WEBVTT

00:00:00.490 --> 00:00:05.430
3.4028の循環小数は

00:00:05.430 --> 00:00:07.330
どの数の集合に属しますか？

00:00:07.330 --> 00:00:09.150
これに答える前に

00:00:09.150 --> 00:00:10.690
この数値について考えましょう。

00:00:10.690 --> 00:00:13.000
特にこの上部の線に注目します。

00:00:13.000 --> 00:00:15.770
この線は

00:00:15.770 --> 00:00:17.420
この28が永遠に
繰り返されることを意味します。

00:00:17.420 --> 00:00:19.850
だから、この数値を

00:00:19.850 --> 00:00:26.110
3.40282828．．．と書くこともできます。

00:00:26.110 --> 00:00:29.740
これを続けていきます。

00:00:29.740 --> 00:00:32.299
永遠に続きます。

00:00:32.299 --> 00:00:35.210
だから、線を書いて表した方が簡単です。

00:00:35.210 --> 00:00:37.620
これは28の繰り返しです。

00:00:37.620 --> 00:00:41.290
では、この数はどんな集合に属するでしょうか？

00:00:41.290 --> 00:00:44.040
まず、これまで習った中で一番広い数の集合は

00:00:44.040 --> 00:00:45.330
実数です。

00:00:45.330 --> 00:00:48.420
これは、確実に実数に属します。

00:00:48.420 --> 00:00:50.300
実数は、数直線上の

00:00:50.300 --> 00:00:51.990
すべての数です。

00:00:51.990 --> 00:00:55.660
3.4028の循環小数はこの辺です。

00:00:55.660 --> 00:01:01.340
これが-1なら、これが0, 1, 2, 3, 4

00:01:01.340 --> 00:01:04.730
3.4028は、3.4より少し大きく

00:01:04.730 --> 00:01:06.490
3.41より小さいです。

00:01:06.490 --> 00:01:07.760
この辺です。

00:01:07.760 --> 00:01:09.450
これは、数直線で表せる数です。

00:01:09.450 --> 00:01:11.090
実数です。

00:01:11.090 --> 00:01:13.870
確実に実数です。

00:01:13.870 --> 00:01:16.370
これは、実数です。

00:01:16.370 --> 00:01:19.080
しかし、これは、

00:01:19.080 --> 00:01:20.180
有理数でしょうか？

00:01:20.180 --> 00:01:25.040
有理数は

00:01:25.040 --> 00:01:26.890
分数で表現できる数です。

00:01:26.890 --> 00:01:34.390
ある数pが有理数なら、

00:01:34.390 --> 00:01:37.840
それを2つの整数の比として表現できます。

00:01:37.840 --> 00:01:45.620
つまり、pは2つの整数の比で

00:01:45.620 --> 00:01:47.900
m/n で表せます。

00:01:47.900 --> 00:01:50.960
では、この数は

00:01:50.960 --> 00:01:51.410
比で表せますか？

00:01:51.410 --> 00:01:52.410
あるいは

00:01:52.410 --> 00:01:53.990
分数に変換できますか？

00:01:53.990 --> 00:01:58.510
実際に分数にしてみましょう。

00:01:58.510 --> 00:02:01.310
xがこれに等しい数とします。

00:02:01.310 --> 00:02:09.960
xは　3.4028の循環小数に等しいです。

00:02:09.960 --> 00:02:12.650
では、10000xは何でしょう。

00:02:12.650 --> 00:02:14.470
10000で掛ける理由は

00:02:14.470 --> 00:02:16.960
小数点をここに移動するためです。

00:02:16.960 --> 00:02:21.710
では、10000倍します。

00:02:21.710 --> 00:02:23.380
これは何になりますか？

00:02:23.380 --> 00:02:26.350
10倍するごとに

00:02:26.350 --> 00:02:27.420
小数点が1つ右に移動します。

00:02:27.420 --> 00:02:29.790
10000は10の4乗です。

00:02:29.790 --> 00:02:31.780
小数点は

00:02:31.780 --> 00:02:32.830
ここに来ます。

00:02:32.830 --> 00:02:36.400
1, 2, 3, 4

00:02:36.400 --> 00:02:40.575
34028です。

00:02:40.575 --> 00:02:42.700
そして、28が繰り返されて続きます。

00:02:42.700 --> 00:02:45.820
ずっと28が

00:02:45.820 --> 00:02:46.720
続きます。

00:02:46.720 --> 00:02:49.550
小数点の位置を

00:02:49.550 --> 00:02:50.430
4つ移動しました。(訳注:4を5と間違えている)

00:02:50.430 --> 00:02:51.070
いいですか?

00:02:51.070 --> 00:02:53.140
わかりますか?？

00:02:53.140 --> 00:02:54.670
これは、3と1/2に近いです。

00:02:54.670 --> 00:02:57.810
10000倍すると、約35000です。

00:02:57.810 --> 00:02:59.490
10000倍です。

00:02:59.490 --> 00:03:00.970
100倍も考えましょう。

00:03:00.970 --> 00:03:04.340
これで、2つの数が得られます。

00:03:04.340 --> 00:03:06.590
これを差し引くと

00:03:06.590 --> 00:03:08.130
循環している数の部分が無くなります。

00:03:08.130 --> 00:03:10.970
すると、通常の数として扱えます。

00:03:10.970 --> 00:03:13.260
では、100倍した数は

00:03:13.260 --> 00:03:15.530
何でしょう？

00:03:15.530 --> 00:03:17.010
小数点を動かします。

00:03:17.010 --> 00:03:18.370
元の位置はここです。

00:03:18.370 --> 00:03:20.860
2つ右に移動します。

00:03:20.860 --> 00:03:24.830
100倍は...

00:03:24.830 --> 00:03:30.750
340.2828…と繰り返していると書けます。

00:03:30.750 --> 00:03:32.220
28の繰り返しの線をここに書こうと思うかもしれませんが,

00:03:32.220 --> 00:03:33.010
しかしそれはあまり意味がありません

00:03:33.010 --> 00:03:34.670
繰り返しは小数点以下に書きます

00:03:34.670 --> 00:03:37.340
28の循環を書きます。

00:03:37.340 --> 00:03:39.710
ここで面白いことに気がつきます。

00:03:39.710 --> 00:03:42.400
2つの数はxの倍数です。

00:03:42.400 --> 00:03:45.790
上から下の数を引くと

00:03:45.790 --> 00:03:46.710
どうなりますか？

00:03:46.710 --> 00:03:48.530
繰り返しの部分が無くなります。

00:03:48.530 --> 00:03:49.170
やってみましょう。

00:03:49.170 --> 00:03:52.280
この式の両辺で行ないます。

00:03:52.280 --> 00:03:53.230
やってみます。

00:03:53.230 --> 00:03:58.210
左側は10000x-100xで、

00:03:58.210 --> 00:04:03.620
9900xです。

00:04:03.620 --> 00:04:06.960
右側は

00:04:06.960 --> 00:04:08.230
小数点以下が無くなります。

00:04:08.230 --> 00:04:12.030
34028-340は

00:04:12.030 --> 00:04:14.120
何でしょう？

00:04:14.120 --> 00:04:16.010
8は0より大きいので

00:04:16.010 --> 00:04:16.649
心配ありません。

00:04:16.649 --> 00:04:19.769
2は4より小さいです。

00:04:19.769 --> 00:04:22.200
再編成が必要ですが

00:04:22.200 --> 00:04:25.510
ここは0なので桁借りができません

00:04:25.510 --> 00:04:27.710
0は3より小さいので、

00:04:27.710 --> 00:04:29.000
また上から借りてきます。

00:04:29.000 --> 00:04:31.770
4から借りてきます。

00:04:31.770 --> 00:04:36.590
だから、これは3になります。

00:04:36.590 --> 00:04:38.140
これは、10になります。

00:04:38.140 --> 00:04:40.460
2は10から借りてこれます。

00:04:40.460 --> 00:04:44.090
これは、9になり、これは12になります。

00:04:44.090 --> 00:04:45.820
これで、引き算ができます。

00:04:45.820 --> 00:04:48.390
8-0は8

00:04:48.390 --> 00:04:51.110
12-4は8

00:04:51.110 --> 00:04:53.880
9-3は6です。

00:04:53.880 --> 00:04:56.323
3-0は3で、

00:04:56.323 --> 00:04:58.426
3-0は3です

00:04:58.426 --> 00:05:05.320
9900xは33688に等しいです。

00:05:05.320 --> 00:05:09.180
340をここから引き

00:05:09.180 --> 00:05:13.110
33688が得られました。

00:05:13.110 --> 00:05:15.710
xについて解くと

00:05:15.710 --> 00:05:21.610
両辺を9900で割り、

00:05:21.610 --> 00:05:23.990
左を9900で割ります。

00:05:23.990 --> 00:05:26.900
右を9900で割ります。

00:05:26.900 --> 00:05:28.000
何が残りますか？

00:05:28.000 --> 00:05:36.850
xは33688/9900に等しいです。

00:05:36.850 --> 00:05:38.550
どうしてこんなことをしたのでしょうか?

00:05:38.550 --> 00:05:41.900
この数はxで、xは

00:05:41.900 --> 00:05:44.580
この循環小数です。

00:05:44.580 --> 00:05:47.500
代数を使って

00:05:47.500 --> 00:05:49.660
計算することにより

00:05:49.660 --> 00:05:52.530
xを分数で表すことができました。

00:05:52.530 --> 00:05:55.780
既約の分数ではありませんが…

00:05:55.780 --> 00:05:58.900
（分子と分母の）両方は2か4で割れそうです。

00:05:58.900 --> 00:06:01.960
これを既約の形に変えることもできますが

00:06:01.960 --> 00:06:02.910
ここではそれは問題ではありません。

00:06:02.910 --> 00:06:05.055
ここでは、xが2つの整数の

00:06:05.055 --> 00:06:09.050
分数で表されるかどうかを

00:06:09.050 --> 00:06:11.620
見ています。

00:06:11.620 --> 00:06:14.720
つまり、この数はまた有理数です。

00:06:14.720 --> 00:06:16.550
有理数です。

00:06:16.550 --> 00:06:19.010
この方法は

00:06:19.010 --> 00:06:20.700
この数だけでなく、他の数でも使用できます。

00:06:20.700 --> 00:06:24.370
循環小数にはいつでも

00:06:24.370 --> 00:06:25.000
この方法が使用できます。

00:06:25.000 --> 00:06:27.530
一般に循環小数は有理数です。

00:06:27.530 --> 00:06:30.090
永遠に続く小数の無理数の例は

00:06:30.090 --> 00:06:32.860
円周率です。

00:06:32.860 --> 00:06:34.590
他の数の集合ですが

00:06:34.590 --> 00:06:35.810
これは、整数ではありません。

00:06:35.810 --> 00:06:37.410
整数は

00:06:37.410 --> 00:06:38.020
小数点以下のない数です。

00:06:38.020 --> 00:06:40.390
これは、整数の間の数です。

00:06:40.390 --> 00:06:43.360
自然数でもありません。

00:06:43.360 --> 00:06:46.240
自然数は整数の一部です。

00:06:46.240 --> 00:06:47.360
だから、自然数ではありません。

00:06:47.360 --> 00:06:49.110
これは実数で、有理数です。

00:06:49.110 --> 00:06:51.460
以上です。