Los físicos,
controladores de tráfico aéreo,
y creadores de videojuegos
tienen al menos una cosa en común:
los vectores.
¿Qué son y por qué son importantes?
Para responder esto primero debemos entender los escalares.
Un escalar es una cantidad con magnitud.
Nos dice cuánto hay de algo.
La distancia entre un banco y tú,
y el volumen y la temperatura de la bebida de tu taza
se describen con escalares.
Las cantidades vectoriales tienen magnitud y un dato extra de información,
la dirección.
Para ir hacia tu banco,
tienes que saber a qué distancia está y en qué dirección;
no solo la distancia, sino el desplazamiento.
Lo especial e importante de los vectores en todos los campos
es que no cambian según la perspectiva
sino que permanecen invariables al sistema de coordenadas.
¿Y eso qué significa?
Pongamos que con un amigo estás moviendo tu tienda de campaña.
Están en lados opuestos, por lo que miran en direcciones opuestas.
tu amigo se aleja dos pasos a la derecha y tres pasos adelante
y tú dos pasos a la izquierda y tres pasos atrás.
A pesar de que parece que se mueven de manera diferente,
ambos terminan moviéndose la misma distancia en la misma dirección
siguiendo el mismo vector.
Sin importar hacia dónde mires,
ni el sistema de coordenadas que haya en la zona de acampada,
el vector no cambia.
Usemos el sistema de coordenadas cartesianas familiar,
con sus ejes X e Y.
Llamamos a estas dos direcciones nuestra base de coordenadas
porque se usa para describir todo lo que graficamos.
Digamos que la tienda empieza en el origen y termina aquí en el punto B.
La flecha recta que conecta los dos puntos
es el vector desde el origen a B.
Cuando tu amigo piensa hacia dónde debe moverse,
puede escribir matemáticamente 2x + 3y,
o, así, en forma de matriz.
Como tú miras hacia el otro lado,
tu base de coordenadas apunta en dirección opuesta,
podemos llamarlo x prima e y prima,
y tu movimiento puede escribirse así,
o con esta matriz.
Si miramos ambas matrices, claramente no son la misma,
pero una matriz por sí sola no describe completamente un vector.
Necesita una base que le dé contexto,
y cuando se la asignamos adecuadamente,
vemos que, de hecho, describen el mismo vector.
Puedes pensar los elementos de la matriz como letras individuales.
Al igual que una secuencia de letras solo se convierte en una palabra
en el contexto de un idioma determinado,
una matriz tiene significado como vector si se le asigna una base de coordenadas.
Así como distintas palabras en 2 idiomas pueden transmitir la misma idea,
diferentes representaciones de dos bases pueden describir el mismo vector.
El vector es la esencia de lo que se está comunicando,
independientemente del idioma usado para describirlo.
Resulta que los escalares también comparten esta propiedad de invariancia.
Las cantidades con esta propiedad son miembros de un grupo llamado tensores.
Distintos tipos de tensores contienen diferentes cantidades de información.
¿Significa eso que pueden transmitir más información que los vectores?
Absolutamente.
Digamos que estás diseñando un videojuego,
y quieres tener un modelo realista del comportamiento del agua.
Incluso si tienes fuerzas que actúan en la misma dirección
con la misma magnitud,
dependiendo de cómo estén orientadas, es posible que veas ondas o turbulencias.
En la fuerza, un vector se combina con otro vector que da la orientación,
tenemos la cantidad física llamada stress,
que es un ejemplo de un tensor de segundo orden.
Estos tensores se usan también fuera de los videojuegos para todo tipo de cosas,
incluyendo simulaciones científicas,
diseño de autos,
e imágenes cerebrales.
Los escalares, los vectores y los tensores presentan una forma relativamente sencilla
de dar sentido a ideas e interacciones complejas,
y como tales, son un buen ejemplo de la elegancia, la belleza,
y la utilidad fundamental de las matemáticas.