1
00:00:00,000 --> 00:00:07,223
A quale insieme numerico appartiene 
il numero 3.4028 periodico?

2
00:00:07,223 --> 00:00:09,150
Prima di rispondere alla domanda,

3
00:00:09,150 --> 00:00:10,690
pensiamo a cosa rappresenta.

4
00:00:10,690 --> 00:00:13,000
Soprattutto a cosa 
significa la linea lì sopra.

5
00:00:13,000 --> 00:00:17,420
Questa linea sopra vuol dire che il 
28 continua a ripetersi all'infinito.

6
00:00:17,420 --> 00:00:23,701
Posso esprimere questo numero come 3.4028

7
00:00:23,701 --> 00:00:26,110
ma il 28 continua a ripetersi.

8
00:00:26,110 --> 00:00:29,740
Si ripete sempre all'infinito.

9
00:00:29,740 --> 00:00:32,299
Posso continuare a scriverlo all'infinito.

10
00:00:32,299 --> 00:00:35,210
E ovviamente, è più facile 
scrivere questa linea

11
00:00:35,210 --> 00:00:37,620
sopra al 28 per dire 
che si ripete all'infinito.

12
00:00:37,620 --> 00:00:41,290
Ora pensiamo a quale 
insieme numerico appartiene.

13
00:00:41,290 --> 00:00:45,340
L'insieme numerico più ampio che 
abbiamo visto finora sono i numeri reali.

14
00:00:45,340 --> 00:00:48,200
E questo numero sicuramente 
appartiene ai numeri reali.

15
00:00:48,200 --> 00:00:52,060
I numeri reali sono tutti quelli della 
retta numerica che siamo abituati a usare.

16
00:00:52,060 --> 00:00:55,660
E 3.4028 periodico sta più o meno qui.

17
00:00:55,660 --> 00:01:01,340
Se questo è -1, 0, 1, 2, 3, 4

18
00:01:01,340 --> 00:01:04,730
allora 3.4028 è un po' più di 3.4

19
00:01:04,730 --> 00:01:06,490
ma un po' meno di 3.41

20
00:01:06,490 --> 00:01:07,760
e si trova qui.

21
00:01:07,760 --> 00:01:09,450
Quindi sta sulla retta numerica.

22
00:01:09,450 --> 00:01:11,090
È un numero reale.

23
00:01:11,090 --> 00:01:16,119
È sicuramente reale.

24
00:01:16,119 --> 00:01:20,161
Ma la domanda non così ovvia 
è se sia un numero razionale.

25
00:01:20,161 --> 00:01:24,519
Ricorda, un numero razionale 
può essere espresso come

26
00:01:24,519 --> 00:01:26,890
espressione razionale o frazione.

27
00:01:26,890 --> 00:01:34,390
Se ti dico che p è razionale, vuol dire

28
00:01:34,390 --> 00:01:37,840
che p può essere espresso come
rapporto di due interi relativi.

29
00:01:37,840 --> 00:01:47,799
Vuol dire che p può essere espresso come
rapporto di due interi relativi, m/n.

30
00:01:47,799 --> 00:01:51,270
La domanda è: posso esprimere questo 
numero come rapporto di due interi?

31
00:01:51,270 --> 00:01:53,990
O in un altro modo, posso 
esprimerlo come frazione?

32
00:01:53,990 --> 00:01:58,510
E per vederlo, esprimiamolo come frazione.

33
00:01:58,510 --> 00:02:01,310
Definiamo x uguale a questo numero.

34
00:02:01,310 --> 00:02:09,960
Quindi x è uguale a 3.4028 periodico.

35
00:02:09,960 --> 00:02:12,650
Pensiamo a cos'è 10000x.

36
00:02:12,650 --> 00:02:14,660
Il motivo per cui faccio 10000x è perché

37
00:02:14,660 --> 00:02:17,440
voglio spostare il punto 
decimale fino a qui.

38
00:02:17,440 --> 00:02:21,710
10000x.

39
00:02:21,710 --> 00:02:23,380
A cosa sarà uguale?

40
00:02:23,380 --> 00:02:27,380
Ogni volta che moltiplichi per 10, sposti
il punto decimale di un posto a destra.

41
00:02:27,380 --> 00:02:29,790
10000 è 10 alla quarta potenza.

42
00:02:29,790 --> 00:02:32,870
Quindi spostiamo il punto 
decimale di 4 posti a destra.

43
00:02:32,870 --> 00:02:36,400
1, 2, 3, 4.

44
00:02:36,400 --> 00:02:40,575
Sarà 34028

45
00:02:40,575 --> 00:02:42,700
ma questo 28 è periodico,

46
00:02:42,700 --> 00:02:46,031
quindi abbiamo ancora il 28 
che si ripete all'infinito qui.

47
00:02:46,031 --> 00:02:47,950
Abbiamo solo spostato il numero in modo

48
00:02:47,950 --> 00:02:50,463
che occupi 5 posti a 
sinistra del punto decimale.

49
00:02:50,463 --> 00:02:53,140
Puoi vederlo così. Ha senso.

50
00:02:53,140 --> 00:02:54,670
È circa 3 e 1/2.

51
00:02:54,670 --> 00:02:57,810
Se lo moltiplichi per 10000,
ottieni circa 35000.

52
00:02:57,810 --> 00:02:59,490
Questo è 10000x.

53
00:02:59,490 --> 00:03:00,970
Ora pensiamo a 100x.

54
00:03:00,970 --> 00:03:04,340
Questo esercizio è per provare 
a ottenere due numeri che,

55
00:03:04,340 --> 00:03:06,590
quando li sottraggo e sono in termini di x

56
00:03:06,590 --> 00:03:08,130
la parte periodica sparisce.

57
00:03:08,130 --> 00:03:10,970
E poi possiamo trattarlo 
come un numero tradizionale.

58
00:03:10,970 --> 00:03:13,260
Allora pensiamo a 100x.

59
00:03:13,260 --> 00:03:15,530
100x.

60
00:03:15,530 --> 00:03:17,010
Si sposta il punto decimale.

61
00:03:17,010 --> 00:03:19,230
Ricorda, il punto decimale 
era qui all'inizio.

62
00:03:19,230 --> 00:03:20,860
Si muove a destra di due posti.

63
00:03:20,860 --> 00:03:24,830
Quindi 100x sarà 300
--lo scrivo così--

64
00:03:24,830 --> 00:03:30,360
340.28 periodico.

65
00:03:30,360 --> 00:03:32,220
Potremmo mettere il 28 periodico qui,

66
00:03:32,220 --> 00:03:33,570
ma non avrebbe molto senso.

67
00:03:33,570 --> 00:03:35,430
Si mette sempre dopo il punto decimale.

68
00:03:35,430 --> 00:03:38,640
Quindi dobbiamo scrivere di nuovo 
28 per mostrare che si ripete.

69
00:03:38,640 --> 00:03:40,430
Ora succede qualcosa di interessante.

70
00:03:40,430 --> 00:03:42,400
Questi due numeri sono multipli di x.

71
00:03:42,400 --> 00:03:46,351
E se sottraggo quello sotto da 
quello sopra, cosa succede?

72
00:03:46,351 --> 00:03:48,394
La parte periodica sparisce.

73
00:03:48,394 --> 00:03:49,170
Facciamolo.

74
00:03:49,170 --> 00:03:52,280
Facciamolo da entrambi 
i lati di questa equazione.

75
00:03:52,280 --> 00:03:53,230
Facciamolo.

76
00:03:53,230 --> 00:04:03,440
A sinistra 10000x meno 100x fa 9900x.

77
00:04:03,440 --> 00:04:08,230
E a destra, vediamo, la 
parte decimale si cancella.

78
00:04:08,230 --> 00:04:12,140
Dobbiamo solo capire 
quanto fa 34028 meno 340.

79
00:04:12,140 --> 00:04:14,120
Calcoliamolo.

80
00:04:14,120 --> 00:04:16,810
8 è più grande di 0, quindi 
non c'è bisogno di prestiti.

81
00:04:16,810 --> 00:04:19,769
2 è minore di 4.

82
00:04:19,769 --> 00:04:22,200
Quindi ci serve un prestito,

83
00:04:22,200 --> 00:04:25,416
ma ancora non possiamo farlo,
perché qui c'è uno 0.

84
00:04:25,416 --> 00:04:27,174
E 0 è minore di 3, quindi

85
00:04:27,174 --> 00:04:29,000
ci serve un prestito anche qui.

86
00:04:29,000 --> 00:04:31,770
Prendiamo in prestito prima dal 4.

87
00:04:31,770 --> 00:04:38,054
Se prendiamo dal 4, questo 
diventa 3 e questo diventa 10.

88
00:04:38,054 --> 00:04:40,460
Ora il 2 può prendere in prestito dal 10.

89
00:04:40,460 --> 00:04:44,090
Questo diventa 9 e questo diventa 12.

90
00:04:44,090 --> 00:04:45,820
E ora possiamo fare la sottrazione.

91
00:04:45,820 --> 00:04:48,390
8 meno 0 fa 8.

92
00:04:48,390 --> 00:04:51,110
12 meno 4 fa 8.

93
00:04:51,110 --> 00:04:53,880
9 meno 3 fa 6.

94
00:04:53,880 --> 00:04:55,920
3 meno niente fa 3.

95
00:04:55,920 --> 00:04:57,950
3 meno niente fa 3.

96
00:04:57,950 --> 00:05:05,320
Quindi 9900x è uguale a 33688.

97
00:05:05,320 --> 00:05:09,180
Abbiamo solo sottratto 
340 da questo qui sopra.

98
00:05:09,180 --> 00:05:13,110
E otteniamo 33688.

99
00:05:13,110 --> 00:05:15,354
Ora, se vogliamo risolvere per x.

100
00:05:15,354 --> 00:05:21,610
dividiamo entrambi i lati per 9900.

101
00:05:21,610 --> 00:05:23,990
Dividiamo a sinistra per 9900.

102
00:05:23,990 --> 00:05:26,900
Dividiamo a destra per 9900.

103
00:05:26,900 --> 00:05:28,000
E cosa ci resta?

104
00:05:28,000 --> 00:05:36,850
Ci resta x uguale a 33688 fratto 9900.

105
00:05:36,850 --> 00:05:38,550
E qual è il punto?

106
00:05:38,550 --> 00:05:41,900
Beh, x era questo numero,
il numero da cui siamo partiti,

107
00:05:41,900 --> 00:05:44,580
questo numero che era periodico.

108
00:05:44,580 --> 00:05:47,500
E facendo qualche manipolazione algebrica

109
00:05:47,500 --> 00:05:49,580
e sottraendo un multiplo da un altro,

110
00:05:49,580 --> 00:05:52,660
siamo in grado di esprimere proprio
quel numero x come frazione.

111
00:05:52,660 --> 00:05:55,614
Non è ai minimi termini.

112
00:05:55,614 --> 00:05:58,900
Possiamo sicuramente dividere 
per 2, e sembra anche per 4.

113
00:05:58,900 --> 00:06:00,994
Quindi puoi ridurlo ai minimi termini,

114
00:06:00,994 --> 00:06:02,785
ma non ci interessa.

115
00:06:02,785 --> 00:06:06,555
Quello che ci interessa è il fatto che 
siamo stati in grado di rappresentare x,

116
00:06:06,555 --> 00:06:09,050
cioè questo numero, come frazione.

117
00:06:09,050 --> 00:06:11,620
Come rapporto di due interi.

118
00:06:11,620 --> 00:06:14,720
Quindi il numero è anche razionale.

119
00:06:14,720 --> 00:06:16,550
È anche razionale.

120
00:06:16,550 --> 00:06:18,654
E questa tecnica che abbiamo usato

121
00:06:18,654 --> 00:06:20,700
non si applica solo a questo numero.

122
00:06:20,700 --> 00:06:23,864
Ogni volta che hai un numero 
che ha delle cifre che si ripetono,

123
00:06:23,864 --> 00:06:25,070
puoi fare in questo modo.

124
00:06:25,070 --> 00:06:27,530
In generale, i numeri 
periodici sono razionali.

125
00:06:27,530 --> 00:06:32,254
I numeri irrazionali sono quelli le cui
cifre non si ripetono mai, come pigreco.

126
00:06:32,254 --> 00:06:35,588
Quindi, l'ultima cosa, ma è abbastanza
ovvio, non è un intero relativo.

127
00:06:35,588 --> 00:06:38,700
Gli interi relativi positivi 
sono numeri interi.

128
00:06:38,700 --> 00:06:41,100
Questo numero sta in mezzo
tra gli interi relativi.

129
00:06:41,100 --> 00:06:43,470
Non è un numero naturale 
o un numero intero, che

130
00:06:43,470 --> 00:06:46,440
può essere visto come un 
sottoinsieme degli interi relativi.

131
00:06:46,440 --> 00:06:48,180
Sicuramente non è nessuno di questi.

132
00:06:48,180 --> 00:06:49,420
È reale ed è razionale.

133
00:06:49,420 --> 00:06:52,000
È tutto ciò che possiamo dire.