1
00:00:00,000 --> 00:00:00,490
.

2
00:00:00,490 --> 00:00:05,430
3.4028, 28 devirli, hangi sayı kümesine aittir?

3
00:00:05,430 --> 00:00:07,330
.

4
00:00:07,330 --> 00:00:09,150
Soruyu cevaplamaya başlamadan önce düşünmemiz gereken şey devirli sayıların ne demek olduğu ve bu çizginin ne anlama geldiği?

5
00:00:09,150 --> 00:00:10,690
.

6
00:00:10,690 --> 00:00:13,000
.

7
00:00:13,000 --> 00:00:15,770
Bu çizgi 28'in tekrar ederek devam ettiğini anlatır.

8
00:00:15,770 --> 00:00:17,420
.

9
00:00:17,420 --> 00:00:25,090
Bu sayıyı 3.4028 şeklinde yazarım ve 28 kendini tekrar etmeye devam eder.

10
00:00:25,090 --> 00:00:26,110
.

11
00:00:26,110 --> 00:00:29,740
.

12
00:00:29,740 --> 00:00:32,299
.

13
00:00:32,299 --> 00:00:35,210
Açıkça görüldüğü gibi 28'i tekrar tekrar yazmaktansa üstüne bu çizgiyi koymak çok daha kolay.

14
00:00:35,210 --> 00:00:37,620
.

15
00:00:37,620 --> 00:00:41,290
Peki bu sayı hangi sayı kümesine aittir?

16
00:00:41,290 --> 00:00:44,600
Videolar boyunca incelediğimiz en geniş küme reel sayılar kümesiydi.

17
00:00:44,600 --> 00:00:45,330
.

18
00:00:45,330 --> 00:00:48,420
Bu sayının reel sayıların bir elemanı olduğu da kesin.

19
00:00:48,420 --> 00:00:50,300
Reel sayılar aslında sayı doğrusunda kullandığımız sayıların tamamını kapsıyor.

20
00:00:50,300 --> 00:00:51,990
.

21
00:00:51,990 --> 00:00:55,660
3.4028 de buralarda bir yerde.

22
00:00:55,660 --> 00:01:01,340
Burası -1 olsun, burası 0, 1, 2, 3, 4.

23
00:01:01,340 --> 00:01:04,730
3.4028 de 3.4'ten biraz büyük ve 3.41'den de biraz küçük.

24
00:01:04,730 --> 00:01:06,490
.

25
00:01:06,490 --> 00:01:07,760
.

26
00:01:07,760 --> 00:01:09,450
Sonuçta kesinlikle sayı doğrusu üzerinde.

27
00:01:09,450 --> 00:01:11,090
Bir reel sayı.

28
00:01:11,090 --> 00:01:13,870
.

29
00:01:13,870 --> 00:01:16,370
.

30
00:01:16,370 --> 00:01:19,080
Ancak bir rasyonal sayı olup olmadığı pek de açık değil.

31
00:01:19,080 --> 00:01:20,180
.

32
00:01:20,180 --> 00:01:25,040
Hatırlayın, rasyonal sayılar rasyonal veya kesirli şekillerle ifade edilebilen sayılardı.

33
00:01:25,040 --> 00:01:26,890
.

34
00:01:26,890 --> 00:01:34,390
Eğer ki p'nin rasyonal olduğunu söylersem, bu p'nin iki sayının oranı olarak yazılabileceği anlamına gelir.

35
00:01:34,390 --> 00:01:37,840
.

36
00:01:37,840 --> 00:01:45,620
P iki tam sayının oranı olarak yazılabilir, m bölü n.

37
00:01:45,620 --> 00:01:47,900
.

38
00:01:47,900 --> 00:01:50,960
Soru şu: Bu sayıyı iki tam sayının oranı şeklinde yazabilir miyim?

39
00:01:50,960 --> 00:01:51,410
.

40
00:01:51,410 --> 00:01:52,410
Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bu sayıyı bir kesir olarak yazabilir miyim?

41
00:01:52,410 --> 00:01:53,990
.

42
00:01:53,990 --> 00:01:58,510
Hadi bu sayıyı bir kesir olarak yazalım.

43
00:01:58,510 --> 00:02:01,310
x bu sayının eşiti olsun.

44
00:02:01,310 --> 00:02:09,960
x eşittir 3.4028, 28 devirli.

45
00:02:09,960 --> 00:02:12,650
Peki 10000x ne olur?

46
00:02:12,650 --> 00:02:14,470
10000x dememin sebebi noktayı buraya taşımak.

47
00:02:14,470 --> 00:02:16,960
.

48
00:02:16,960 --> 00:02:21,710
10000x

49
00:02:21,710 --> 00:02:23,380
Bu neye eşit?

50
00:02:23,380 --> 00:02:26,350
Bir sayıyı 10'un 1. kuvveti ile her çarpışta nokta bir basamak sağa kayar.

51
00:02:26,350 --> 00:02:27,420
.

52
00:02:27,420 --> 00:02:29,790
10000, 10'un 4. kuvveti. Yani noktayı 4 basamak kaydıracağız.

53
00:02:29,790 --> 00:02:31,780
.

54
00:02:31,780 --> 00:02:32,830
.

55
00:02:32,830 --> 00:02:36,400
1, 2, 3, 4.

56
00:02:36,400 --> 00:02:40,575
Yani 34028 olur.

57
00:02:40,575 --> 00:02:42,700
Ancak 28 tekrar etmeye devam eder.

58
00:02:42,700 --> 00:02:45,820
Yani bu 28'ler tekrar tekrar olacak.

59
00:02:45,820 --> 00:02:46,720
.

60
00:02:46,720 --> 00:02:49,550
Bu sayıların hepsi noktanın 5 basamak soluna kaydı.

61
00:02:49,550 --> 00:02:50,430
.

62
00:02:50,430 --> 00:02:51,070
Şöyle de bakabilrsiniz.

63
00:02:51,070 --> 00:02:53,140
.

64
00:02:53,140 --> 00:02:54,670
Bu sayı neredeyse 3 buçuk.

65
00:02:54,670 --> 00:02:57,810
10000'le çarpınca da neredeyse 350000 oldu.

66
00:02:57,810 --> 00:02:59,490
Bu 10000x

67
00:02:59,490 --> 00:03:00,970
Bir de 100x'i düşünelim.

68
00:03:00,970 --> 00:03:04,340
Yaptığım şeyin amacı x'lerle iki sayı elde etmek ve bu iki sayıyı birbirinden çıkararak tekrar eden bölümlerin birbirini götürdüğü x cinsinden sayılar elde etmek.

69
00:03:04,340 --> 00:03:06,590
.

70
00:03:06,590 --> 00:03:08,130
.

71
00:03:08,130 --> 00:03:10,970
Böylece de kolaylıkla işlem yapabilriz.

72
00:03:10,970 --> 00:03:13,260
100x'i düşünelim.

73
00:03:13,260 --> 00:03:15,530
100x.

74
00:03:15,530 --> 00:03:17,010
Bu durumda nokta 2 basamak kayar.

75
00:03:17,010 --> 00:03:18,370
.

76
00:03:18,370 --> 00:03:20,860
.

77
00:03:20,860 --> 00:03:24,830
Böyle yazayım.

78
00:03:24,830 --> 00:03:30,750
Bu sayı 340.28 devirli olur.

79
00:03:30,750 --> 00:03:32,220
28 tekrar eder.

80
00:03:32,220 --> 00:03:33,010
.

81
00:03:33,010 --> 00:03:34,670
Bu biraz ilginç çünkü bir öncekinde devrili kısmı noktadan önceye almaya uğraşmıştık.

82
00:03:34,670 --> 00:03:37,340
Burada ise noktanın diğer tarafında.

83
00:03:37,340 --> 00:03:39,710
İş şimdi ilgi çekici hale gelmeye başladı.

84
00:03:39,710 --> 00:03:42,400
Bu iki sayıyı da x'in katları şeklinde yazdıkç.

85
00:03:42,400 --> 00:03:45,790
Peki üsttekini alttakinden çıkarınca ne olur?

86
00:03:45,790 --> 00:03:46,710
.

87
00:03:46,710 --> 00:03:48,530
Devirli bölüm yok olacak.

88
00:03:48,530 --> 00:03:49,170
Hadi yapalım.

89
00:03:49,170 --> 00:03:52,280
Denklemin iki tarafına da bunu yapalım.

90
00:03:52,280 --> 00:03:53,230
.

91
00:03:53,230 --> 00:03:58,210
Sol tarafta 10000x eksi 100x 9900x eder.

92
00:03:58,210 --> 00:04:03,620
.

93
00:04:03,620 --> 00:04:06,960
Sağ tarafta da, noktadan sonraki kısım birbirini götürür.

94
00:04:06,960 --> 00:04:08,230
.

95
00:04:08,230 --> 00:04:12,030
34,028 eksi 340

96
00:04:12,030 --> 00:04:14,120
Hadi bunu yapalım.

97
00:04:14,120 --> 00:04:16,010
8 büyüktür 0. Burası tamam.

98
00:04:16,010 --> 00:04:16,649
.

99
00:04:16,649 --> 00:04:19,769
2 küçüktür 4. Burada 2'ye sayı ödünç almamız gerekiyor.

100
00:04:19,769 --> 00:04:22,200
Yüzler basamağından alamayız çünkü 0 var.

101
00:04:22,200 --> 00:04:25,510
.

102
00:04:25,510 --> 00:04:27,710
.

103
00:04:27,710 --> 00:04:29,000
.

104
00:04:29,000 --> 00:04:31,770
4'ten alırız, 4, 3 olur.

105
00:04:31,770 --> 00:04:36,590
.

106
00:04:36,590 --> 00:04:38,140
0 da 10 olur.

107
00:04:38,140 --> 00:04:40,460
10 dan da bir onluk alınca 10 9 olur 2 de 12 olur.

108
00:04:40,460 --> 00:04:44,090
.

109
00:04:44,090 --> 00:04:45,820
Şimdi çıkarmayı yapalım.

110
00:04:45,820 --> 00:04:48,390
8 eksi 0, 8'e eşittir.

111
00:04:48,390 --> 00:04:51,110
12 eksi 4 8.

112
00:04:51,110 --> 00:04:53,880
9 eksi 3 6.

113
00:04:53,880 --> 00:04:55,920
3 eksi boşluk 3.

114
00:04:55,920 --> 00:04:57,950
.

115
00:04:57,950 --> 00:05:05,320
9.900x eşittir 33,688.

116
00:05:05,320 --> 00:05:09,180
Bu syaıdan 340'ı çıkardık ve 33,688'i elde ettik.

117
00:05:09,180 --> 00:05:13,110
.

118
00:05:13,110 --> 00:05:15,710
x i bulmak için de iki tarafı 9900 ile böleriz.

119
00:05:15,710 --> 00:05:21,610
.

120
00:05:21,610 --> 00:05:23,990
Solu 9900'a böl.

121
00:05:23,990 --> 00:05:26,900
Sağı 9900'a böl.

122
00:05:26,900 --> 00:05:28,000
Peki ne kaldı?

123
00:05:28,000 --> 00:05:36,850
Solda x eşittir 33,688 bölü 9900.

124
00:05:36,850 --> 00:05:38,550
Peki mesele ne?

125
00:05:38,550 --> 00:05:41,900
x bu sayıydı ve bu devirliydi.

126
00:05:41,900 --> 00:05:44,580
.

127
00:05:44,580 --> 00:05:47,500
Birazcık matematikle sayıyı değiştirdik ve x', bir kesir haline getirdi.

128
00:05:47,500 --> 00:05:49,660
.

129
00:05:49,660 --> 00:05:52,530
.

130
00:05:52,530 --> 00:05:55,780
Bu en sade biçimi değil, iki taraf da 2'ye ya da 4'e bölünebilir.

131
00:05:55,780 --> 00:05:58,900
.

132
00:05:58,900 --> 00:06:01,960
Aslında sadeleştirmemiz gerekir ama bunu önemsemiyoruz.

133
00:06:01,960 --> 00:06:02,910
.

134
00:06:02,910 --> 00:06:05,055
Burada önemsediğimiz şey bu sayının bir kesir şeklinde yazılabilmiş olması.

135
00:06:05,055 --> 00:06:09,050
.

136
00:06:09,050 --> 00:06:11,620
Bu sayı da iki tam sayının birbirine oranı olarak yazılabildiğinden bir rasyonal sayıdır.

137
00:06:11,620 --> 00:06:14,720
.

138
00:06:14,720 --> 00:06:16,550
.

139
00:06:16,550 --> 00:06:19,010
Bu kullandığımız teknik bütün devirli sayılara uygulanabilir.

140
00:06:19,010 --> 00:06:20,700
.

141
00:06:20,700 --> 00:06:24,370
Herhangi bir tekrar eden basamak gördüğünüzde bu tekniği kullanabilirsiniz.

142
00:06:24,370 --> 00:06:25,000
.

143
00:06:25,000 --> 00:06:27,530
Genellikle devirli sayılar rasyonaldir.

144
00:06:27,530 --> 00:06:30,090
İrrasyonal olanlar pi gibi tekrar etmeden sürekli devam eden sayılardır.

145
00:06:30,090 --> 00:06:32,860
.

146
00:06:32,860 --> 00:06:34,590
Açık olan bir diğer şey de bu sayının bir tam sayı olmadığı.

147
00:06:34,590 --> 00:06:35,810
.

148
00:06:35,810 --> 00:06:37,410
Tam sayılar göz önünde bulundurduğumuz doğal sayılar.

149
00:06:37,410 --> 00:06:38,020
.

150
00:06:38,020 --> 00:06:40,390
.

151
00:06:40,390 --> 00:06:43,360
Bir sayma sayısı ya da doğal sayı da değil; çünkü onlar tam sayıların alt kümeleri.

152
00:06:43,360 --> 00:06:46,240
.

153
00:06:46,240 --> 00:06:47,360
Yani bunların herhangi biri değil.

154
00:06:47,360 --> 00:06:49,110
Bu sayı bir reel ve rasyonal sayı.

155
00:06:49,110 --> 00:06:51,460
.