0:00:06.951,0:00:08.713 如同許多希臘神話的英雄, 0:00:08.713,0:00:13.930 哲學家 希帕索斯 謠傳被眾神處死, 0:00:13.930,0:00:15.606 但他犯了什麼罪? 0:00:15.606,0:00:16.957 他是謀殺了賓客 0:00:16.957,0:00:19.474 或妨礙神聖的宗教儀式? 0:00:19.474,0:00:23.524 不是!希帕索斯的罪行[br]是一個數學的驗證: 0:00:23.524,0:00:26.583 無理數的發現。 0:00:26.583,0:00:30.311 希帕索斯屬於一群[br]稱為「畢達哥拉斯學派」的數學家, 0:00:30.311,0:00:32.922 他們對數字有著虔誠的敬畏。 0:00:32.922,0:00:35.463 他們的格言「萬物皆數」, 0:00:35.463,0:00:39.013 認為數字是宇宙的主要組成部分, 0:00:39.013,0:00:43.317 這信仰的一部分是[br]萬物從宇宙學與形上學 0:00:43.317,0:00:50.177 到音樂與倫理道德都遵循[br]可描寫成 ‘數字比例’ 的永恆規則 。 0:00:50.177,0:00:53.488 因此,任何數字都能寫成這樣的比例, 0:00:53.488,0:00:55.995 5 寫成 5/1, 0:00:55.995,0:00:59.085 0.5 寫成 1/2, 0:00:59.085,0:01:00.505 等等。 0:01:00.505,0:01:07.907 甚至像這個無限延伸的小數[br]也能以 34/45 來表示。 0:01:07.907,0:01:11.421 現在我們稱這些為[br]有理數 (rational numbers)。 0:01:11.421,0:01:16.051 但 希帕索斯 發現一個數字,[br]它違反這個和諧的規則, 0:01:16.051,0:01:18.825 那數字被認為不該存在。 0:01:18.825,0:01:21.395 這問題源自一個簡單的圖形, 0:01:21.395,0:01:25.105 一個正方形其每邊長為 1 單位。 0:01:25.105,0:01:26.898 根據勾股定理(Pythagorean theorem), 0:01:26.898,0:01:30.183 對角線長度等於 √2 , 0:01:30.183,0:01:35.528 不管怎樣努力,希帕索斯[br]無法用兩個整數的比例來表示 √2 , 0:01:35.528,0:01:39.839 他不放棄,[br]決定去證明它無法以比例表示。[br] 0:01:39.839,0:01:44.196 希帕索斯 首先假設[br]畢達哥拉斯的世界觀是正確的, 0:01:44.196,0:01:49.145 就是 √2 [br]可用兩個整數的比例來表示, 0:01:49.145,0:01:52.981 他將這兩個假設的整數[br]命名為 p 及 q 。[br] 0:01:52.981,0:01:56.358 假設這比例已被最簡化, 0:01:56.358,0:01:59.957 P 和 q 之間沒有任何共同因子, 0:01:59.957,0:02:02.987 欲證明 √2 不是有理數, 0:02:02.987,0:02:08.074 希帕索斯 只要去證明 p/q 不可能存在。 0:02:08.074,0:02:11.422 所以他在方程式的兩邊都乘上 q, 0:02:11.422,0:02:13.291 然後兩邊平方, 0:02:13.291,0:02:15.320 他得到這樣的方程式。 0:02:15.320,0:02:19.274 任何數字乘上 2 都會變成偶數, 0:02:19.274,0:02:22.332 所以 p^2 必定是偶數, 0:02:22.332,0:02:24.715 若 p 為奇數,那不可能是對的, 0:02:24.715,0:02:28.154 因為奇數自己相乘,永遠是奇數, 0:02:28.154,0:02:30.702 所以 p 也是偶數, 0:02:30.702,0:02:36.176 因此,p 可以 2a 表示,a 是一個整數。 0:02:36.176,0:02:39.074 將這帶入方程式並簡化, 0:02:39.074,0:02:43.248 得到 q^2 = 2a^2 0:02:43.248,0:02:47.180 再次,2 乘上任何數字會變成偶數, 0:02:47.180,0:02:49.921 所以 q^2 一定是偶數, 0:02:49.921,0:02:52.012 而 q 一定也是偶數, 0:02:52.012,0:02:54.393 如此使得 p 和 q 都是偶數。 0:02:54.393,0:02:57.710 但如果這是正確的,[br]那它們之間會有 2 的共同因子, 0:02:57.710,0:03:00.576 這與最初的假設相違背, 0:03:00.576,0:03:04.796 這就是希帕索斯推斷[br]這種比例不存在的方法, 0:03:04.796,0:03:06.756 就是所謂的反證法[br](Proof by contradiction)。[br] 0:03:06.756,0:03:08.234 根據傳說 0:03:08.234,0:03:11.453 眾神並不樂見被反駁。 0:03:11.453,0:03:16.788 有趣的是,雖然我們無法[br]用整數的比例來表示無理數, 0:03:16.802,0:03:20.891 但其中某些可正確地標定在數軸上。 0:03:20.891,0:03:22.149 以 √2 為例, 0:03:22.149,0:03:27.844 我們只須畫一個直角三角形,[br]其兩邊長各為 1 單位, 0:03:27.844,0:03:32.596 其斜邊長則為 √2 ,[br]可延伸畫在數軸上, 0:03:32.596,0:03:35.144 然後,我們再畫另一個直角三角形, 0:03:35.144,0:03:38.491 底為那個斜邊長 √2,高為 1 單位, 0:03:38.491,0:03:41.135 所成斜邊就等於 √3 , 0:03:41.135,0:03:43.932 也可延伸畫在數軸上。 0:03:43.932,0:03:48.953 這裡的關鍵是[br]小數和比例是唯一表示數字的方法, 0:03:48.953,0:03:54.868 而 √2 只是兩邊長度為 1 的[br]直角三角形之斜邊。 0:03:54.875,0:03:58.259 同樣地,著名的無理數 π (pi) 0:03:58.259,0:04:01.128 總是正好等於 0:04:01.128,0:04:04.570 一個圓的圓周與其半徑的比例。 0:04:04.570,0:04:07.565 近似值例如 22/7 0:04:07.565,0:04:13.707 或 355/113 都不能準確地等於 π 。 0:04:13.707,0:04:16.218 我們永遠不會知道[br]希帕索斯到底發生什麼事, 0:04:16.218,0:04:20.665 但我們確實知道[br]他的發現徹底改變了數學。 0:04:20.665,0:04:26.025 所以不管神話是怎麼說,[br]不要畏懼探索不可能的事物。[br] 0:04:26.025,0:04:31.515 翻譯:Helen Lin