.
3.4028, 28 devirli, hangi sayı kümesine aittir?
.
Soruyu cevaplamaya başlamadan önce düşünmemiz gereken şey devirli sayıların ne demek olduğu ve bu çizginin ne anlama geldiği?
.
.
Bu çizgi 28'in tekrar ederek devam ettiğini anlatır.
.
Bu sayıyı 3.4028 şeklinde yazarım ve 28 kendini tekrar etmeye devam eder.
.
.
.
Açıkça görüldüğü gibi 28'i tekrar tekrar yazmaktansa üstüne bu çizgiyi koymak çok daha kolay.
.
Peki bu sayı hangi sayı kümesine aittir?
Videolar boyunca incelediğimiz en geniş küme reel sayılar kümesiydi.
.
Bu sayının reel sayıların bir elemanı olduğu da kesin.
Reel sayılar aslında sayı doğrusunda kullandığımız sayıların tamamını kapsıyor.
.
3.4028 de buralarda bir yerde.
Burası -1 olsun, burası 0, 1, 2, 3, 4.
3.4028 de 3.4'ten biraz büyük ve 3.41'den de biraz küçük.
.
.
Sonuçta kesinlikle sayı doğrusu üzerinde.
Bir reel sayı.
.
.
Ancak bir rasyonal sayı olup olmadığı pek de açık değil.
.
Hatırlayın, rasyonal sayılar rasyonal veya kesirli şekillerle ifade edilebilen sayılardı.
.
Eğer ki p'nin rasyonal olduğunu söylersem, bu p'nin iki sayının oranı olarak yazılabileceği anlamına gelir.
.
P iki tam sayının oranı olarak yazılabilir, m bölü n.
.
Soru şu: Bu sayıyı iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir miyim?
.
Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu sayıyı bir kesir olarak yazabilir miyim?
.
Hadi bu sayıyı bir kesir olarak yazalım.
x bu sayının eşiti olsun.
x eşittir 3.4028, 28 devirli.
Peki 10000x ne olur?
10000x dememin sebebi noktayı buraya taşımak.
.
10000x
Bu neye eşit?
Bir sayıyı 10'un 1. kuvveti ile her çarpışta nokta bir basamak sağa kayar.
.
10000, 10'un 4. kuvveti. Yani noktayı 4 basamak kaydıracağız.
.
.
1, 2, 3, 4.
Yani 34028 olur.
Ancak 28 tekrar etmeye devam eder.
Yani bu 28'ler tekrar tekrar olacak.
.
Bu sayıların hepsi noktanın 5 basamak soluna kaydı.
.
Şöyle de bakabilrsiniz.
.
Bu sayı neredeyse 3 buçuk.
10000'le çarpınca da neredeyse 350000 oldu.
Bu 10000x
Bir de 100x'i düşünelim.
Yaptığım şeyin amacı x'lerle iki sayı elde etmek ve bu iki sayıyı birbirinden çıkararak tekrar eden bölümlerin birbirini götürdüğü x cinsinden sayılar elde etmek.
.
.
Böylece de kolaylıkla işlem yapabilriz.
100x'i düşünelim.
100x.
Bu durumda nokta 2 basamak kayar.
.
.
Böyle yazayım.
Bu sayı 340.28 devirli olur.
28 tekrar eder.
.
Bu biraz ilginç çünkü bir öncekinde devrili kısmı noktadan önceye almaya uğraşmıştık.
Burada ise noktanın diğer tarafında.
İş şimdi ilgi çekici hale gelmeye başladı.
Bu iki sayıyı da x'in katları şeklinde yazdıkç.
Peki üsttekini alttakinden çıkarınca ne olur?
.
Devirli bölüm yok olacak.
Hadi yapalım.
Denklemin iki tarafına da bunu yapalım.
.
Sol tarafta 10000x eksi 100x 9900x eder.
.
Sağ tarafta da, noktadan sonraki kısım birbirini götürür.
.
34,028 eksi 340
Hadi bunu yapalım.
8 büyüktür 0. Burası tamam.
.
2 küçüktür 4. Burada 2'ye sayı ödünç almamız gerekiyor.
Yüzler basamağından alamayız çünkü 0 var.
.
.
.
4'ten alırız, 4, 3 olur.
.
0 da 10 olur.
10 dan da bir onluk alınca 10 9 olur 2 de 12 olur.
.
Şimdi çıkarmayı yapalım.
8 eksi 0, 8'e eşittir.
12 eksi 4 8.
9 eksi 3 6.
3 eksi boşluk 3.
.
9.900x eşittir 33,688.
Bu syaıdan 340'ı çıkardık ve 33,688'i elde ettik.
.
x i bulmak için de iki tarafı 9900 ile böleriz.
.
Solu 9900'a böl.
Sağı 9900'a böl.
Peki ne kaldı?
Solda x eşittir 33,688 bölü 9900.
Peki mesele ne?
x bu sayıydı ve bu devirliydi.
.
Birazcık matematikle sayıyı değiştirdik ve x', bir kesir haline getirdi.
.
.
Bu en sade biçimi değil, iki taraf da 2'ye ya da 4'e bölünebilir.
.
Aslında sadeleştirmemiz gerekir ama bunu önemsemiyoruz.
.
Burada önemsediğimiz şey bu sayının bir kesir şeklinde yazılabilmiş olması.
.
Bu sayı da iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılabildiğinden bir rasyonal sayıdır.
.
.
Bu kullandığımız teknik bütün devirli sayılara uygulanabilir.
.
Herhangi bir tekrar eden basamak gördüğünüzde bu tekniği kullanabilirsiniz.
.
Genellikle devirli sayılar rasyonaldir.
İrrasyonal olanlar pi gibi tekrar etmeden sürekli devam eden sayılardır.
.
Açık olan bir diğer şey de bu sayının bir tam sayı olmadığı.
.
Tam sayılar göz önünde bulundurduğumuz doğal sayılar.
.
.
Bir sayma sayısı ya da doğal sayı da değil; çünkü onlar tam sayıların alt kümeleri.
.
Yani bunların herhangi biri değil.
Bu sayı bir reel ve rasyonal sayı.
.