1
00:00:06,951 --> 00:00:08,713
如同許多希臘神話的英雄，

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
哲學家 希帕索斯 謠傳被眾神處死，

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
但他犯了什麼罪？

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
他是謀殺了賓客

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
或妨礙神聖的宗教儀式？

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
不是！希帕索斯的罪行
是一個數學的驗證：

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
無理數的發現。

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
希帕索斯屬於一群
稱為「畢達哥拉斯學派」的數學家，

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
他們對數字有著虔誠的敬畏。

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
他們的格言「萬物皆數」，

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
認為數字是宇宙的主要組成部分，

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
這信仰的一部分是
萬物從宇宙學與形上學

13
00:00:43,317 --> 00:00:50,177
到音樂與倫理道德都遵循
可描寫成 ‘數字比例’ 的永恆規則 。

14
00:00:50,177 --> 00:00:53,488
因此，任何數字都能寫成這樣的比例，

15
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5 寫成 5/1，

16
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0.5 寫成 1/2，

17
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
等等。

18
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
甚至像這個無限延伸的小數
也能以 34/45 來表示。

19
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
現在我們稱這些為
有理數 (rational numbers)。

20
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
但 希帕索斯 發現一個數字，
它違反這個和諧的規則，

21
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
那數字被認為不該存在。

22
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
這問題源自一個簡單的圖形，

23
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
一個正方形其每邊長為 1 單位。

24
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
根據勾股定理（Pythagorean theorem），

25
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
對角線長度等於 √2 ，

26
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
不管怎樣努力，希帕索斯
無法用兩個整數的比例來表示 √2 ，

27
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
他不放棄，
決定去證明它無法以比例表示。


28
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
希帕索斯 首先假設
畢達哥拉斯的世界觀是正確的，

29
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
就是 √2 
可用兩個整數的比例來表示，

30
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
他將這兩個假設的整數
命名為 p 及 q 。


31
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
假設這比例已被最簡化，

32
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
P 和 q 之間沒有任何共同因子，

33
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
欲證明 √2 不是有理數，

34
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
希帕索斯 只要去證明 p/q 不可能存在。

35
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
所以他在方程式的兩邊都乘上 q，

36
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
然後兩邊平方，

37
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
他得到這樣的方程式。

38
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
任何數字乘上 2 都會變成偶數，

39
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
所以 p^2 必定是偶數，

40
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
若 p 為奇數，那不可能是對的，

41
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
因為奇數自己相乘，永遠是奇數，

42
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
所以 p 也是偶數，

43
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
因此，p 可以 2a 表示，a 是一個整數。

44
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
將這帶入方程式並簡化，

45
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
得到 q^2 = 2a^2

46
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
再次，2 乘上任何數字會變成偶數，

47
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
所以 q^2 一定是偶數，

48
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
而 q 一定也是偶數，

49
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
如此使得 p 和 q 都是偶數。

50
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
但如果這是正確的，
那它們之間會有 2 的共同因子，

51
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
這與最初的假設相違背，

52
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
這就是希帕索斯推斷
這種比例不存在的方法，

53
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
就是所謂的反證法
(Proof by contradiction)。


54
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
根據傳說

55
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
眾神並不樂見被反駁。

56
00:03:11,453 --> 00:03:16,788
有趣的是，雖然我們無法
用整數的比例來表示無理數，

57
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
但其中某些可正確地標定在數軸上。

58
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
以 √2 為例，

59
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
我們只須畫一個直角三角形，
其兩邊長各為 1 單位，

60
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
其斜邊長則為 √2 ，
可延伸畫在數軸上，

61
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
然後，我們再畫另一個直角三角形，

62
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
底為那個斜邊長 √2，高為 1 單位，

63
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
所成斜邊就等於 √3 ，

64
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
也可延伸畫在數軸上。

65
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
這裡的關鍵是
小數和比例是唯一表示數字的方法，

66
00:03:48,953 --> 00:03:54,868
而 √2 只是兩邊長度為 1 的
直角三角形之斜邊。

67
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
同樣地，著名的無理數 π (pi)

68
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
總是正好等於

69
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
一個圓的圓周與其半徑的比例。

70
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
近似值例如 22/7

71
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
或 355/113 都不能準確地等於 π 。

72
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
我們永遠不會知道
希帕索斯到底發生什麼事，

73
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
但我們確實知道
他的發現徹底改變了數學。

74
00:04:20,665 --> 00:04:26,025
所以不管神話是怎麼說，
不要畏懼探索不可能的事物。


75
00:04:26,025 --> 00:04:31,515
翻譯：Helen Lin