Wyobraź sobie grupę ludzi.
Jak duża musiałaby być ta grupa,
żeby było ponad 50% szans, że dwie osoby będą miały urodziny
tego samego dnia?
Załóżmy, że nie ma bliźniąt,
każdy dzień urodzin jest równie prawdopodobny
i zignorujmy lata przestępne.
Zastanów się chwilę.
Odpowiedź może być zaskakująca.
W grupie 23 osób
jest 50,73% prawdopodobieństwa, że dwie osoby będą miały razem urodziny.
Ale skoro rok ma 365 dni,
jak to możliwe, że wystarczy tak mała grupa
do uzyskania 50% szans na wspólne urodziny?
Dlaczego nasza intuicja tak bardzo się myli?
Żeby znaleźć odpowiedź,
spójrzmy na metodę, którą matematyk
może wykorzystać do obliczenia prawdopodobieństwa wspólnych urodzin.
Wykorzystajmy kombinatorykę, dziedzinę matematyki
zajmującą się prawdopodobieństwem różnych kombinacji.
Najpierw odwróćmy problem.
Obliczenie prawdopodobieństwa wspólnych urodzin jest trudne,
bo wynik można uzyskać na wiele sposobów.
Łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo, że każdy ma urodziny innego dnia.
Co nam to da?
W grupie albo są wspólne urodziny, albo nie,
więc prawdopodobieństwa ich istnienia i nieistnienia
dają razem 100%.
Szanse ich wystąpienia można obliczyć,
odejmując szanse ich niewystąpienia od 100.
Obliczanie szans braku wspólnych urodzin zacznijmy od czegoś prostego.
Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie osoby będą miały urodziny w różne dni.
Jeden dzień roku to urodziny osoby A,
co daje 364 możliwe dni urodzin osoby B.
Prawdopodobieństwo różnych urodzin A i B lub dowolnej pary osób
wynosi 364 z 365,
około 0,997 lub 99,7%, czyli bardzo dużo.
Dodajmy osobę C.
Prawdopodobieństwo, że ma ona osobne urodziny w tak małej grupie,
wynosi 363 z 365,
bo dwa dni są już zajęte przez A i B.
W przypadku D prawdopodobieństwo wyniesie 362 z 365 i tak dalej,
aż do W z prawdopodobieństwem 343 z 365.
Pomnóżmy te wyniki,
a otrzymamy prawdopodobieństwo braku wspólnych urodzin.
Wynik to 0,4927,
więc jest 49,27% szans, że wśród 23 osób nikt nie ma wspólnych urodzin.
Po odjęciu od 100 otrzymamy 50,73% szans
na przynajmniej jedne wspólne urodziny.
To więcej niż 50%.
Kluczem do wysokiego prawdopodobieństwa w stosunkowo małej grupie
jest bardzo duża liczba możliwych par.
Z powiększaniem się grupy liczba możliwych kombinacji wzrasta o wiele szybciej.
W pięcioosobowej grupie istnieje dziesięć możliwych par.
Każda z pięciu osób może stworzyć parę z pozostałymi czterema osobami.
Połowa tych kombinacji jest zbędna,
bo para osoby A z osobą B to para osoby B z osobą A,
więc wynik dzielimy na pół.
Na tej samej zasadzie
w grupie dziesięciu osób jest 45 par,
a w grupie 23 osób są 253 pary.
Liczba par wzrasta kwadratowo,
czyli jest proporcjonalna do kwadratu liczby osób w grupie.
Niestety, nasze mózgi nie radzą sobie
z intuicyjnym rozumieniem funkcji nieliniowych.
Początkowo wydaje się nieprawdopodobne, że 23 osoby mogą stworzyć 253 pary.
Jeśli nasze mózgi to zaakceptują, problem urodzin nabierze sensu.
Każda z tych 253 par to szansa na wspólne urodziny.
W grupie 70 osób
możliwych jest 2415 par,
a prawdopodobieństwo wspólnych urodzin to ponad 99,9%.
Problem urodzin to jeden z przykładów,
że rzeczy, które wyglądają na niemożliwe,
jak dwukrotna wygrana na loterii,
w rzeczywistości wcale nie są nieprawdopodobne.
Czasem przypadki nie są tak przypadkowe, jak się wydaje.