05.218,0:01:09.110
Wykorzystajmy kombinatorykę,[br]dziedzinę matematyki

0:01:09.110,0:01:14.419
zajmującą się prawdopodobieństwem[br]różnych kombinacji.

0:01:14.419,0:01:16.950
Najpierw odwróćmy problem.

0:01:16.950,0:01:21.330
Obliczenie prawdopodobieństwa[br]wspólnych urodzin jest trudne,

0:01:21.330,0:01:25.229
bo wynik można uzyskać na wiele sposobów.

0:01:25.229,0:01:31.389
Łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo,[br]że każdy ma urodziny innego dnia.

0:01:31.389,0:01:32.820
Co nam to da?

0:01:32.820,0:01:35.741
W grupie albo są[br]wspólne urodziny, albo nie,

0:01:35.741,0:01:38.461
więc prawdopodobieństwa[br]ich istnienia i nieistnienia

0:01:38.461,0:01:41.860
dają razem 100%.

0:01:41.860,0:01:44.271
Szanse ich wystąpienia można obliczyć,

0:01:44.271,0:01:50.381
odejmując szanse[br]ich niewystąpienia od 100.

0:01:50.381,0:01:53.806
Obliczanie szans braku wspólnych urodzin[br]zacznijmy od czegoś prostego.

0:01:53.806,0:01:58.281
Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie osoby[br]będą miały urodziny w różne dni.

0:01:58.281,0:02:00.632
Jeden dzień roku to urodziny osoby A,

0:02:00.632,0:02:06.022
co daje 364 możliwe dni urodzin osoby B.

0:02:06.022,0:02:10.592
Prawdopodobieństwo różnych urodzin[br]A i B lub dowolnej pary osób

0:02:10.592,0:02:14.412
wynosi 364 z 365,

0:02:14.412,0:02:20.514
około 0,997 lub 99,7%,[br]czyli bardzo dużo.

0:02:20.514,0:02:22.562
Dodajmy osobę C.

0:02:22.562,0:02:25.793
Prawdopodobieństwo, że ma ona[br]osobne urodziny w tak małej grupie,

0:02:25.793,0:02:29.532
wynosi 363 z 365,

0:02:29.532,0:02:33.964
bo dwa dni są już zajęte przez A i B.

0:02:33.964,0:02:38.582
W przypadku D prawdopodobieństwo[br]wyniesie 362 z 365 i tak dalej,

0:02:38.582,0:02:44.474
aż do W z prawdopodobieństwem 343 z 365.

0:02:44.474,0:02:46.385
Pomnóżmy te wyniki,

0:02:46.385,0:02:50.942
a otrzymamy prawdopodobieństwo[br]braku wspólnych urodzin.

0:02:50.942,0:02:54.064
Wynik to 0,4927,

0:02:54.064,0:03:01.362
więc jest 49,27% szans, że wśród 23 osób[br]nikt nie ma wspólnych urodzin.

0:03:01.362,0:03:05.955
Po odjęciu od 100 otrzymamy 50,73% szans

0:03:05.955,0:03:08.701
na przynajmniej jedne wspólne urodziny.

0:03:08.701,0:03:11.955
To więcej niż 50%.

0:03:11.955,0:03:16.144
Kluczem do wysokiego prawdopodobieństwa[br]w stosunkowo małej grupie

0:03:16.144,0:03:20.325
jest bardzo duża liczba możliwych par.

0:03:20.325,0:03:26.017
Z powiększaniem się grupy liczba możliwych[br]kombinacji wzrasta o wiele szybciej.

0:03:26.017,0:03:29.196
W pięcioosobowej grupie istnieje[br]dziesięć możliwych par.

0:03:29.196,0:03:32.905
Każda z pięciu osób może stworzyć parę[br]z pozostałymi czterema osobami.

0:03:32.905,0:03:34.835
Połowa tych kombinacji jest zbędna,

0:03:34.835,0:03:39.615
bo para osoby A z osobą B[br]to para osoby B z osobą A,

0:03:39.615,0:03:41.685
więc wynik dzielimy na pół.

0:03:41.685,0:03:43.045
Na tej samej zasadzie

0:03:43.045,0:03:45.836
w grupie dziesięciu osób jest 45 par,

0:03:45.836,0:03:49.835
a w grupie 23 osób są 253 pary.

0:03:49.835,0:03:52.905
Liczba par wzrasta kwadratowo,

0:03:52.905,0:03:57.665
czyli jest proporcjonalna[br]do kwadratu liczby osób w grupie.

0:03:57.665,0:04:00.966
Niestety, nasze mózgi nie radzą sobie

0:04:00.966,0:04:04.447
z intuicyjnym rozumieniem[br]funkcji nieliniowych.

0:04:04.447,0:04:11.235
Początkowo wydaje się nieprawdopodobne,[br]że 23 osoby mogą stworzyć 253 pary.

0:04:11.235,0:04:15.267
Jeśli nasze mózgi to zaakceptują,[br]problem urodzin nabierze sensu.

0:04:15.267,0:04:20.135
Każda z tych 253 par[br]to szansa na wspólne urodziny.

0:04:20.135,0:04:22.897
W grupie 70 osób

0:04:22.897,0:04:26.616
możliwych jest 2415 par,

0:04:26.616,0:04:33.337
a prawdopodobieństwo[br]wspólnych urodzin to ponad 99,9%.

0:04:33.337,0:04:36.707
Problem urodzin to jeden z przykładów,

0:04:36.707,0:04:38.917
że rzeczy, które wyglądają na niemożliwe,

0:04:38.917,0:04:41.410
jak dwukrotna wygrana na loterii,

0:04:41.410,0:04:44.551
w rzeczywistości wcale[br]nie są nieprawdopodobne.

0:04:44.551,0:04:48.868
Czasem przypadki nie są[br]tak przypadkowe, jak się wydaje.