矢量是什么？- David Huynh

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物理学家，航空管制员，以及电子游戏设计者都有一个共同的东西：矢量。它们到底是什么？又为什么这么重要？David Huynh解释了为什么矢量是数学的优雅和美，已及实用性的最好的例子。

课程：David Huynh，动画：Anton Trofimov。

物理学家，

航空管制员，

以及电子游戏设计者

都有一个共同的东西：

矢量（数学中称向量）。

它们到底是什么？
又为什么这么重要？

为了回答这个问题，
首先我们需要理解标量。

标量是一个有大小的量。

它告诉我们一个东西的多少。

你和长椅之间的距离，

杯子里饮料的体积和温度

都由标量来描述。

矢量也有大小，
此外还有一个另外的信息：

方向。

要走到长椅边上，

你得知道它离你多远，
还要知道要走的方向，

不是距离，
而是位移。

使矢量特殊并且在各个领域中都有用的

是它们不随视角的变化而变化

而是相对参考系保持不变。

这是什么意思呢？

比如你和你的朋友要搬一个帐篷。

你们站在帐篷两边，
所以你们面对着相反的方向。

你的朋友向右走两步，
向前走三步。

而你向左走两步，
向后退三步。

即使看起来你们的移动方向不同，

你们其实都像矢量描述的那样，

向相同的方向移动了相同的距离。

无论你们朝向哪个方向，

或是你们在地上建起怎样的坐标系，

这个矢量都不变。

我们用很熟悉的笛卡尔坐标系解释一下。

笛卡尔坐标系有x和y两条坐标轴。

我们把这两个方向叫做基向量

因为它们可以描述图中的任何向量。

我们设帐篷从原点开始，最后被搬到了B点。

连接两点的直箭头

就是从原点到B点的矢量。

当你的朋友思考他该怎么移动时，

这个向量可以在数学上被写成2x+3y。

或者表示成这样，叫做一个数组。

但你正好面对着相反的方向，

你的基向量也指向相反的方向，

叫做x'和y'，

你的运动可以被表示成这样，

或者用这个数组。

如果我们看这两个数组，它们显然不同，

但是一个数组并不能完全表示一个矢量。

数组需要基向量来给条件，

当我们把它们安排好，

就可以看出它们其实描述的是同一个矢量。

你可以把数组中的元素想成一个个字母。

就像一串字母
在已知语言的条件下

才能成为一个单词，

一个数组在给了基向量的条件下
才有了矢量的意义。

就像不同的单词在不同语言里
有相同的含义，

不同基向量下的不同数组
也可以表示同一个矢量。

矢量是交流的精髓，

无论用哪组基向量来描述。

标量也有在不同基坐标下不变的性质。

事实上，所有有这个性质的量都是“张量群”的成员。

不同类型的张量包含不同的信息量。

这是否意味着还有比矢量表达更多信息的量呢？

当然。

比如你在设计一个电子游戏，

你想要真实地模拟水的行为。

即使有些力作用方向相同，

大小也相同，

由于它们的作用点不同，
结果可能是波或者漩涡

当一个矢量：力，与另一个描述作用点的矢量结合，

我们就有了一个叫“应力”的物理量，

应力是一个二阶张量的例子。

这些张量也被用于电子游戏之外的各种用途，

包括科学模拟，

汽车设计，

和脑图。

标量，矢量，和张量家族
给了我们一个相对简单的方法

来解释复杂的动作和物理量。

就这样，它们是数学的优雅和美，
已及实用性的最好的例子。