3.4028の循環小数は
どの数の集合に属しますか?
これに答える前に
この数値について考えましょう。
特にこの上部の線に注目します。
この線は
この28が永遠に
繰り返されることを意味します。
だから、この数値を
3.40282828...と書くこともできます。
これを続けていきます。
永遠に続きます。
だから、線を書いて表した方が簡単です。
これは28の繰り返しです。
では、この数はどんな集合に属するでしょうか?
まず、これまで習った中で一番広い数の集合は
実数です。
これは、確実に実数に属します。
実数は、数直線上の
すべての数です。
3.4028の循環小数はこの辺です。
これが-1なら、これが0, 1, 2, 3, 4
3.4028は、3.4より少し大きく
3.41より小さいです。
この辺です。
これは、数直線で表せる数です。
実数です。
確実に実数です。
これは、実数です。
しかし、これは、
有理数でしょうか?
有理数は
分数で表現できる数です。
ある数pが有理数なら、
それを2つの整数の比として表現できます。
つまり、pは2つの整数の比で
m/n で表せます。
では、この数は
比で表せますか?
あるいは
分数に変換できますか?
実際に分数にしてみましょう。
xがこれに等しい数とします。
xは 3.4028の循環小数に等しいです。
では、10000xは何でしょう。
10000で掛ける理由は
小数点をここに移動するためです。
では、10000倍します。
これは何になりますか?
10倍するごとに
小数点が1つ右に移動します。
10000は10の4乗です。
小数点は
ここに来ます。
1, 2, 3, 4
34028です。
そして、28が繰り返されて続きます。
ずっと28が
続きます。
小数点の位置を
4つ移動しました。(訳注:4を5と間違えている)
いいですか?
わかりますか??
これは、3と1/2に近いです。
10000倍すると、約35000です。
10000倍です。
100倍も考えましょう。
これで、2つの数が得られます。
これを差し引くと
循環している数の部分が無くなります。
すると、通常の数として扱えます。
では、100倍した数は
何でしょう?
小数点を動かします。
元の位置はここです。
2つ右に移動します。
100倍は...
340.2828…と繰り返していると書けます。
28の繰り返しの線をここに書こうと思うかもしれませんが,
しかしそれはあまり意味がありません
繰り返しは小数点以下に書きます
28の循環を書きます。
ここで面白いことに気がつきます。
2つの数はxの倍数です。
上から下の数を引くと
どうなりますか?
繰り返しの部分が無くなります。
やってみましょう。
この式の両辺で行ないます。
やってみます。
左側は10000x-100xで、
9900xです。
右側は
小数点以下が無くなります。
34028-340は
何でしょう?
8は0より大きいので
心配ありません。
2は4より小さいです。
再編成が必要ですが
ここは0なので桁借りができません
0は3より小さいので、
また上から借りてきます。
4から借りてきます。
だから、これは3になります。
これは、10になります。
2は10から借りてこれます。
これは、9になり、これは12になります。
これで、引き算ができます。
8-0は8
12-4は8
9-3は6です。
3-0は3で、
3-0は3です
9900xは33688に等しいです。
340をここから引き
33688が得られました。
xについて解くと
両辺を9900で割り、
左を9900で割ります。
右を9900で割ります。
何が残りますか?
xは33688/9900に等しいです。
どうしてこんなことをしたのでしょうか?
この数はxで、xは
この循環小数です。
代数を使って
計算することにより
xを分数で表すことができました。
既約の分数ではありませんが…
(分子と分母の)両方は2か4で割れそうです。
これを既約の形に変えることもできますが
ここではそれは問題ではありません。
ここでは、xが2つの整数の
分数で表されるかどうかを
見ています。
つまり、この数はまた有理数です。
有理数です。
この方法は
この数だけでなく、他の数でも使用できます。
循環小数にはいつでも
この方法が使用できます。
一般に循環小数は有理数です。
永遠に続く小数の無理数の例は
円周率です。
他の数の集合ですが
これは、整数ではありません。
整数は
小数点以下のない数です。
これは、整数の間の数です。
自然数でもありません。
自然数は整数の一部です。
だから、自然数ではありません。
これは実数で、有理数です。
以上です。