WEBVTT

00:00:06.951 --> 00:00:08.713
如同許多希臘神話的英雄，

00:00:08.713 --> 00:00:13.930
哲學家 希帕索斯 謠傳被眾神處死，

00:00:13.930 --> 00:00:15.606
但他犯了什麼罪？

00:00:15.606 --> 00:00:16.957
他是謀殺了賓客

00:00:16.957 --> 00:00:19.474
或妨礙神聖的宗教儀式？

00:00:19.474 --> 00:00:23.524
不是！希帕索斯的罪行
是一個數學的驗證：

00:00:23.524 --> 00:00:26.583
無理數的發現。

00:00:26.583 --> 00:00:30.311
希帕索斯屬於一群
稱為「畢達哥拉斯學派」的數學家，

00:00:30.311 --> 00:00:32.922
他們對數字有著虔誠的敬畏。

00:00:32.922 --> 00:00:35.463
他們的格言「萬物皆數」，

00:00:35.463 --> 00:00:39.013
認為數字是宇宙的主要組成部分，

00:00:39.013 --> 00:00:43.317
這信仰的一部分是
萬物從宇宙學與形上學

00:00:43.317 --> 00:00:50.177
到音樂與倫理道德都遵循
可描寫成 ‘數字比例’ 的永恆規則 。

00:00:50.177 --> 00:00:53.488
因此，任何數字都能寫成這樣的比例，

00:00:53.488 --> 00:00:55.995
5 寫成 5/1，

00:00:55.995 --> 00:00:59.085
0.5 寫成 1/2，

00:00:59.085 --> 00:01:00.505
等等。

00:01:00.505 --> 00:01:07.907
甚至像這個無限延伸的小數
也能以 34/45 來表示。

00:01:07.907 --> 00:01:11.421
現在我們稱這些為
有理數 (rational numbers)。

00:01:11.421 --> 00:01:16.051
但 希帕索斯 發現一個數字，
它違反這個和諧的規則，

00:01:16.051 --> 00:01:18.825
那數字被認為不該存在。

00:01:18.825 --> 00:01:21.395
這問題源自一個簡單的圖形，

00:01:21.395 --> 00:01:25.105
一個正方形其每邊長為 1 單位。

00:01:25.105 --> 00:01:26.898
根據勾股定理（Pythagorean theorem），

00:01:26.898 --> 00:01:30.183
對角線長度等於 √2 ，

00:01:30.183 --> 00:01:35.528
不管怎樣努力，希帕索斯
無法用兩個整數的比例來表示 √2 ，

00:01:35.528 --> 00:01:39.839
他不放棄，
決定去證明它無法以比例表示。


00:01:39.839 --> 00:01:44.196
希帕索斯 首先假設
畢達哥拉斯的世界觀是正確的，

00:01:44.196 --> 00:01:49.145
就是 √2 
可用兩個整數的比例來表示，

00:01:49.145 --> 00:01:52.981
他將這兩個假設的整數
命名為 p 及 q 。


00:01:52.981 --> 00:01:56.358
假設這比例已被最簡化，

00:01:56.358 --> 00:01:59.957
P 和 q 之間沒有任何共同因子，

00:01:59.957 --> 00:02:02.987
欲證明 √2 不是有理數，

00:02:02.987 --> 00:02:08.074
希帕索斯 只要去證明 p/q 不可能存在。

00:02:08.074 --> 00:02:11.422
所以他在方程式的兩邊都乘上 q，

00:02:11.422 --> 00:02:13.291
然後兩邊平方，

00:02:13.291 --> 00:02:15.320
他得到這樣的方程式。

00:02:15.320 --> 00:02:19.274
任何數字乘上 2 都會變成偶數，

00:02:19.274 --> 00:02:22.332
所以 p^2 必定是偶數，

00:02:22.332 --> 00:02:24.715
若 p 為奇數，那不可能是對的，

00:02:24.715 --> 00:02:28.154
因為奇數自己相乘，永遠是奇數，

00:02:28.154 --> 00:02:30.702
所以 p 也是偶數，

00:02:30.702 --> 00:02:36.176
因此，p 可以 2a 表示，a 是一個整數。

00:02:36.176 --> 00:02:39.074
將這帶入方程式並簡化，

00:02:39.074 --> 00:02:43.248
得到 q^2 = 2a^2

00:02:43.248 --> 00:02:47.180
再次，2 乘上任何數字會變成偶數，

00:02:47.180 --> 00:02:49.921
所以 q^2 一定是偶數，

00:02:49.921 --> 00:02:52.012
而 q 一定也是偶數，

00:02:52.012 --> 00:02:54.393
如此使得 p 和 q 都是偶數。

00:02:54.393 --> 00:02:57.710
但如果這是正確的，
那它們之間會有 2 的共同因子，

00:02:57.710 --> 00:03:00.576
這與最初的假設相違背，

00:03:00.576 --> 00:03:04.796
這就是希帕索斯推斷
這種比例不存在的方法，

00:03:04.796 --> 00:03:06.756
就是所謂的反證法
(Proof by contradiction)。


00:03:06.756 --> 00:03:08.234
根據傳說

00:03:08.234 --> 00:03:11.453
眾神並不樂見被反駁。

00:03:11.453 --> 00:03:16.788
有趣的是，雖然我們無法
用整數的比例來表示無理數，

00:03:16.802 --> 00:03:20.891
但其中某些可正確地標定在數軸上。

00:03:20.891 --> 00:03:22.149
以 √2 為例，

00:03:22.149 --> 00:03:27.844
我們只須畫一個直角三角形，
其兩邊長各為 1 單位，

00:03:27.844 --> 00:03:32.596
其斜邊長則為 √2 ，
可延伸畫在數軸上，

00:03:32.596 --> 00:03:35.144
然後，我們再畫另一個直角三角形，

00:03:35.144 --> 00:03:38.491
底為那個斜邊長 √2，高為 1 單位，

00:03:38.491 --> 00:03:41.135
所成斜邊就等於 √3 ，

00:03:41.135 --> 00:03:43.932
也可延伸畫在數軸上。

00:03:43.932 --> 00:03:48.953
這裡的關鍵是
小數和比例是唯一表示數字的方法，

00:03:48.953 --> 00:03:54.868
而 √2 只是兩邊長度為 1 的
直角三角形之斜邊。

00:03:54.875 --> 00:03:58.259
同樣地，著名的無理數 π (pi)

00:03:58.259 --> 00:04:01.128
總是正好等於

00:04:01.128 --> 00:04:04.570
一個圓的圓周與其半徑的比例。

00:04:04.570 --> 00:04:07.565
近似值例如 22/7

00:04:07.565 --> 00:04:13.707
或 355/113 都不能準確地等於 π 。

00:04:13.707 --> 00:04:16.218
我們永遠不會知道
希帕索斯到底發生什麼事，

00:04:16.218 --> 00:04:20.665
但我們確實知道
他的發現徹底改變了數學。

00:04:20.665 --> 00:04:26.025
所以不管神話是怎麼說，
不要畏懼探索不可能的事物。


00:04:26.025 --> 00:04:31.515
翻譯：Helen Lin