0:00:00.490,0:00:05.430
3.4028の循環小数は

0:00:05.430,0:00:07.330
どの数の集合に属しますか？

0:00:07.330,0:00:09.150
これに答える前に

0:00:09.150,0:00:10.690
この数値について考えましょう。

0:00:10.690,0:00:13.000
特にこの上部の線に注目します。

0:00:13.000,0:00:15.770
この線は

0:00:15.770,0:00:17.420
この28が永遠に[br]繰り返されることを意味します。

0:00:17.420,0:00:19.850
だから、この数値を

0:00:19.850,0:00:26.110
3.40282828．．．と書くこともできます。

0:00:26.110,0:00:29.740
これを続けていきます。

0:00:29.740,0:00:32.299
永遠に続きます。

0:00:32.299,0:00:35.210
だから、線を書いて表した方が簡単です。

0:00:35.210,0:00:37.620
これは28の繰り返しです。

0:00:37.620,0:00:41.290
では、この数はどんな集合に属するでしょうか？

0:00:41.290,0:00:44.040
まず、これまで習った中で一番広い数の集合は

0:00:44.040,0:00:45.330
実数です。

0:00:45.330,0:00:48.420
これは、確実に実数に属します。

0:00:48.420,0:00:50.300
実数は、数直線上の

0:00:50.300,0:00:51.990
すべての数です。

0:00:51.990,0:00:55.660
3.4028の循環小数はこの辺です。

0:00:55.660,0:01:01.340
これが-1なら、これが0, 1, 2, 3, 4

0:01:01.340,0:01:04.730
3.4028は、3.4より少し大きく

0:01:04.730,0:01:06.490
3.41より小さいです。

0:01:06.490,0:01:07.760
この辺です。

0:01:07.760,0:01:09.450
これは、数直線で表せる数です。

0:01:09.450,0:01:11.090
実数です。

0:01:11.090,0:01:13.870
確実に実数です。

0:01:13.870,0:01:16.370
これは、実数です。

0:01:16.370,0:01:19.080
しかし、これは、

0:01:19.080,0:01:20.180
有理数でしょうか？

0:01:20.180,0:01:25.040
有理数は

0:01:25.040,0:01:26.890
分数で表現できる数です。

0:01:26.890,0:01:34.390
ある数pが有理数なら、

0:01:34.390,0:01:37.840
それを2つの整数の比として表現できます。

0:01:37.840,0:01:45.620
つまり、pは2つの整数の比で

0:01:45.620,0:01:47.900
m/n で表せます。

0:01:47.900,0:01:50.960
では、この数は

0:01:50.960,0:01:51.410
比で表せますか？

0:01:51.410,0:01:52.410
あるいは

0:01:52.410,0:01:53.990
分数に変換できますか？

0:01:53.990,0:01:58.510
実際に分数にしてみましょう。

0:01:58.510,0:02:01.310
xがこれに等しい数とします。

0:02:01.310,0:02:09.960
xは　3.4028の循環小数に等しいです。

0:02:09.960,0:02:12.650
では、10000xは何でしょう。

0:02:12.650,0:02:14.470
10000で掛ける理由は

0:02:14.470,0:02:16.960
小数点をここに移動するためです。

0:02:16.960,0:02:21.710
では、10000倍します。

0:02:21.710,0:02:23.380
これは何になりますか？

0:02:23.380,0:02:26.350
10倍するごとに

0:02:26.350,0:02:27.420
小数点が1つ右に移動します。

0:02:27.420,0:02:29.790
10000は10の4乗です。

0:02:29.790,0:02:31.780
小数点は

0:02:31.780,0:02:32.830
ここに来ます。

0:02:32.830,0:02:36.400
1, 2, 3, 4

0:02:36.400,0:02:40.575
34028です。

0:02:40.575,0:02:42.700
そして、28が繰り返されて続きます。

0:02:42.700,0:02:45.820
ずっと28が

0:02:45.820,0:02:46.720
続きます。

0:02:46.720,0:02:49.550
小数点の位置を

0:02:49.550,0:02:50.430
4つ移動しました。(訳注:4を5と間違えている)

0:02:50.430,0:02:51.070
いいですか?

0:02:51.070,0:02:53.140
わかりますか?？

0:02:53.140,0:02:54.670
これは、3と1/2に近いです。

0:02:54.670,0:02:57.810
10000倍すると、約35000です。

0:02:57.810,0:02:59.490
10000倍です。

0:02:59.490,0:03:00.970
100倍も考えましょう。

0:03:00.970,0:03:04.340
これで、2つの数が得られます。

0:03:04.340,0:03:06.590
これを差し引くと

0:03:06.590,0:03:08.130
循環している数の部分が無くなります。

0:03:08.130,0:03:10.970
すると、通常の数として扱えます。

0:03:10.970,0:03:13.260
では、100倍した数は

0:03:13.260,0:03:15.530
何でしょう？

0:03:15.530,0:03:17.010
小数点を動かします。

0:03:17.010,0:03:18.370
元の位置はここです。

0:03:18.370,0:03:20.860
2つ右に移動します。

0:03:20.860,0:03:24.830
100倍は...

0:03:24.830,0:03:30.750
340.2828…と繰り返していると書けます。

0:03:30.750,0:03:32.220
28の繰り返しの線をここに書こうと思うかもしれませんが,

0:03:32.220,0:03:33.010
しかしそれはあまり意味がありません

0:03:33.010,0:03:34.670
繰り返しは小数点以下に書きます

0:03:34.670,0:03:37.340
28の循環を書きます。

0:03:37.340,0:03:39.710
ここで面白いことに気がつきます。

0:03:39.710,0:03:42.400
2つの数はxの倍数です。

0:03:42.400,0:03:45.790
上から下の数を引くと

0:03:45.790,0:03:46.710
どうなりますか？

0:03:46.710,0:03:48.530
繰り返しの部分が無くなります。

0:03:48.530,0:03:49.170
やってみましょう。

0:03:49.170,0:03:52.280
この式の両辺で行ないます。

0:03:52.280,0:03:53.230
やってみます。

0:03:53.230,0:03:58.210
左側は10000x-100xで、

0:03:58.210,0:04:03.620
9900xです。

0:04:03.620,0:04:06.960
右側は

0:04:06.960,0:04:08.230
小数点以下が無くなります。

0:04:08.230,0:04:12.030
34028-340は

0:04:12.030,0:04:14.120
何でしょう？

0:04:14.120,0:04:16.010
8は0より大きいので

0:04:16.010,0:04:16.649
心配ありません。

0:04:16.649,0:04:19.769
2は4より小さいです。

0:04:19.769,0:04:22.200
再編成が必要ですが

0:04:22.200,0:04:25.510
ここは0なので桁借りができません

0:04:25.510,0:04:27.710
0は3より小さいので、

0:04:27.710,0:04:29.000
また上から借りてきます。

0:04:29.000,0:04:31.770
4から借りてきます。

0:04:31.770,0:04:36.590
だから、これは3になります。

0:04:36.590,0:04:38.140
これは、10になります。

0:04:38.140,0:04:40.460
2は10から借りてこれます。

0:04:40.460,0:04:44.090
これは、9になり、これは12になります。

0:04:44.090,0:04:45.820
これで、引き算ができます。

0:04:45.820,0:04:48.390
8-0は8

0:04:48.390,0:04:51.110
12-4は8

0:04:51.110,0:04:53.880
9-3は6です。

0:04:53.880,0:04:56.323
3-0は3で、

0:04:56.323,0:04:58.426
3-0は3です

0:04:58.426,0:05:05.320
9900xは33688に等しいです。

0:05:05.320,0:05:09.180
340をここから引き

0:05:09.180,0:05:13.110
33688が得られました。

0:05:13.110,0:05:15.710
xについて解くと

0:05:15.710,0:05:21.610
両辺を9900で割り、

0:05:21.610,0:05:23.990
左を9900で割ります。

0:05:23.990,0:05:26.900
右を9900で割ります。

0:05:26.900,0:05:28.000
何が残りますか？

0:05:28.000,0:05:36.850
xは33688/9900に等しいです。

0:05:36.850,0:05:38.550
どうしてこんなことをしたのでしょうか?

0:05:38.550,0:05:41.900
この数はxで、xは

0:05:41.900,0:05:44.580
この循環小数です。

0:05:44.580,0:05:47.500
代数を使って

0:05:47.500,0:05:49.660
計算することにより

0:05:49.660,0:05:52.530
xを分数で表すことができました。

0:05:52.530,0:05:55.780
既約の分数ではありませんが…

0:05:55.780,0:05:58.900
（分子と分母の）両方は2か4で割れそうです。

0:05:58.900,0:06:01.960
これを既約の形に変えることもできますが

0:06:01.960,0:06:02.910
ここではそれは問題ではありません。

0:06:02.910,0:06:05.055
ここでは、xが2つの整数の

0:06:05.055,0:06:09.050
分数で表されるかどうかを

0:06:09.050,0:06:11.620
見ています。

0:06:11.620,0:06:14.720
つまり、この数はまた有理数です。

0:06:14.720,0:06:16.550
有理数です。

0:06:16.550,0:06:19.010
この方法は

0:06:19.010,0:06:20.700
この数だけでなく、他の数でも使用できます。

0:06:20.700,0:06:24.370
循環小数にはいつでも

0:06:24.370,0:06:25.000
この方法が使用できます。

0:06:25.000,0:06:27.530
一般に循環小数は有理数です。

0:06:27.530,0:06:30.090
永遠に続く小数の無理数の例は

0:06:30.090,0:06:32.860
円周率です。

0:06:32.860,0:06:34.590
他の数の集合ですが

0:06:34.590,0:06:35.810
これは、整数ではありません。

0:06:35.810,0:06:37.410
整数は

0:06:37.410,0:06:38.020
小数点以下のない数です。

0:06:38.020,0:06:40.390
これは、整数の間の数です。

0:06:40.390,0:06:43.360
自然数でもありません。

0:06:43.360,0:06:46.240
自然数は整数の一部です。

0:06:46.240,0:06:47.360
だから、自然数ではありません。

0:06:47.360,0:06:49.110
これは実数で、有理数です。

0:06:49.110,0:06:51.460
以上です。