1
00:00:10,048 --> 00:00:11,933
Wyobraź sobie grupę ludzi.

2
00:00:11,933 --> 00:00:14,304
Jak duża musiałaby być ta grupa,

3
00:00:14,304 --> 00:00:18,778
żeby było ponad 50% szans,
że dwie osoby będą miały urodziny

4
00:00:18,778 --> 00:00:21,218
tego samego dnia?

5
00:00:21,218 --> 00:00:24,187
Załóżmy, że nie ma bliźniąt,

6
00:00:24,187 --> 00:00:26,748
każdy dzień urodzin
jest równie prawdopodobny

7
00:00:26,748 --> 00:00:29,977
i zignorujmy lata przestępne.

8
00:00:29,977 --> 00:00:33,049
Zastanów się chwilę.

9
00:00:33,049 --> 00:00:35,908
Odpowiedź może być zaskakująca.

10
00:00:35,908 --> 00:00:37,708
W grupie 23 osób

11
00:00:37,708 --> 00:00:44,669
jest 50,73% prawdopodobieństwa,
że dwie osoby będą miały razem urodziny.

12
00:00:44,669 --> 00:00:47,239
Ale skoro rok ma 365 dni,

13
00:00:47,239 --> 00:00:50,489
jak to możliwe,
że wystarczy tak mała grupa

14
00:00:50,489 --> 00:00:53,700
do uzyskania 50% szans
na wspólne urodziny?

15
00:00:53,700 --> 00:00:58,156
Dlaczego nasza intuicja
tak bardzo się myli?

16
00:00:58,156 --> 00:00:59,498
Żeby znaleźć odpowiedź,

17
00:00:59,498 --> 00:01:01,389
spójrzmy na metodę, którą matematyk

18
00:01:01,389 --> 00:01:05,218
może wykorzystać do obliczenia
prawdopodobieństwa wspólnych urodzin.

19
00:01:05,218 --> 00:01:09,110
Wykorzystajmy kombinatorykę,
dziedzinę matematyki

20
00:01:09,110 --> 00:01:14,419
zajmującą się prawdopodobieństwem
różnych kombinacji.

21
00:01:14,419 --> 00:01:16,950
Najpierw odwróćmy problem.

22
00:01:16,950 --> 00:01:21,330
Obliczenie prawdopodobieństwa
wspólnych urodzin jest trudne,

23
00:01:21,330 --> 00:01:25,229
bo wynik można uzyskać na wiele sposobów.

24
00:01:25,229 --> 00:01:31,389
Łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo,
że każdy ma urodziny innego dnia.

25
00:01:31,389 --> 00:01:32,820
Co nam to da?

26
00:01:32,820 --> 00:01:35,741
W grupie albo są
wspólne urodziny, albo nie,

27
00:01:35,741 --> 00:01:38,461
więc prawdopodobieństwa
ich istnienia i nieistnienia

28
00:01:38,461 --> 00:01:41,860
dają razem 100%.

29
00:01:41,860 --> 00:01:44,271
Szanse ich wystąpienia można obliczyć,

30
00:01:44,271 --> 00:01:50,381
odejmując szanse
ich niewystąpienia od 100.

31
00:01:50,381 --> 00:01:53,806
Obliczanie szans braku wspólnych urodzin
zacznijmy od czegoś prostego.

32
00:01:53,806 --> 00:01:58,281
Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie osoby
będą miały urodziny w różne dni.

33
00:01:58,281 --> 00:02:00,632
Jeden dzień roku to urodziny osoby A,

34
00:02:00,632 --> 00:02:06,022
co daje 364 możliwe dni urodzin osoby B.

35
00:02:06,022 --> 00:02:10,592
Prawdopodobieństwo różnych urodzin
A i B lub dowolnej pary osób

36
00:02:10,592 --> 00:02:14,412
wynosi 364 z 365,

37
00:02:14,412 --> 00:02:20,514
około 0,997 lub 99,7%,
czyli bardzo dużo.

38
00:02:20,514 --> 00:02:22,562
Dodajmy osobę C.

39
00:02:22,562 --> 00:02:25,793
Prawdopodobieństwo, że ma ona
osobne urodziny w tak małej grupie,

40
00:02:25,793 --> 00:02:29,532
wynosi 363 z 365,

41
00:02:29,532 --> 00:02:33,964
bo dwa dni są już zajęte przez A i B.

42
00:02:33,964 --> 00:02:38,582
W przypadku D prawdopodobieństwo
wyniesie 362 z 365 i tak dalej,

43
00:02:38,582 --> 00:02:44,474
aż do W z prawdopodobieństwem 343 z 365.

44
00:02:44,474 --> 00:02:46,385
Pomnóżmy te wyniki,

45
00:02:46,385 --> 00:02:50,942
a otrzymamy prawdopodobieństwo
braku wspólnych urodzin.

46
00:02:50,942 --> 00:02:54,064
Wynik to 0,4927,

47
00:02:54,064 --> 00:03:01,362
więc jest 49,27% szans, że wśród 23 osób
nikt nie ma wspólnych urodzin.

48
00:03:01,362 --> 00:03:05,955
Po odjęciu od 100 otrzymamy 50,73% szans

49
00:03:05,955 --> 00:03:08,701
na przynajmniej jedne wspólne urodziny.

50
00:03:08,701 --> 00:03:11,955
To więcej niż 50%.

51
00:03:11,955 --> 00:03:16,144
Kluczem do wysokiego prawdopodobieństwa
w stosunkowo małej grupie

52
00:03:16,144 --> 00:03:20,325
jest bardzo duża liczba możliwych par.

53
00:03:20,325 --> 00:03:26,017
Z powiększaniem się grupy liczba możliwych
kombinacji wzrasta o wiele szybciej.

54
00:03:26,017 --> 00:03:29,196
W pięcioosobowej grupie istnieje
dziesięć możliwych par.

55
00:03:29,196 --> 00:03:32,905
Każda z pięciu osób może stworzyć parę
z pozostałymi czterema osobami.

56
00:03:32,905 --> 00:03:34,835
Połowa tych kombinacji jest zbędna,

57
00:03:34,835 --> 00:03:39,615
bo para osoby A z osobą B
to para osoby B z osobą A,

58
00:03:39,615 --> 00:03:41,685
więc wynik dzielimy na pół.

59
00:03:41,685 --> 00:03:43,045
Na tej samej zasadzie

60
00:03:43,045 --> 00:03:45,836
w grupie dziesięciu osób jest 45 par,

61
00:03:45,836 --> 00:03:49,835
a w grupie 23 osób są 253 pary.

62
00:03:49,835 --> 00:03:52,905
Liczba par wzrasta kwadratowo,

63
00:03:52,905 --> 00:03:57,665
czyli jest proporcjonalna
do kwadratu liczby osób w grupie.

64
00:03:57,665 --> 00:04:00,966
Niestety, nasze mózgi nie radzą sobie

65
00:04:00,966 --> 00:04:04,447
z intuicyjnym rozumieniem
funkcji nieliniowych.

66
00:04:04,447 --> 00:04:11,235
Początkowo wydaje się nieprawdopodobne,
że 23 osoby mogą stworzyć 253 pary.

67
00:04:11,235 --> 00:04:15,267
Jeśli nasze mózgi to zaakceptują,
problem urodzin nabierze sensu.

68
00:04:15,267 --> 00:04:20,135
Każda z tych 253 par
to szansa na wspólne urodziny.

69
00:04:20,135 --> 00:04:22,897
W grupie 70 osób

70
00:04:22,897 --> 00:04:26,616
możliwych jest 2415 par,

71
00:04:26,616 --> 00:04:33,337
a prawdopodobieństwo
wspólnych urodzin to ponad 99,9%.

72
00:04:33,337 --> 00:04:36,707
Problem urodzin to jeden z przykładów,

73
00:04:36,707 --> 00:04:38,917
że rzeczy, które wyglądają na niemożliwe,

74
00:04:38,917 --> 00:04:41,410
jak dwukrotna wygrana na loterii,

75
00:04:41,410 --> 00:04:44,551
w rzeczywistości wcale
nie są nieprawdopodobne.

76
00:04:44,551 --> 00:04:48,868
Czasem przypadki nie są
tak przypadkowe, jak się wydaje.