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数の集合 2

  • 0:00 - 0:05
    3.4028の循環小数は
  • 0:05 - 0:07
    どの数の集合に属しますか？
  • 0:07 - 0:09
    これに答える前に
  • 0:09 - 0:11
    この数値について考えましょう。
  • 0:11 - 0:13
    特にこの上部の線に注目します。
  • 0:13 - 0:16
    この線は
  • 0:16 - 0:17
    この28が永遠に
    繰り返されることを意味します。
  • 0:17 - 0:20
    だから、この数値を
  • 0:20 - 0:26
    3.40282828．．．と書くこともできます。
  • 0:26 - 0:30
    これを続けていきます。
  • 0:30 - 0:32
    永遠に続きます。
  • 0:32 - 0:35
    だから、線を書いて表した方が簡単です。
  • 0:35 - 0:38
    これは28の繰り返しです。
  • 0:38 - 0:41
    では、この数はどんな集合に属するでしょうか？
  • 0:41 - 0:44
    まず、これまで習った中で一番広い数の集合は
  • 0:44 - 0:45
    実数です。
  • 0:45 - 0:48
    これは、確実に実数に属します。
  • 0:48 - 0:50
    実数は、数直線上の
  • 0:50 - 0:52
    すべての数です。
  • 0:52 - 0:56
    3.4028の循環小数はこの辺です。
  • 0:56 - 1:01
    これが-1なら、これが0, 1, 2, 3, 4
  • 1:01 - 1:05
    3.4028は、3.4より少し大きく
  • 1:05 - 1:06
    3.41より小さいです。
  • 1:06 - 1:08
    この辺です。
  • 1:08 - 1:09
    これは、数直線で表せる数です。
  • 1:09 - 1:11
    実数です。
  • 1:11 - 1:14
    確実に実数です。
  • 1:14 - 1:16
    これは、実数です。
  • 1:16 - 1:19
    しかし、これは、
  • 1:19 - 1:20
    有理数でしょうか？
  • 1:20 - 1:25
    有理数は
  • 1:25 - 1:27
    分数で表現できる数です。
  • 1:27 - 1:34
    ある数pが有理数なら、
  • 1:34 - 1:38
    それを2つの整数の比として表現できます。
  • 1:38 - 1:46
    つまり、pは2つの整数の比で
  • 1:46 - 1:48
    m/n で表せます。
  • 1:48 - 1:51
    では、この数は
  • 1:51 - 1:51
    比で表せますか？
  • 1:51 - 1:52
    あるいは
  • 1:52 - 1:54
    分数に変換できますか？
  • 1:54 - 1:59
    実際に分数にしてみましょう。
  • 1:59 - 2:01
    xがこれに等しい数とします。
  • 2:01 - 2:10
    xは　3.4028の循環小数に等しいです。
  • 2:10 - 2:13
    では、10000xは何でしょう。
  • 2:13 - 2:14
    10000で掛ける理由は
  • 2:14 - 2:17
    小数点をここに移動するためです。
  • 2:17 - 2:22
    では、10000倍します。
  • 2:22 - 2:23
    これは何になりますか？
  • 2:23 - 2:26
    10倍するごとに
  • 2:26 - 2:27
    小数点が1つ右に移動します。
  • 2:27 - 2:30
    10000は10の4乗です。
  • 2:30 - 2:32
    小数点は
  • 2:32 - 2:33
    ここに来ます。
  • 2:33 - 2:36
    1, 2, 3, 4
  • 2:36 - 2:41
    34028です。
  • 2:41 - 2:43
    そして、28が繰り返されて続きます。
  • 2:43 - 2:46
    ずっと28が
  • 2:46 - 2:47
    続きます。
  • 2:47 - 2:50
    小数点の位置を
  • 2:50 - 2:50
    4つ移動しました。(訳注:4を5と間違えている)
  • 2:50 - 2:51
    いいですか?
  • 2:51 - 2:53
    わかりますか?？
  • 2:53 - 2:55
    これは、3と1/2に近いです。
  • 2:55 - 2:58
    10000倍すると、約35000です。
  • 2:58 - 2:59
    10000倍です。
  • 2:59 - 3:01
    100倍も考えましょう。
  • 3:01 - 3:04
    これで、2つの数が得られます。
  • 3:04 - 3:07
    これを差し引くと
  • 3:07 - 3:08
    循環している数の部分が無くなります。
  • 3:08 - 3:11
    すると、通常の数として扱えます。
  • 3:11 - 3:13
    では、100倍した数は
  • 3:13 - 3:16
    何でしょう？
  • 3:16 - 3:17
    小数点を動かします。
  • 3:17 - 3:18
    元の位置はここです。
  • 3:18 - 3:21
    2つ右に移動します。
  • 3:21 - 3:25
    100倍は...
  • 3:25 - 3:31
    340.2828…と繰り返していると書けます。
  • 3:31 - 3:32
    28の繰り返しの線をここに書こうと思うかもしれませんが,
  • 3:32 - 3:33
    しかしそれはあまり意味がありません
  • 3:33 - 3:35
    繰り返しは小数点以下に書きます
  • 3:35 - 3:37
    28の循環を書きます。
  • 3:37 - 3:40
    ここで面白いことに気がつきます。
  • 3:40 - 3:42
    2つの数はxの倍数です。
  • 3:42 - 3:46
    上から下の数を引くと
  • 3:46 - 3:47
    どうなりますか？
  • 3:47 - 3:49
    繰り返しの部分が無くなります。
  • 3:49 - 3:49
    やってみましょう。
  • 3:49 - 3:52
    この式の両辺で行ないます。
  • 3:52 - 3:53
    やってみます。
  • 3:53 - 3:58
    左側は10000x-100xで、
  • 3:58 - 4:04
    9900xです。
  • 4:04 - 4:07
    右側は
  • 4:07 - 4:08
    小数点以下が無くなります。
  • 4:08 - 4:12
    34028-340は
  • 4:12 - 4:14
    何でしょう？
  • 4:14 - 4:16
    8は0より大きいので
  • 4:16 - 4:17
    心配ありません。
  • 4:17 - 4:20
    2は4より小さいです。
  • 4:20 - 4:22
    再編成が必要ですが
  • 4:22 - 4:26
    ここは0なので桁借りができません
  • 4:26 - 4:28
    0は3より小さいので、
  • 4:28 - 4:29
    また上から借りてきます。
  • 4:29 - 4:32
    4から借りてきます。
  • 4:32 - 4:37
    だから、これは3になります。
  • 4:37 - 4:38
    これは、10になります。
  • 4:38 - 4:40
    2は10から借りてこれます。
  • 4:40 - 4:44
    これは、9になり、これは12になります。
  • 4:44 - 4:46
    これで、引き算ができます。
  • 4:46 - 4:48
    8-0は8
  • 4:48 - 4:51
    12-4は8
  • 4:51 - 4:54
    9-3は6です。
  • 4:54 - 4:56
    3-0は3で、
  • 4:56 - 4:58
    3-0は3です
  • 4:58 - 5:05
    9900xは33688に等しいです。
  • 5:05 - 5:09
    340をここから引き
  • 5:09 - 5:13
    33688が得られました。
  • 5:13 - 5:16
    xについて解くと
  • 5:16 - 5:22
    両辺を9900で割り、
  • 5:22 - 5:24
    左を9900で割ります。
  • 5:24 - 5:27
    右を9900で割ります。
  • 5:27 - 5:28
    何が残りますか？
  • 5:28 - 5:37
    xは33688/9900に等しいです。
  • 5:37 - 5:39
    どうしてこんなことをしたのでしょうか?
  • 5:39 - 5:42
    この数はxで、xは
  • 5:42 - 5:45
    この循環小数です。
  • 5:45 - 5:48
    代数を使って
  • 5:48 - 5:50
    計算することにより
  • 5:50 - 5:53
    xを分数で表すことができました。
  • 5:53 - 5:56
    既約の分数ではありませんが…
  • 5:56 - 5:59
    （分子と分母の）両方は2か4で割れそうです。
  • 5:59 - 6:02
    これを既約の形に変えることもできますが
  • 6:02 - 6:03
    ここではそれは問題ではありません。
  • 6:03 - 6:05
    ここでは、xが2つの整数の
  • 6:05 - 6:09
    分数で表されるかどうかを
  • 6:09 - 6:12
    見ています。
  • 6:12 - 6:15
    つまり、この数はまた有理数です。
  • 6:15 - 6:17
    有理数です。
  • 6:17 - 6:19
    この方法は
  • 6:19 - 6:21
    この数だけでなく、他の数でも使用できます。
  • 6:21 - 6:24
    循環小数にはいつでも
  • 6:24 - 6:25
    この方法が使用できます。
  • 6:25 - 6:28
    一般に循環小数は有理数です。
  • 6:28 - 6:30
    永遠に続く小数の無理数の例は
  • 6:30 - 6:33
    円周率です。
  • 6:33 - 6:35
    他の数の集合ですが
  • 6:35 - 6:36
    これは、整数ではありません。
  • 6:36 - 6:37
    整数は
  • 6:37 - 6:38
    小数点以下のない数です。
  • 6:38 - 6:40
    これは、整数の間の数です。
  • 6:40 - 6:43
    自然数でもありません。
  • 6:43 - 6:46
    自然数は整数の一部です。
  • 6:46 - 6:47
    だから、自然数ではありません。
  • 6:47 - 6:49
    これは実数で、有理数です。
  • 6:49 - 6:51
    以上です。
Title:
数の集合 2
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Video Language:
English
Duration:
06:52
Hitoshi Yamauchi edited Japanese subtitles for Number Sets 2
Hitoshi Yamauchi edited Japanese subtitles for Number Sets 2
Nobuko Hamaguchi edited Japanese subtitles for Number Sets 2

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