-
.
-
3.4028, 28 devirli, hangi sayı kümesine aittir?
-
.
-
Soruyu cevaplamaya başlamadan önce düşünmemiz gereken şey devirli sayıların ne demek olduğu ve bu çizginin ne anlama geldiği?
-
.
-
.
-
Bu çizgi 28'in tekrar ederek devam ettiğini anlatır.
-
.
-
Bu sayıyı 3.4028 şeklinde yazarım ve 28 kendini tekrar etmeye devam eder.
-
.
-
.
-
.
-
Açıkça görüldüğü gibi 28'i tekrar tekrar yazmaktansa üstüne bu çizgiyi koymak çok daha kolay.
-
.
-
Peki bu sayı hangi sayı kümesine aittir?
-
Videolar boyunca incelediğimiz en geniş küme reel sayılar kümesiydi.
-
.
-
Bu sayının reel sayıların bir elemanı olduğu da kesin.
-
Reel sayılar aslında sayı doğrusunda kullandığımız sayıların tamamını kapsıyor.
-
.
-
3.4028 de buralarda bir yerde.
-
Burası -1 olsun, burası 0, 1, 2, 3, 4.
-
3.4028 de 3.4'ten biraz büyük ve 3.41'den de biraz küçük.
-
.
-
.
-
Sonuçta kesinlikle sayı doğrusu üzerinde.
-
Bir reel sayı.
-
.
-
.
-
Ancak bir rasyonal sayı olup olmadığı pek de açık değil.
-
.
-
Hatırlayın, rasyonal sayılar rasyonal veya kesirli şekillerle ifade edilebilen sayılardı.
-
.
-
Eğer ki p'nin rasyonal olduğunu söylersem, bu p'nin iki sayının oranı olarak yazılabileceği anlamına gelir.
-
.
-
P iki tam sayının oranı olarak yazılabilir, m bölü n.
-
.
-
Soru şu: Bu sayıyı iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir miyim?
-
.
-
Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu sayıyı bir kesir olarak yazabilir miyim?
-
.
-
Hadi bu sayıyı bir kesir olarak yazalım.
-
x bu sayının eşiti olsun.
-
x eşittir 3.4028, 28 devirli.
-
Peki 10000x ne olur?
-
10000x dememin sebebi noktayı buraya taşımak.
-
.
-
10000x
-
Bu neye eşit?
-
Bir sayıyı 10'un 1. kuvveti ile her çarpışta nokta bir basamak sağa kayar.
-
.
-
10000, 10'un 4. kuvveti. Yani noktayı 4 basamak kaydıracağız.
-
.
-
.
-
1, 2, 3, 4.
-
Yani 34028 olur.
-
Ancak 28 tekrar etmeye devam eder.
-
Yani bu 28'ler tekrar tekrar olacak.
-
.
-
Bu sayıların hepsi noktanın 5 basamak soluna kaydı.
-
.
-
Şöyle de bakabilrsiniz.
-
.
-
Bu sayı neredeyse 3 buçuk.
-
10000'le çarpınca da neredeyse 350000 oldu.
-
Bu 10000x
-
Bir de 100x'i düşünelim.
-
Yaptığım şeyin amacı x'lerle iki sayı elde etmek ve bu iki sayıyı birbirinden çıkararak tekrar eden bölümlerin birbirini götürdüğü x cinsinden sayılar elde etmek.
-
.
-
.
-
Böylece de kolaylıkla işlem yapabilriz.
-
100x'i düşünelim.
-
100x.
-
Bu durumda nokta 2 basamak kayar.
-
.
-
.
-
Böyle yazayım.
-
Bu sayı 340.28 devirli olur.
-
28 tekrar eder.
-
.
-
Bu biraz ilginç çünkü bir öncekinde devrili kısmı noktadan önceye almaya uğraşmıştık.
-
Burada ise noktanın diğer tarafında.
-
İş şimdi ilgi çekici hale gelmeye başladı.
-
Bu iki sayıyı da x'in katları şeklinde yazdıkç.
-
Peki üsttekini alttakinden çıkarınca ne olur?
-
.
-
Devirli bölüm yok olacak.
-
Hadi yapalım.
-
Denklemin iki tarafına da bunu yapalım.
-
.
-
Sol tarafta 10000x eksi 100x 9900x eder.
-
.
-
Sağ tarafta da, noktadan sonraki kısım birbirini götürür.
-
.
-
34,028 eksi 340
-
Hadi bunu yapalım.
-
8 büyüktür 0. Burası tamam.
-
.
-
2 küçüktür 4. Burada 2'ye sayı ödünç almamız gerekiyor.
-
Yüzler basamağından alamayız çünkü 0 var.
-
.
-
.
-
.
-
4'ten alırız, 4, 3 olur.
-
.
-
0 da 10 olur.
-
10 dan da bir onluk alınca 10 9 olur 2 de 12 olur.
-
.
-
Şimdi çıkarmayı yapalım.
-
8 eksi 0, 8'e eşittir.
-
12 eksi 4 8.
-
9 eksi 3 6.
-
3 eksi boşluk 3.
-
.
-
9.900x eşittir 33,688.
-
Bu syaıdan 340'ı çıkardık ve 33,688'i elde ettik.
-
.
-
x i bulmak için de iki tarafı 9900 ile böleriz.
-
.
-
Solu 9900'a böl.
-
Sağı 9900'a böl.
-
Peki ne kaldı?
-
Solda x eşittir 33,688 bölü 9900.
-
Peki mesele ne?
-
x bu sayıydı ve bu devirliydi.
-
.
-
Birazcık matematikle sayıyı değiştirdik ve x', bir kesir haline getirdi.
-
.
-
.
-
Bu en sade biçimi değil, iki taraf da 2'ye ya da 4'e bölünebilir.
-
.
-
Aslında sadeleştirmemiz gerekir ama bunu önemsemiyoruz.
-
.
-
Burada önemsediğimiz şey bu sayının bir kesir şeklinde yazılabilmiş olması.
-
.
-
Bu sayı da iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılabildiğinden bir rasyonal sayıdır.
-
.
-
.
-
Bu kullandığımız teknik bütün devirli sayılara uygulanabilir.
-
.
-
Herhangi bir tekrar eden basamak gördüğünüzde bu tekniği kullanabilirsiniz.
-
.
-
Genellikle devirli sayılar rasyonaldir.
-
İrrasyonal olanlar pi gibi tekrar etmeden sürekli devam eden sayılardır.
-
.
-
Açık olan bir diğer şey de bu sayının bir tam sayı olmadığı.
-
.
-
Tam sayılar göz önünde bulundurduğumuz doğal sayılar.
-
.
-
.
-
Bir sayma sayısı ya da doğal sayı da değil; çünkü onlar tam sayıların alt kümeleri.
-
.
-
Yani bunların herhangi biri değil.
-
Bu sayı bir reel ve rasyonal sayı.
-
.
