¿Qué es un vector? - David Huynh

Ver la lección completa en: http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh

Los físicos, los controladores de tráfico aéreo y los creadores de videojuegos tienen por lo menos una cosa en común: los vectores. Pero ¿qué son y por qué son importantes? David Huynh explica cómo los vectores son un ejemplo excelente de la elegancia, la belleza y la utilidad fundamental de las matemáticas.

Lección de David Huynh, animación de Anton Trofimov.

Los físicos,

controladores de tráfico aéreo,

y creadores de videojuegos

tienen al menos una cosa en común:

los vectores.

¿Qué son y por qué son importantes?

Para responder esto primero
debemos entender los escalares.

Un escalar es una cantidad con magnitud.

Nos dice cuánto hay de algo.

La distancia entre un banco y tú,

y el volumen y la temperatura
de la bebida de tu taza

se describen con escalares.

Las cantidades vectoriales tienen
magnitud y un dato extra de información,

la dirección.

Para ir hacia tu banco,

tienes que saber a qué distancia está
y en qué dirección;

no solo la distancia,
sino el desplazamiento.

Lo especial e importante de los
vectores en todos los campos

es que no cambian según la perspectiva

sino que permanecen invariables
al sistema de coordenadas.

¿Y eso qué significa?

Pongamos que con un amigo
estás moviendo tu tienda de campaña.

Están en lados opuestos, por lo que
miran en direcciones opuestas.

tu amigo se aleja dos pasos a la derecha
y tres pasos adelante

y tú dos pasos a la izquierda
y tres pasos atrás.

A pesar de que parece que
se mueven de manera diferente,

ambos terminan moviéndose
la misma distancia en la misma dirección

siguiendo el mismo vector.

Sin importar hacia dónde mires,

ni el sistema de coordenadas
que haya en la zona de acampada,

el vector no cambia.

Usemos el sistema de coordenadas
cartesianas familiar,

con sus ejes X e Y.

Llamamos a estas dos direcciones
nuestra base de coordenadas

porque se usa para describir
todo lo que graficamos.

Digamos que la tienda empieza en el origen
y termina aquí en el punto B.

La flecha recta que conecta
los dos puntos

es el vector desde el origen a B.

Cuando tu amigo piensa
hacia dónde debe moverse,

puede escribir matemáticamente
2x + 3y,

o, así, en forma de matriz.

Como tú miras hacia el otro lado,

tu base de coordenadas
apunta en dirección opuesta,

podemos llamarlo x prima e y prima,

y tu movimiento puede escribirse así,

o con esta matriz.

Si miramos ambas matrices,
claramente no son la misma,

pero una matriz por sí sola
no describe completamente un vector.

Necesita una base que le dé contexto,

y cuando se la asignamos adecuadamente,

vemos que, de hecho,
describen el mismo vector.

Puedes pensar los elementos de la matriz
como letras individuales.

Al igual que una secuencia de letras
solo se convierte en una palabra

en el contexto de un idioma determinado,

una matriz tiene significado como vector
si se le asigna una base de coordenadas.

Así como distintas palabras en 2 idiomas
pueden transmitir la misma idea,

diferentes representaciones de dos bases
pueden describir el mismo vector.

El vector es la esencia
de lo que se está comunicando,

independientemente del idioma
usado para describirlo.

Resulta que los escalares también
comparten esta propiedad de invariancia.

Las cantidades con esta propiedad
son miembros de un grupo llamado tensores.

Distintos tipos de tensores contienen
diferentes cantidades de información.

¿Significa eso que pueden transmitir
más información que los vectores?

Absolutamente.

Digamos que estás diseñando un videojuego,

y quieres tener un modelo realista
del comportamiento del agua.

Incluso si tienes fuerzas que actúan
en la misma dirección

con la misma magnitud,

dependiendo de cómo estén orientadas,
es posible que veas ondas o turbulencias.

En la fuerza, un vector se combina
con otro vector que da la orientación,

tenemos la cantidad física llamada stress,

que es un ejemplo de un tensor
de segundo orden.

Estos tensores se usan también fuera de
los videojuegos para todo tipo de cosas,

incluyendo simulaciones científicas,

diseño de autos,

e imágenes cerebrales.

Los escalares, los vectores y los tensores
presentan una forma relativamente sencilla

de dar sentido a ideas
e interacciones complejas,

y como tales, son un buen ejemplo
de la elegancia, la belleza,

y la utilidad fundamental
de las matemáticas.