WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.490
.

00:00:00.490 --> 00:00:05.430
3.4028, 28 devirli, hangi sayı kümesine aittir?

00:00:05.430 --> 00:00:07.330
.

00:00:07.330 --> 00:00:09.150
Soruyu cevaplamaya başlamadan önce düşünmemiz gereken şey devirli sayıların ne demek olduğu ve bu çizginin ne anlama geldiği?

00:00:09.150 --> 00:00:10.690
.

00:00:10.690 --> 00:00:13.000
.

00:00:13.000 --> 00:00:15.770
Bu çizgi 28'in tekrar ederek devam ettiğini anlatır.

00:00:15.770 --> 00:00:17.420
.

00:00:17.420 --> 00:00:25.090
Bu sayıyı 3.4028 şeklinde yazarım ve 28 kendini tekrar etmeye devam eder.

00:00:25.090 --> 00:00:26.110
.

00:00:26.110 --> 00:00:29.740
.

00:00:29.740 --> 00:00:32.299
.

00:00:32.299 --> 00:00:35.210
Açıkça görüldüğü gibi 28'i tekrar tekrar yazmaktansa üstüne bu çizgiyi koymak çok daha kolay.

00:00:35.210 --> 00:00:37.620
.

00:00:37.620 --> 00:00:41.290
Peki bu sayı hangi sayı kümesine aittir?

00:00:41.290 --> 00:00:44.600
Videolar boyunca incelediğimiz en geniş küme reel sayılar kümesiydi.

00:00:44.600 --> 00:00:45.330
.

00:00:45.330 --> 00:00:48.420
Bu sayının reel sayıların bir elemanı olduğu da kesin.

00:00:48.420 --> 00:00:50.300
Reel sayılar aslında sayı doğrusunda kullandığımız sayıların tamamını kapsıyor.

00:00:50.300 --> 00:00:51.990
.

00:00:51.990 --> 00:00:55.660
3.4028 de buralarda bir yerde.

00:00:55.660 --> 00:01:01.340
Burası -1 olsun, burası 0, 1, 2, 3, 4.

00:01:01.340 --> 00:01:04.730
3.4028 de 3.4'ten biraz büyük ve 3.41'den de biraz küçük.

00:01:04.730 --> 00:01:06.490
.

00:01:06.490 --> 00:01:07.760
.

00:01:07.760 --> 00:01:09.450
Sonuçta kesinlikle sayı doğrusu üzerinde.

00:01:09.450 --> 00:01:11.090
Bir reel sayı.

00:01:11.090 --> 00:01:13.870
.

00:01:13.870 --> 00:01:16.370
.

00:01:16.370 --> 00:01:19.080
Ancak bir rasyonal sayı olup olmadığı pek de açık değil.

00:01:19.080 --> 00:01:20.180
.

00:01:20.180 --> 00:01:25.040
Hatırlayın, rasyonal sayılar rasyonal veya kesirli şekillerle ifade edilebilen sayılardı.

00:01:25.040 --> 00:01:26.890
.

00:01:26.890 --> 00:01:34.390
Eğer ki p'nin rasyonal olduğunu söylersem, bu p'nin iki sayının oranı olarak yazılabileceği anlamına gelir.

00:01:34.390 --> 00:01:37.840
.

00:01:37.840 --> 00:01:45.620
P iki tam sayının oranı olarak yazılabilir, m bölü n.

00:01:45.620 --> 00:01:47.900
.

00:01:47.900 --> 00:01:50.960
Soru şu: Bu sayıyı iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir miyim?

00:01:50.960 --> 00:01:51.410
.

00:01:51.410 --> 00:01:52.410
Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu sayıyı bir kesir olarak yazabilir miyim?

00:01:52.410 --> 00:01:53.990
.

00:01:53.990 --> 00:01:58.510
Hadi bu sayıyı bir kesir olarak yazalım.

00:01:58.510 --> 00:02:01.310
x bu sayının eşiti olsun.

00:02:01.310 --> 00:02:09.960
x eşittir 3.4028, 28 devirli.

00:02:09.960 --> 00:02:12.650
Peki 10000x ne olur?

00:02:12.650 --> 00:02:14.470
10000x dememin sebebi noktayı buraya taşımak.

00:02:14.470 --> 00:02:16.960
.

00:02:16.960 --> 00:02:21.710
10000x

00:02:21.710 --> 00:02:23.380
Bu neye eşit?

00:02:23.380 --> 00:02:26.350
Bir sayıyı 10'un 1. kuvveti ile her çarpışta nokta bir basamak sağa kayar.

00:02:26.350 --> 00:02:27.420
.

00:02:27.420 --> 00:02:29.790
10000, 10'un 4. kuvveti. Yani noktayı 4 basamak kaydıracağız.

00:02:29.790 --> 00:02:31.780
.

00:02:31.780 --> 00:02:32.830
.

00:02:32.830 --> 00:02:36.400
1, 2, 3, 4.

00:02:36.400 --> 00:02:40.575
Yani 34028 olur.

00:02:40.575 --> 00:02:42.700
Ancak 28 tekrar etmeye devam eder.

00:02:42.700 --> 00:02:45.820
Yani bu 28'ler tekrar tekrar olacak.

00:02:45.820 --> 00:02:46.720
.

00:02:46.720 --> 00:02:49.550
Bu sayıların hepsi noktanın 5 basamak soluna kaydı.

00:02:49.550 --> 00:02:50.430
.

00:02:50.430 --> 00:02:51.070
Şöyle de bakabilrsiniz.

00:02:51.070 --> 00:02:53.140
.

00:02:53.140 --> 00:02:54.670
Bu sayı neredeyse 3 buçuk.

00:02:54.670 --> 00:02:57.810
10000'le çarpınca da neredeyse 350000 oldu.

00:02:57.810 --> 00:02:59.490
Bu 10000x

00:02:59.490 --> 00:03:00.970
Bir de 100x'i düşünelim.

00:03:00.970 --> 00:03:04.340
Yaptığım şeyin amacı x'lerle iki sayı elde etmek ve bu iki sayıyı birbirinden çıkararak tekrar eden bölümlerin birbirini götürdüğü x cinsinden sayılar elde etmek.

00:03:04.340 --> 00:03:06.590
.

00:03:06.590 --> 00:03:08.130
.

00:03:08.130 --> 00:03:10.970
Böylece de kolaylıkla işlem yapabilriz.

00:03:10.970 --> 00:03:13.260
100x'i düşünelim.

00:03:13.260 --> 00:03:15.530
100x.

00:03:15.530 --> 00:03:17.010
Bu durumda nokta 2 basamak kayar.

00:03:17.010 --> 00:03:18.370
.

00:03:18.370 --> 00:03:20.860
.

00:03:20.860 --> 00:03:24.830
Böyle yazayım.

00:03:24.830 --> 00:03:30.750
Bu sayı 340.28 devirli olur.

00:03:30.750 --> 00:03:32.220
28 tekrar eder.

00:03:32.220 --> 00:03:33.010
.

00:03:33.010 --> 00:03:34.670
Bu biraz ilginç çünkü bir öncekinde devrili kısmı noktadan önceye almaya uğraşmıştık.

00:03:34.670 --> 00:03:37.340
Burada ise noktanın diğer tarafında.

00:03:37.340 --> 00:03:39.710
İş şimdi ilgi çekici hale gelmeye başladı.

00:03:39.710 --> 00:03:42.400
Bu iki sayıyı da x'in katları şeklinde yazdıkç.

00:03:42.400 --> 00:03:45.790
Peki üsttekini alttakinden çıkarınca ne olur?

00:03:45.790 --> 00:03:46.710
.

00:03:46.710 --> 00:03:48.530
Devirli bölüm yok olacak.

00:03:48.530 --> 00:03:49.170
Hadi yapalım.

00:03:49.170 --> 00:03:52.280
Denklemin iki tarafına da bunu yapalım.

00:03:52.280 --> 00:03:53.230
.

00:03:53.230 --> 00:03:58.210
Sol tarafta 10000x eksi 100x 9900x eder.

00:03:58.210 --> 00:04:03.620
.

00:04:03.620 --> 00:04:06.960
Sağ tarafta da, noktadan sonraki kısım birbirini götürür.

00:04:06.960 --> 00:04:08.230
.

00:04:08.230 --> 00:04:12.030
34,028 eksi 340

00:04:12.030 --> 00:04:14.120
Hadi bunu yapalım.

00:04:14.120 --> 00:04:16.010
8 büyüktür 0. Burası tamam.

00:04:16.010 --> 00:04:16.649
.

00:04:16.649 --> 00:04:19.769
2 küçüktür 4. Burada 2'ye sayı ödünç almamız gerekiyor.

00:04:19.769 --> 00:04:22.200
Yüzler basamağından alamayız çünkü 0 var.

00:04:22.200 --> 00:04:25.510
.

00:04:25.510 --> 00:04:27.710
.

00:04:27.710 --> 00:04:29.000
.

00:04:29.000 --> 00:04:31.770
4'ten alırız, 4, 3 olur.

00:04:31.770 --> 00:04:36.590
.

00:04:36.590 --> 00:04:38.140
0 da 10 olur.

00:04:38.140 --> 00:04:40.460
10 dan da bir onluk alınca 10 9 olur 2 de 12 olur.

00:04:40.460 --> 00:04:44.090
.

00:04:44.090 --> 00:04:45.820
Şimdi çıkarmayı yapalım.

00:04:45.820 --> 00:04:48.390
8 eksi 0, 8'e eşittir.

00:04:48.390 --> 00:04:51.110
12 eksi 4 8.

00:04:51.110 --> 00:04:53.880
9 eksi 3 6.

00:04:53.880 --> 00:04:55.920
3 eksi boşluk 3.

00:04:55.920 --> 00:04:57.950
.

00:04:57.950 --> 00:05:05.320
9.900x eşittir 33,688.

00:05:05.320 --> 00:05:09.180
Bu syaıdan 340'ı çıkardık ve 33,688'i elde ettik.

00:05:09.180 --> 00:05:13.110
.

00:05:13.110 --> 00:05:15.710
x i bulmak için de iki tarafı 9900 ile böleriz.

00:05:15.710 --> 00:05:21.610
.

00:05:21.610 --> 00:05:23.990
Solu 9900'a böl.

00:05:23.990 --> 00:05:26.900
Sağı 9900'a böl.

00:05:26.900 --> 00:05:28.000
Peki ne kaldı?

00:05:28.000 --> 00:05:36.850
Solda x eşittir 33,688 bölü 9900.

00:05:36.850 --> 00:05:38.550
Peki mesele ne?

00:05:38.550 --> 00:05:41.900
x bu sayıydı ve bu devirliydi.

00:05:41.900 --> 00:05:44.580
.

00:05:44.580 --> 00:05:47.500
Birazcık matematikle sayıyı değiştirdik ve x', bir kesir haline getirdi.

00:05:47.500 --> 00:05:49.660
.

00:05:49.660 --> 00:05:52.530
.

00:05:52.530 --> 00:05:55.780
Bu en sade biçimi değil, iki taraf da 2'ye ya da 4'e bölünebilir.

00:05:55.780 --> 00:05:58.900
.

00:05:58.900 --> 00:06:01.960
Aslında sadeleştirmemiz gerekir ama bunu önemsemiyoruz.

00:06:01.960 --> 00:06:02.910
.

00:06:02.910 --> 00:06:05.055
Burada önemsediğimiz şey bu sayının bir kesir şeklinde yazılabilmiş olması.

00:06:05.055 --> 00:06:09.050
.

00:06:09.050 --> 00:06:11.620
Bu sayı da iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılabildiğinden bir rasyonal sayıdır.

00:06:11.620 --> 00:06:14.720
.

00:06:14.720 --> 00:06:16.550
.

00:06:16.550 --> 00:06:19.010
Bu kullandığımız teknik bütün devirli sayılara uygulanabilir.

00:06:19.010 --> 00:06:20.700
.

00:06:20.700 --> 00:06:24.370
Herhangi bir tekrar eden basamak gördüğünüzde bu tekniği kullanabilirsiniz.

00:06:24.370 --> 00:06:25.000
.

00:06:25.000 --> 00:06:27.530
Genellikle devirli sayılar rasyonaldir.

00:06:27.530 --> 00:06:30.090
İrrasyonal olanlar pi gibi tekrar etmeden sürekli devam eden sayılardır.

00:06:30.090 --> 00:06:32.860
.

00:06:32.860 --> 00:06:34.590
Açık olan bir diğer şey de bu sayının bir tam sayı olmadığı.

00:06:34.590 --> 00:06:35.810
.

00:06:35.810 --> 00:06:37.410
Tam sayılar göz önünde bulundurduğumuz doğal sayılar.

00:06:37.410 --> 00:06:38.020
.

00:06:38.020 --> 00:06:40.390
.

00:06:40.390 --> 00:06:43.360
Bir sayma sayısı ya da doğal sayı da değil; çünkü onlar tam sayıların alt kümeleri.

00:06:43.360 --> 00:06:46.240
.

00:06:46.240 --> 00:06:47.360
Yani bunların herhangi biri değil.

00:06:47.360 --> 00:06:49.110
Bu sayı bir reel ve rasyonal sayı.

00:06:49.110 --> 00:06:51.460
.