0:00:00.000,0:00:00.490
.

0:00:00.490,0:00:05.430
3.4028, 28 devirli, hangi sayı kümesine aittir?

0:00:05.430,0:00:07.330
.

0:00:07.330,0:00:09.150
Soruyu cevaplamaya başlamadan önce düşünmemiz gereken şey devirli sayıların ne demek olduğu ve bu çizginin ne anlama geldiği?

0:00:09.150,0:00:10.690
.

0:00:10.690,0:00:13.000
.

0:00:13.000,0:00:15.770
Bu çizgi 28'in tekrar ederek devam ettiğini anlatır.

0:00:15.770,0:00:17.420
.

0:00:17.420,0:00:25.090
Bu sayıyı 3.4028 şeklinde yazarım ve 28 kendini tekrar etmeye devam eder.

0:00:25.090,0:00:26.110
.

0:00:26.110,0:00:29.740
.

0:00:29.740,0:00:32.299
.

0:00:32.299,0:00:35.210
Açıkça görüldüğü gibi 28'i tekrar tekrar yazmaktansa üstüne bu çizgiyi koymak çok daha kolay.

0:00:35.210,0:00:37.620
.

0:00:37.620,0:00:41.290
Peki bu sayı hangi sayı kümesine aittir?

0:00:41.290,0:00:44.600
Videolar boyunca incelediğimiz en geniş küme reel sayılar kümesiydi.

0:00:44.600,0:00:45.330
.

0:00:45.330,0:00:48.420
Bu sayının reel sayıların bir elemanı olduğu da kesin.

0:00:48.420,0:00:50.300
Reel sayılar aslında sayı doğrusunda kullandığımız sayıların tamamını kapsıyor.

0:00:50.300,0:00:51.990
.

0:00:51.990,0:00:55.660
3.4028 de buralarda bir yerde.

0:00:55.660,0:01:01.340
Burası -1 olsun, burası 0, 1, 2, 3, 4.

0:01:01.340,0:01:04.730
3.4028 de 3.4'ten biraz büyük ve 3.41'den de biraz küçük.

0:01:04.730,0:01:06.490
.

0:01:06.490,0:01:07.760
.

0:01:07.760,0:01:09.450
Sonuçta kesinlikle sayı doğrusu üzerinde.

0:01:09.450,0:01:11.090
Bir reel sayı.

0:01:11.090,0:01:13.870
.

0:01:13.870,0:01:16.370
.

0:01:16.370,0:01:19.080
Ancak bir rasyonal sayı olup olmadığı pek de açık değil.

0:01:19.080,0:01:20.180
.

0:01:20.180,0:01:25.040
Hatırlayın, rasyonal sayılar rasyonal veya kesirli şekillerle ifade edilebilen sayılardı.

0:01:25.040,0:01:26.890
.

0:01:26.890,0:01:34.390
Eğer ki p'nin rasyonal olduğunu söylersem, bu p'nin iki sayının oranı olarak yazılabileceği anlamına gelir.

0:01:34.390,0:01:37.840
.

0:01:37.840,0:01:45.620
P iki tam sayının oranı olarak yazılabilir, m bölü n.

0:01:45.620,0:01:47.900
.

0:01:47.900,0:01:50.960
Soru şu: Bu sayıyı iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir miyim?

0:01:50.960,0:01:51.410
.

0:01:51.410,0:01:52.410
Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu sayıyı bir kesir olarak yazabilir miyim?

0:01:52.410,0:01:53.990
.

0:01:53.990,0:01:58.510
Hadi bu sayıyı bir kesir olarak yazalım.

0:01:58.510,0:02:01.310
x bu sayının eşiti olsun.

0:02:01.310,0:02:09.960
x eşittir 3.4028, 28 devirli.

0:02:09.960,0:02:12.650
Peki 10000x ne olur?

0:02:12.650,0:02:14.470
10000x dememin sebebi noktayı buraya taşımak.

0:02:14.470,0:02:16.960
.

0:02:16.960,0:02:21.710
10000x

0:02:21.710,0:02:23.380
Bu neye eşit?

0:02:23.380,0:02:26.350
Bir sayıyı 10'un 1. kuvveti ile her çarpışta nokta bir basamak sağa kayar.

0:02:26.350,0:02:27.420
.

0:02:27.420,0:02:29.790
10000, 10'un 4. kuvveti. Yani noktayı 4 basamak kaydıracağız.

0:02:29.790,0:02:31.780
.

0:02:31.780,0:02:32.830
.

0:02:32.830,0:02:36.400
1, 2, 3, 4.

0:02:36.400,0:02:40.575
Yani 34028 olur.

0:02:40.575,0:02:42.700
Ancak 28 tekrar etmeye devam eder.

0:02:42.700,0:02:45.820
Yani bu 28'ler tekrar tekrar olacak.

0:02:45.820,0:02:46.720
.

0:02:46.720,0:02:49.550
Bu sayıların hepsi noktanın 5 basamak soluna kaydı.

0:02:49.550,0:02:50.430
.

0:02:50.430,0:02:51.070
Şöyle de bakabilrsiniz.

0:02:51.070,0:02:53.140
.

0:02:53.140,0:02:54.670
Bu sayı neredeyse 3 buçuk.

0:02:54.670,0:02:57.810
10000'le çarpınca da neredeyse 350000 oldu.

0:02:57.810,0:02:59.490
Bu 10000x

0:02:59.490,0:03:00.970
Bir de 100x'i düşünelim.

0:03:00.970,0:03:04.340
Yaptığım şeyin amacı x'lerle iki sayı elde etmek ve bu iki sayıyı birbirinden çıkararak tekrar eden bölümlerin birbirini götürdüğü x cinsinden sayılar elde etmek.

0:03:04.340,0:03:06.590
.

0:03:06.590,0:03:08.130
.

0:03:08.130,0:03:10.970
Böylece de kolaylıkla işlem yapabilriz.

0:03:10.970,0:03:13.260
100x'i düşünelim.

0:03:13.260,0:03:15.530
100x.

0:03:15.530,0:03:17.010
Bu durumda nokta 2 basamak kayar.

0:03:17.010,0:03:18.370
.

0:03:18.370,0:03:20.860
.

0:03:20.860,0:03:24.830
Böyle yazayım.

0:03:24.830,0:03:30.750
Bu sayı 340.28 devirli olur.

0:03:30.750,0:03:32.220
28 tekrar eder.

0:03:32.220,0:03:33.010
.

0:03:33.010,0:03:34.670
Bu biraz ilginç çünkü bir öncekinde devrili kısmı noktadan önceye almaya uğraşmıştık.

0:03:34.670,0:03:37.340
Burada ise noktanın diğer tarafında.

0:03:37.340,0:03:39.710
İş şimdi ilgi çekici hale gelmeye başladı.

0:03:39.710,0:03:42.400
Bu iki sayıyı da x'in katları şeklinde yazdıkç.

0:03:42.400,0:03:45.790
Peki üsttekini alttakinden çıkarınca ne olur?

0:03:45.790,0:03:46.710
.

0:03:46.710,0:03:48.530
Devirli bölüm yok olacak.

0:03:48.530,0:03:49.170
Hadi yapalım.

0:03:49.170,0:03:52.280
Denklemin iki tarafına da bunu yapalım.

0:03:52.280,0:03:53.230
.

0:03:53.230,0:03:58.210
Sol tarafta 10000x eksi 100x 9900x eder.

0:03:58.210,0:04:03.620
.

0:04:03.620,0:04:06.960
Sağ tarafta da, noktadan sonraki kısım birbirini götürür.

0:04:06.960,0:04:08.230
.

0:04:08.230,0:04:12.030
34,028 eksi 340

0:04:12.030,0:04:14.120
Hadi bunu yapalım.

0:04:14.120,0:04:16.010
8 büyüktür 0. Burası tamam.

0:04:16.010,0:04:16.649
.

0:04:16.649,0:04:19.769
2 küçüktür 4. Burada 2'ye sayı ödünç almamız gerekiyor.

0:04:19.769,0:04:22.200
Yüzler basamağından alamayız çünkü 0 var.

0:04:22.200,0:04:25.510
.

0:04:25.510,0:04:27.710
.

0:04:27.710,0:04:29.000
.

0:04:29.000,0:04:31.770
4'ten alırız, 4, 3 olur.

0:04:31.770,0:04:36.590
.

0:04:36.590,0:04:38.140
0 da 10 olur.

0:04:38.140,0:04:40.460
10 dan da bir onluk alınca 10 9 olur 2 de 12 olur.

0:04:40.460,0:04:44.090
.

0:04:44.090,0:04:45.820
Şimdi çıkarmayı yapalım.

0:04:45.820,0:04:48.390
8 eksi 0, 8'e eşittir.

0:04:48.390,0:04:51.110
12 eksi 4 8.

0:04:51.110,0:04:53.880
9 eksi 3 6.

0:04:53.880,0:04:55.920
3 eksi boşluk 3.

0:04:55.920,0:04:57.950
.

0:04:57.950,0:05:05.320
9.900x eşittir 33,688.

0:05:05.320,0:05:09.180
Bu syaıdan 340'ı çıkardık ve 33,688'i elde ettik.

0:05:09.180,0:05:13.110
.

0:05:13.110,0:05:15.710
x i bulmak için de iki tarafı 9900 ile böleriz.

0:05:15.710,0:05:21.610
.

0:05:21.610,0:05:23.990
Solu 9900'a böl.

0:05:23.990,0:05:26.900
Sağı 9900'a böl.

0:05:26.900,0:05:28.000
Peki ne kaldı?

0:05:28.000,0:05:36.850
Solda x eşittir 33,688 bölü 9900.

0:05:36.850,0:05:38.550
Peki mesele ne?

0:05:38.550,0:05:41.900
x bu sayıydı ve bu devirliydi.

0:05:41.900,0:05:44.580
.

0:05:44.580,0:05:47.500
Birazcık matematikle sayıyı değiştirdik ve x', bir kesir haline getirdi.

0:05:47.500,0:05:49.660
.

0:05:49.660,0:05:52.530
.

0:05:52.530,0:05:55.780
Bu en sade biçimi değil, iki taraf da 2'ye ya da 4'e bölünebilir.

0:05:55.780,0:05:58.900
.

0:05:58.900,0:06:01.960
Aslında sadeleştirmemiz gerekir ama bunu önemsemiyoruz.

0:06:01.960,0:06:02.910
.

0:06:02.910,0:06:05.055
Burada önemsediğimiz şey bu sayının bir kesir şeklinde yazılabilmiş olması.

0:06:05.055,0:06:09.050
.

0:06:09.050,0:06:11.620
Bu sayı da iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılabildiğinden bir rasyonal sayıdır.

0:06:11.620,0:06:14.720
.

0:06:14.720,0:06:16.550
.

0:06:16.550,0:06:19.010
Bu kullandığımız teknik bütün devirli sayılara uygulanabilir.

0:06:19.010,0:06:20.700
.

0:06:20.700,0:06:24.370
Herhangi bir tekrar eden basamak gördüğünüzde bu tekniği kullanabilirsiniz.

0:06:24.370,0:06:25.000
.

0:06:25.000,0:06:27.530
Genellikle devirli sayılar rasyonaldir.

0:06:27.530,0:06:30.090
İrrasyonal olanlar pi gibi tekrar etmeden sürekli devam eden sayılardır.

0:06:30.090,0:06:32.860
.

0:06:32.860,0:06:34.590
Açık olan bir diğer şey de bu sayının bir tam sayı olmadığı.

0:06:34.590,0:06:35.810
.

0:06:35.810,0:06:37.410
Tam sayılar göz önünde bulundurduğumuz doğal sayılar.

0:06:37.410,0:06:38.020
.

0:06:38.020,0:06:40.390
.

0:06:40.390,0:06:43.360
Bir sayma sayısı ya da doğal sayı da değil; çünkü onlar tam sayıların alt kümeleri.

0:06:43.360,0:06:46.240
.

0:06:46.240,0:06:47.360
Yani bunların herhangi biri değil.

0:06:47.360,0:06:49.110
Bu sayı bir reel ve rasyonal sayı.

0:06:49.110,0:06:51.460
.