了解無理數

完整課程：http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

如同許多希臘神話的英雄，哲學家希帕索斯謠傳被眾神處死，但他犯了什麼罪？他是謀殺了賓客或妨礙神聖的宗教儀式？不是！希帕索斯的罪行是一個數學的驗證，那是直到那時仍無法證實的。加内什·沛以描述了無理數背後的歷史及數學。

課程：加内什·沛以
動畫：安東·特羅菲莫夫

如同許多希臘神話的英雄，

哲學家 希帕索斯 謠傳被眾神處死，

但他犯了什麼罪？

他是謀殺了賓客

或妨礙神聖的宗教儀式？

不是！希帕索斯的罪行
是一個數學的驗證：

無理數的發現。

希帕索斯屬於一群
稱為「畢達哥拉斯學派」的數學家，

他們對數字有著虔誠的敬畏。

他們的格言「萬物皆數」，

認為數字是宇宙的主要組成部分，

這信仰的一部分是
萬物從宇宙學與形上學

到音樂與倫理道德都遵循
可描寫成 ‘數字比例’ 的永恆規則 。

因此，任何數字都能寫成這樣的比例，

5 寫成 5/1，

0.5 寫成 1/2，

等等。

甚至像這個無限延伸的小數
也能以 34/45 來表示。

現在我們稱這些為
有理數 (rational numbers)。

但 希帕索斯 發現一個數字，
它違反這個和諧的規則，

那數字被認為不該存在。

這問題源自一個簡單的圖形，

一個正方形其每邊長為 1 單位。

根據勾股定理（Pythagorean theorem），

對角線長度等於 √2 ，

不管怎樣努力，希帕索斯
無法用兩個整數的比例來表示 √2 ，

他不放棄，
決定去證明它無法以比例表示。

希帕索斯 首先假設
畢達哥拉斯的世界觀是正確的，

就是 √2
可用兩個整數的比例來表示，

他將這兩個假設的整數
命名為 p 及 q 。

假設這比例已被最簡化，

P 和 q 之間沒有任何共同因子，

欲證明 √2 不是有理數，

希帕索斯 只要去證明 p/q 不可能存在。

所以他在方程式的兩邊都乘上 q，

然後兩邊平方，

他得到這樣的方程式。

任何數字乘上 2 都會變成偶數，

所以 p^2 必定是偶數，

若 p 為奇數，那不可能是對的，

因為奇數自己相乘，永遠是奇數，

所以 p 也是偶數，

因此，p 可以 2a 表示，a 是一個整數。

將這帶入方程式並簡化，

得到 q^2 = 2a^2

再次，2 乘上任何數字會變成偶數，

所以 q^2 一定是偶數，

而 q 一定也是偶數，

如此使得 p 和 q 都是偶數。

但如果這是正確的，
那它們之間會有 2 的共同因子，

這與最初的假設相違背，

這就是希帕索斯推斷
這種比例不存在的方法，

就是所謂的反證法
(Proof by contradiction)。

根據傳說

眾神並不樂見被反駁。

有趣的是，雖然我們無法
用整數的比例來表示無理數，

但其中某些可正確地標定在數軸上。

以 √2 為例，

我們只須畫一個直角三角形，
其兩邊長各為 1 單位，

其斜邊長則為 √2 ，
可延伸畫在數軸上，

然後，我們再畫另一個直角三角形，

底為那個斜邊長 √2，高為 1 單位，

所成斜邊就等於 √3 ，

也可延伸畫在數軸上。

這裡的關鍵是
小數和比例是唯一表示數字的方法，

而 √2 只是兩邊長度為 1 的
直角三角形之斜邊。

同樣地，著名的無理數 π (pi)

總是正好等於

一個圓的圓周與其半徑的比例。

近似值例如 22/7

或 355/113 都不能準確地等於 π 。

我們永遠不會知道
希帕索斯到底發生什麼事，

但我們確實知道
他的發現徹底改變了數學。

所以不管神話是怎麼說，
不要畏懼探索不可能的事物。

翻譯：Helen Lin