如同許多希臘神話的英雄，
哲學家 希帕索斯 謠傳被眾神處死，
但他犯了什麼罪？
他是謀殺了賓客
或妨礙神聖的宗教儀式？
不是！希帕索斯的罪行 是一個數學的驗證：
無理數的發現。
希帕索斯屬於一群 稱為「畢達哥拉斯學派」的數學家，
他們對數字有著虔誠的敬畏。
他們的格言「萬物皆數」，
認為數字是宇宙的主要組成部分，
這信仰的一部分是 萬物從宇宙學與形上學
到音樂與倫理道德都遵循 可描寫成 ‘數字比例’ 的永恆規則 。
因此，任何數字都能寫成這樣的比例，
5 寫成 5/1，
0.5 寫成 1/2，
等等。
甚至像這個無限延伸的小數 也能以 34/45 來表示。
現在我們稱這些為 有理數 (rational numbers)。
但 希帕索斯 發現一個數字， 它違反這個和諧的規則，
那數字被認為不該存在。
這問題源自一個簡單的圖形，
一個正方形其每邊長為 1 單位。
根據勾股定理（Pythagorean theorem），
對角線長度等於 √2 ，
不管怎樣努力，希帕索斯 無法用兩個整數的比例來表示 √2 ，
他不放棄， 決定去證明它無法以比例表示。
希帕索斯 首先假設 畢達哥拉斯的世界觀是正確的，
就是 √2 可用兩個整數的比例來表示，
他將這兩個假設的整數 命名為 p 及 q 。
假設這比例已被最簡化，
P 和 q 之間沒有任何共同因子，
欲證明 √2 不是有理數，
希帕索斯 只要去證明 p/q 不可能存在。
所以他在方程式的兩邊都乘上 q，
然後兩邊平方，
他得到這樣的方程式。
任何數字乘上 2 都會變成偶數，
所以 p^2 必定是偶數，
若 p 為奇數，那不可能是對的，
因為奇數自己相乘，永遠是奇數，
所以 p 也是偶數，
因此，p 可以 2a 表示，a 是一個整數。
將這帶入方程式並簡化，
得到 q^2 = 2a^2
再次，2 乘上任何數字會變成偶數，
所以 q^2 一定是偶數，
而 q 一定也是偶數，
如此使得 p 和 q 都是偶數。
但如果這是正確的， 那它們之間會有 2 的共同因子，
這與最初的假設相違背，
這就是希帕索斯推斷 這種比例不存在的方法，
就是所謂的反證法 (Proof by contradiction)。
根據傳說
眾神並不樂見被反駁。
有趣的是，雖然我們無法 用整數的比例來表示無理數，
但其中某些可正確地標定在數軸上。
以 √2 為例，
我們只須畫一個直角三角形， 其兩邊長各為 1 單位，
其斜邊長則為 √2 ， 可延伸畫在數軸上，
然後，我們再畫另一個直角三角形，
底為那個斜邊長 √2，高為 1 單位，
所成斜邊就等於 √3 ，
也可延伸畫在數軸上。
這裡的關鍵是 小數和比例是唯一表示數字的方法，
而 √2 只是兩邊長度為 1 的 直角三角形之斜邊。
同樣地，著名的無理數 π (pi)
總是正好等於
一個圓的圓周與其半徑的比例。
近似值例如 22/7
或 355/113 都不能準確地等於 π 。
我們永遠不會知道 希帕索斯到底發生什麼事，
但我們確實知道 他的發現徹底改變了數學。
所以不管神話是怎麼說， 不要畏懼探索不可能的事物。
翻譯：Helen Lin