物理学家,
航空管制员,
以及电子游戏设计者
都有一个共同的东西:
矢量(数学中称向量)。
它们到底是什么?
又为什么这么重要?
为了回答这个问题,
首先我们需要理解标量。
标量是一个有大小的量。
它告诉我们一个东西的多少。
你和长椅之间的距离,
杯子里饮料的体积和温度
都由标量来描述。
矢量也有大小,
此外还有一个另外的信息:
方向。
要走到长椅边上,
你得知道它离你多远,
还要知道要走的方向,
不是距离,
而是位移。
使矢量特殊并且在各个领域中都有用的
是它们不随视角的变化而变化
而是相对参考系保持不变。
这是什么意思呢?
比如你和你的朋友要搬一个帐篷。
你们站在帐篷两边,
所以你们面对着相反的方向。
你的朋友向右走两步,
向前走三步。
而你向左走两步,
向后退三步。
即使看起来你们的移动方向不同,
你们其实都像矢量描述的那样,
向相同的方向移动了相同的距离。
无论你们朝向哪个方向,
或是你们在地上建起怎样的坐标系,
这个矢量都不变。
我们用很熟悉的笛卡尔坐标系解释一下。
笛卡尔坐标系有x和y两条坐标轴。
我们把这两个方向叫做基向量
因为它们可以描述图中的任何向量。
我们设帐篷从原点开始,最后被搬到了B点。
连接两点的直箭头
就是从原点到B点的矢量。
当你的朋友思考他该怎么移动时,
这个向量可以在数学上被写成2x+3y。
或者表示成这样,叫做一个数组。
但你正好面对着相反的方向,
你的基向量也指向相反的方向,
叫做x'和y',
你的运动可以被表示成这样,
或者用这个数组。
如果我们看这两个数组,它们显然不同,
但是一个数组并不能完全表示一个矢量。
数组需要基向量来给条件,
当我们把它们安排好,
就可以看出它们其实描述的是同一个矢量。
你可以把数组中的元素想成一个个字母。
就像一串字母
在已知语言的条件下
才能成为一个单词,
一个数组在给了基向量的条件下
才有了矢量的意义。
就像不同的单词在不同语言里
有相同的含义,
不同基向量下的不同数组
也可以表示同一个矢量。
矢量是交流的精髓,
无论用哪组基向量来描述。
标量也有在不同基坐标下不变的性质。
事实上,所有有这个性质的量都是“张量群”的成员。
不同类型的张量包含不同的信息量。
这是否意味着还有比矢量表达更多信息的量呢?
当然。
比如你在设计一个电子游戏,
你想要真实地模拟水的行为。
即使有些力作用方向相同,
大小也相同,
由于它们的作用点不同,
结果可能是波或者漩涡
当一个矢量:力,与另一个描述作用点的矢量结合,
我们就有了一个叫“应力”的物理量,
应力是一个二阶张量的例子。
这些张量也被用于电子游戏之外的各种用途,
包括科学模拟,
汽车设计,
和脑图。
标量,矢量,和张量家族
给了我们一个相对简单的方法
来解释复杂的动作和物理量。
就这样,它们是数学的优雅和美,
已及实用性的最好的例子。