WEBVTT 00:00:10.048 --> 00:00:11.933 Wyobraź sobie grupę ludzi. 00:00:11.933 --> 00:00:14.304 Jak duża musiałaby być ta grupa, 00:00:14.304 --> 00:00:18.778 żeby było ponad 50% szans, że dwie osoby będą miały urodziny 00:00:18.778 --> 00:00:21.218 tego samego dnia? 00:00:21.218 --> 00:00:24.187 Załóżmy, że nie ma bliźniąt, 00:00:24.187 --> 00:00:26.748 każdy dzień urodzin jest równie prawdopodobny 00:00:26.748 --> 00:00:29.977 i zignorujmy lata przestępne. 00:00:29.977 --> 00:00:33.049 Zastanów się chwilę. 00:00:33.049 --> 00:00:35.908 Odpowiedź może być zaskakująca. 00:00:35.908 --> 00:00:37.708 W grupie 23 osób 00:00:37.708 --> 00:00:44.669 jest 50,73% prawdopodobieństwa, że dwie osoby będą miały razem urodziny. 00:00:44.669 --> 00:00:47.239 Ale skoro rok ma 365 dni, 00:00:47.239 --> 00:00:50.489 jak to możliwe, że wystarczy tak mała grupa 00:00:50.489 --> 00:00:53.700 do uzyskania 50% szans na wspólne urodziny? 00:00:53.700 --> 00:00:58.156 Dlaczego nasza intuicja tak bardzo się myli? 00:00:58.156 --> 00:00:59.498 Żeby znaleźć odpowiedź, 00:00:59.498 --> 00:01:01.389 spójrzmy na metodę, którą matematyk 00:01:01.389 --> 00:01:05.218 może wykorzystać do obliczenia prawdopodobieństwa wspólnych urodzin. 00:01:05.218 --> 00:01:09.110 Wykorzystajmy kombinatorykę, dziedzinę matematyki 00:01:09.110 --> 00:01:14.419 zajmującą się prawdopodobieństwem różnych kombinacji. 00:01:14.419 --> 00:01:16.950 Najpierw odwróćmy problem. 00:01:16.950 --> 00:01:21.330 Obliczenie prawdopodobieństwa wspólnych urodzin jest trudne, 00:01:21.330 --> 00:01:25.229 bo wynik można uzyskać na wiele sposobów. 00:01:25.229 --> 00:01:31.389 Łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo, że każdy ma urodziny innego dnia. 00:01:31.389 --> 00:01:32.820 Co nam to da? 00:01:32.820 --> 00:01:35.741 W grupie albo są wspólne urodziny, albo nie, 00:01:35.741 --> 00:01:38.461 więc prawdopodobieństwa ich istnienia i nieistnienia 00:01:38.461 --> 00:01:41.860 dają razem 100%. 00:01:41.860 --> 00:01:44.271 Szanse ich wystąpienia można obliczyć, 00:01:44.271 --> 00:01:50.381 odejmując szanse ich niewystąpienia od 100. 00:01:50.381 --> 00:01:53.806 Obliczanie szans braku wspólnych urodzin zacznijmy od czegoś prostego. 00:01:53.806 --> 00:01:58.281 Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie osoby będą miały urodziny w różne dni. 00:01:58.281 --> 00:02:00.632 Jeden dzień roku to urodziny osoby A, 00:02:00.632 --> 00:02:06.022 co daje 364 możliwe dni urodzin osoby B. 00:02:06.022 --> 00:02:10.592 Prawdopodobieństwo różnych urodzin A i B lub dowolnej pary osób 00:02:10.592 --> 00:02:14.412 wynosi 364 z 365, 00:02:14.412 --> 00:02:20.514 około 0,997 lub 99,7%, czyli bardzo dużo. 00:02:20.514 --> 00:02:22.562 Dodajmy osobę C. 00:02:22.562 --> 00:02:25.793 Prawdopodobieństwo, że ma ona osobne urodziny w tak małej grupie, 00:02:25.793 --> 00:02:29.532 wynosi 363 z 365, 00:02:29.532 --> 00:02:33.964 bo dwa dni są już zajęte przez A i B. 00:02:33.964 --> 00:02:38.582 W przypadku D prawdopodobieństwo wyniesie 362 z 365 i tak dalej, 00:02:38.582 --> 00:02:44.474 aż do W z prawdopodobieństwem 343 z 365. 00:02:44.474 --> 00:02:46.385 Pomnóżmy te wyniki, 00:02:46.385 --> 00:02:50.942 a otrzymamy prawdopodobieństwo braku wspólnych urodzin. 00:02:50.942 --> 00:02:54.064 Wynik to 0,4927, 00:02:54.064 --> 00:03:01.362 więc jest 49,27% szans, że wśród 23 osób nikt nie ma wspólnych urodzin. 00:03:01.362 --> 00:03:05.955 Po odjęciu od 100 otrzymamy 50,73% szans 00:03:05.955 --> 00:03:08.701 na przynajmniej jedne wspólne urodziny. 00:03:08.701 --> 00:03:11.955 To więcej niż 50%. 00:03:11.955 --> 00:03:16.144 Kluczem do wysokiego prawdopodobieństwa w stosunkowo małej grupie 00:03:16.144 --> 00:03:20.325 jest bardzo duża liczba możliwych par. 00:03:20.325 --> 00:03:26.017 Z powiększaniem się grupy liczba możliwych kombinacji wzrasta o wiele szybciej. 00:03:26.017 --> 00:03:29.196 W pięcioosobowej grupie istnieje dziesięć możliwych par. 00:03:29.196 --> 00:03:32.905 Każda z pięciu osób może stworzyć parę z pozostałymi czterema osobami. 00:03:32.905 --> 00:03:34.835 Połowa tych kombinacji jest zbędna, 00:03:34.835 --> 00:03:39.615 bo para osoby A z osobą B to para osoby B z osobą A, 00:03:39.615 --> 00:03:41.685 więc wynik dzielimy na pół. 00:03:41.685 --> 00:03:43.045 Na tej samej zasadzie 00:03:43.045 --> 00:03:45.836 w grupie dziesięciu osób jest 45 par, 00:03:45.836 --> 00:03:49.835 a w grupie 23 osób są 253 pary. 00:03:49.835 --> 00:03:52.905 Liczba par wzrasta kwadratowo, 00:03:52.905 --> 00:03:57.665 czyli jest proporcjonalna do kwadratu liczby osób w grupie. 00:03:57.665 --> 00:04:00.966 Niestety, nasze mózgi nie radzą sobie 00:04:00.966 --> 00:04:04.447 z intuicyjnym rozumieniem funkcji nieliniowych. 00:04:04.447 --> 00:04:11.235 Początkowo wydaje się nieprawdopodobne, że 23 osoby mogą stworzyć 253 pary. 00:04:11.235 --> 00:04:15.267 Jeśli nasze mózgi to zaakceptują, problem urodzin nabierze sensu. 00:04:15.267 --> 00:04:20.135 Każda z tych 253 par to szansa na wspólne urodziny. 00:04:20.135 --> 00:04:22.897 W grupie 70 osób 00:04:22.897 --> 00:04:26.616 możliwych jest 2415 par, 00:04:26.616 --> 00:04:33.337 a prawdopodobieństwo wspólnych urodzin to ponad 99,9%. 00:04:33.337 --> 00:04:36.707 Problem urodzin to jeden z przykładów, 00:04:36.707 --> 00:04:38.917 że rzeczy, które wyglądają na niemożliwe, 00:04:38.917 --> 00:04:41.410 jak dwukrotna wygrana na loterii, 00:04:41.410 --> 00:04:44.551 w rzeczywistości wcale nie są nieprawdopodobne. 00:04:44.551 --> 00:04:48.868 Czasem przypadki nie są tak przypadkowe, jak się wydaje.