A quale insieme numerico appartiene il numero 3.4028 periodico? Prima di rispondere alla domanda, pensiamo a cosa rappresenta. Soprattutto a cosa significa la linea lì sopra. Questa linea sopra vuol dire che il 28 continua a ripetersi all'infinito. Posso esprimere questo numero come 3.4028 ma il 28 continua a ripetersi. Si ripete sempre all'infinito. Posso continuare a scriverlo all'infinito. E ovviamente, è più facile scrivere questa linea sopra al 28 per dire che si ripete all'infinito. Ora pensiamo a quale insieme numerico appartiene. L'insieme numerico più ampio che abbiamo visto finora sono i numeri reali. E questo numero sicuramente appartiene ai numeri reali. I numeri reali sono tutti quelli della retta numerica che siamo abituati a usare. E 3.4028 periodico sta più o meno qui. Se questo è -1, 0, 1, 2, 3, 4 allora 3.4028 è un po' più di 3.4 ma un po' meno di 3.41 e si trova qui. Quindi sta sulla retta numerica. È un numero reale. È sicuramente reale. Ma la domanda non così ovvia è se sia un numero razionale. Ricorda, un numero razionale può essere espresso come espressione razionale o frazione. Se ti dico che p è razionale, vuol dire che p può essere espresso come rapporto di due interi relativi. Vuol dire che p può essere espresso come rapporto di due interi relativi, m/n. La domanda è: posso esprimere questo numero come rapporto di due interi? O in un altro modo, posso esprimerlo come frazione? E per vederlo, esprimiamolo come frazione. Definiamo x uguale a questo numero. Quindi x è uguale a 3.4028 periodico. Pensiamo a cos'è 10000x. Il motivo per cui faccio 10000x è perché voglio spostare il punto decimale fino a qui. 10000x. A cosa sarà uguale? Ogni volta che moltiplichi per 10, sposti il punto decimale di un posto a destra. 10000 è 10 alla quarta potenza. Quindi spostiamo il punto decimale di 4 posti a destra. 1, 2, 3, 4. Sarà 34028 ma questo 28 è periodico, quindi abbiamo ancora il 28 che si ripete all'infinito qui. Abbiamo solo spostato il numero in modo che occupi 5 posti a sinistra del punto decimale. Puoi vederlo così. Ha senso. È circa 3 e 1/2. Se lo moltiplichi per 10000, ottieni circa 35000. Questo è 10000x. Ora pensiamo a 100x. Questo esercizio è per provare a ottenere due numeri che, quando li sottraggo e sono in termini di x la parte periodica sparisce. E poi possiamo trattarlo come un numero tradizionale. Allora pensiamo a 100x. 100x. Si sposta il punto decimale. Ricorda, il punto decimale era qui all'inizio. Si muove a destra di due posti. Quindi 100x sarà 300 --lo scrivo così-- 340.28 periodico. Potremmo mettere il 28 periodico qui, ma non avrebbe molto senso. Si mette sempre dopo il punto decimale. Quindi dobbiamo scrivere di nuovo 28 per mostrare che si ripete. Ora succede qualcosa di interessante. Questi due numeri sono multipli di x. E se sottraggo quello sotto da quello sopra, cosa succede? La parte periodica sparisce. Facciamolo. Facciamolo da entrambi i lati di questa equazione. Facciamolo. A sinistra 10000x meno 100x fa 9900x. E a destra, vediamo, la parte decimale si cancella. Dobbiamo solo capire quanto fa 34028 meno 340. Calcoliamolo. 8 è più grande di 0, quindi non c'è bisogno di prestiti. 2 è minore di 4. Quindi ci serve un prestito, ma ancora non possiamo farlo, perché qui c'è uno 0. E 0 è minore di 3, quindi ci serve un prestito anche qui. Prendiamo in prestito prima dal 4. Se prendiamo dal 4, questo diventa 3 e questo diventa 10. Ora il 2 può prendere in prestito dal 10. Questo diventa 9 e questo diventa 12. E ora possiamo fare la sottrazione. 8 meno 0 fa 8. 12 meno 4 fa 8. 9 meno 3 fa 6. 3 meno niente fa 3. 3 meno niente fa 3. Quindi 9900x è uguale a 33688. Abbiamo solo sottratto 340 da questo qui sopra. E otteniamo 33688. Ora, se vogliamo risolvere per x. dividiamo entrambi i lati per 9900. Dividiamo a sinistra per 9900. Dividiamo a destra per 9900. E cosa ci resta? Ci resta x uguale a 33688 fratto 9900. E qual è il punto? Beh, x era questo numero, il numero da cui siamo partiti, questo numero che era periodico. E facendo qualche manipolazione algebrica e sottraendo un multiplo da un altro, siamo in grado di esprimere proprio quel numero x come frazione. Non è ai minimi termini. Possiamo sicuramente dividere per 2, e sembra anche per 4. Quindi puoi ridurlo ai minimi termini, ma non ci interessa. Quello che ci interessa è il fatto che siamo stati in grado di rappresentare x, cioè questo numero, come frazione. Come rapporto di due interi. Quindi il numero è anche razionale. È anche razionale. E questa tecnica che abbiamo usato non si applica solo a questo numero. Ogni volta che hai un numero che ha delle cifre che si ripetono, puoi fare in questo modo. In generale, i numeri periodici sono razionali. I numeri irrazionali sono quelli le cui cifre non si ripetono mai, come pigreco. Quindi, l'ultima cosa, ma è abbastanza ovvio, non è un intero relativo. Gli interi relativi positivi sono numeri interi. Questo numero sta in mezzo tra gli interi relativi. Non è un numero naturale o un numero intero, che può essere visto come un sottoinsieme degli interi relativi. Sicuramente non è nessuno di questi. È reale ed è razionale. È tutto ciò che possiamo dire.