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A quale insieme numerico appartiene
il numero 3.4028 periodico?
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Prima di rispondere alla domanda,
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pensiamo a cosa rappresenta.
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Soprattutto a cosa
significa la linea lì sopra.
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Questa linea sopra vuol dire che il
28 continua a ripetersi all'infinito.
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Posso esprimere questo numero come 3.4028
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ma il 28 continua a ripetersi.
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Si ripete sempre all'infinito.
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Posso continuare a scriverlo all'infinito.
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E ovviamente, è più facile
scrivere questa linea
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sopra al 28 per dire
che si ripete all'infinito.
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Ora pensiamo a quale
insieme numerico appartiene.
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L'insieme numerico più ampio che
abbiamo visto finora sono i numeri reali.
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E questo numero sicuramente
appartiene ai numeri reali.
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I numeri reali sono tutti quelli della
retta numerica che siamo abituati a usare.
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E 3.4028 periodico sta più o meno qui.
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Se questo è -1, 0, 1, 2, 3, 4
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allora 3.4028 è un po' più di 3.4
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ma un po' meno di 3.41
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e si trova qui.
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Quindi sta sulla retta numerica.
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È un numero reale.
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È sicuramente reale.
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Ma la domanda non così ovvia
è se sia un numero razionale.
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Ricorda, un numero razionale
può essere espresso come
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espressione razionale o frazione.
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Se ti dico che p è razionale, vuol dire
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che p può essere espresso come
rapporto di due interi relativi.
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Vuol dire che p può essere espresso come
rapporto di due interi relativi, m/n.
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La domanda è: posso esprimere questo
numero come rapporto di due interi?
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O in un altro modo, posso
esprimerlo come frazione?
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E per vederlo, esprimiamolo come frazione.
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Definiamo x uguale a questo numero.
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Quindi x è uguale a 3.4028 periodico.
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Pensiamo a cos'è 10000x.
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Il motivo per cui faccio 10000x è perché
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voglio spostare il punto
decimale fino a qui.
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10000x.
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A cosa sarà uguale?
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Ogni volta che moltiplichi per 10, sposti
il punto decimale di un posto a destra.
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10000 è 10 alla quarta potenza.
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Quindi spostiamo il punto
decimale di 4 posti a destra.
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1, 2, 3, 4.
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Sarà 34028
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ma questo 28 è periodico,
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quindi abbiamo ancora il 28
che si ripete all'infinito qui.
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Abbiamo solo spostato il numero in modo
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che occupi 5 posti a
sinistra del punto decimale.
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Puoi vederlo così. Ha senso.
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È circa 3 e 1/2.
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Se lo moltiplichi per 10000,
ottieni circa 35000.
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Questo è 10000x.
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Ora pensiamo a 100x.
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Questo esercizio è per provare
a ottenere due numeri che,
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quando li sottraggo e sono in termini di x
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la parte periodica sparisce.
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E poi possiamo trattarlo
come un numero tradizionale.
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Allora pensiamo a 100x.
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100x.
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Si sposta il punto decimale.
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Ricorda, il punto decimale
era qui all'inizio.
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Si muove a destra di due posti.
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Quindi 100x sarà 300
--lo scrivo così--
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340.28 periodico.
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Potremmo mettere il 28 periodico qui,
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ma non avrebbe molto senso.
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Si mette sempre dopo il punto decimale.
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Quindi dobbiamo scrivere di nuovo
28 per mostrare che si ripete.
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Ora succede qualcosa di interessante.
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Questi due numeri sono multipli di x.
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E se sottraggo quello sotto da
quello sopra, cosa succede?
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La parte periodica sparisce.
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Facciamolo.
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Facciamolo da entrambi
i lati di questa equazione.
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Facciamolo.
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A sinistra 10000x meno 100x fa 9900x.
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E a destra, vediamo, la
parte decimale si cancella.
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Dobbiamo solo capire
quanto fa 34028 meno 340.
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Calcoliamolo.
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8 è più grande di 0, quindi
non c'è bisogno di prestiti.
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2 è minore di 4.
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Quindi ci serve un prestito,
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ma ancora non possiamo farlo,
perché qui c'è uno 0.
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E 0 è minore di 3, quindi
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ci serve un prestito anche qui.
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Prendiamo in prestito prima dal 4.
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Se prendiamo dal 4, questo
diventa 3 e questo diventa 10.
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Ora il 2 può prendere in prestito dal 10.
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Questo diventa 9 e questo diventa 12.
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E ora possiamo fare la sottrazione.
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8 meno 0 fa 8.
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12 meno 4 fa 8.
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9 meno 3 fa 6.
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3 meno niente fa 3.
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3 meno niente fa 3.
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Quindi 9900x è uguale a 33688.
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Abbiamo solo sottratto
340 da questo qui sopra.
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E otteniamo 33688.
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Ora, se vogliamo risolvere per x.
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dividiamo entrambi i lati per 9900.
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Dividiamo a sinistra per 9900.
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Dividiamo a destra per 9900.
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E cosa ci resta?
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Ci resta x uguale a 33688 fratto 9900.
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E qual è il punto?
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Beh, x era questo numero,
il numero da cui siamo partiti,
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questo numero che era periodico.
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E facendo qualche manipolazione algebrica
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e sottraendo un multiplo da un altro,
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siamo in grado di esprimere proprio
quel numero x come frazione.
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Non è ai minimi termini.
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Possiamo sicuramente dividere
per 2, e sembra anche per 4.
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Quindi puoi ridurlo ai minimi termini,
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ma non ci interessa.
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Quello che ci interessa è il fatto che
siamo stati in grado di rappresentare x,
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cioè questo numero, come frazione.
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Come rapporto di due interi.
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Quindi il numero è anche razionale.
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È anche razionale.
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E questa tecnica che abbiamo usato
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non si applica solo a questo numero.
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Ogni volta che hai un numero
che ha delle cifre che si ripetono,
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puoi fare in questo modo.
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In generale, i numeri
periodici sono razionali.
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I numeri irrazionali sono quelli le cui
cifre non si ripetono mai, come pigreco.
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Quindi, l'ultima cosa, ma è abbastanza
ovvio, non è un intero relativo.
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Gli interi relativi positivi
sono numeri interi.
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Questo numero sta in mezzo
tra gli interi relativi.
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Non è un numero naturale
o un numero intero, che
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può essere visto come un
sottoinsieme degli interi relativi.
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Sicuramente non è nessuno di questi.
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È reale ed è razionale.
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È tutto ciò che possiamo dire.
