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了解无理数背后的故事 - Ganesh Pai

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    正如希腊神话中许多英雄一样
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    哲学家希帕索斯被传说要接受神的惩罚
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    但他错在哪儿了呢
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    是他杀人了
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    还是他破坏了神圣的仪式
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    都不是
    希帕索斯的罪源于一个数学证明
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    无理数的发现
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    希帕索是毕达哥拉斯学派中的一员
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    他们对于数字有着宗教般的崇敬
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    他们的格言“万物皆数”
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    暗示着他们认为数字是宇宙建立的基石
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    而且他们也相信任何事物
    从宇宙研究到音乐发展
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    从形而上学到道德观念
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    归根到底都是数字比例的问题
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    因此，任何数字都可以被写成一个比例（分数）
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    5就是5/1
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    0.5就是1/2
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    等等
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    甚至一个可以被无限延伸的十进制数字
    也可以被准确表示成34/45
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    这些数字都被称为有理数
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    而希帕索斯却发现了一个背离这种和谐规律的数字
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    一个本不该存在的数字
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    这个问题起源于一个非常简单的图形
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    一个四边长度均为单位1的正方形
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    根据毕达哥拉斯的理论
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    这个正方形的对角线长度应该为根号二
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    但是无论希帕索斯如何尝试
    都不能将根号二变为两个整数的比例形式
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    他并没有选择放弃
    而是决定证明这个数字确实无法被比例表示出来
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    希帕索斯首先假设毕达哥拉斯的“万物皆数”的观点是正确的
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    根号二是可以被表示成两个整数的比例
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    他假设这两个整数分别为p和q
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    假定这个比例已经被最简化
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    因此，p和q应该没有相同约数
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    要证明根号二并不是有理数
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    希帕索斯只需要证明p/q并不存在即可
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    他将等号两侧均乘以q
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    然后两侧均计算平方
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    得到了这样一个等式
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    任何数字乘以2的结果都是偶数
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    所以p的平方是偶数
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    如果p是奇数，则p的平方不可能为偶数
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    因为奇数乘以本身，得到的还是奇数
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    所以p也应该是一个偶数
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    因此，p可以表示为2a
    其中a也是一个整数
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    把这个等式带入原来的方程，并简化
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    得到：q^2 = 2a^2
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    再一次，任何数字乘以2得到的结果为偶数
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    所以q的平方一定是偶数
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    那么q也一定是偶数
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    这就得到p和q都是偶数的结果
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    但如果这是正确的话
    p和q就有一个共同的因子2
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    和最初的题设矛盾
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    至此，希帕索斯得以证明这样的比例是不存在的
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    这被称为矛盾证明法
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    而根据传说
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    上帝并不喜欢矛盾的存在
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    有趣的是，即便我们无法将无理数
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    表示称为整数的比例
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    我们却可以将它准确表现在图形之中
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    以根号二为例
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    我们需要做的就是准确的画出一个
    两条直角边均为单位一的三角形
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    他的的斜边的长度就是单位根号二
    这同时也可以被延伸下去
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    我们可以继续画另外一个直角三角形
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    其中一条边以刚才的斜边为基础，另一条边长度为单位一
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    这个三角形的斜边程度就是单位根号三
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    它同时还可以继续被延展下去
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    关键问题是
    小数和分数都只是表现数字的方法之一
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    根号二只是一个边长为单位一的直角三角形的
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    斜边长度罢了
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    相似的，著名的无理数pi
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    也是与它描述的图形关系一样
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    代表者圆周长和半径的比例
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    近似值 22/7 或者 355/133
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    是永远无法准确的表达出pi值的
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    我们永远也无法知道在希帕索斯身上到底发生过什么
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    但是我们知道他的发现带动了整个数学界的革命
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    所以无论神话里面怎么说
    永远不要害怕去探索不可能
Title:
了解无理数背后的故事 - Ganesh Pai
Description:

全部课程请看： http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

正如许多希腊神话中的英雄一样，传说中希帕索斯被上帝惩戒。但他的罪过是什么呢？他是杀人了还是破坏了神圣的意识？都不是，希帕索斯的罪过源于他证明了一个无法被证明的数学问题。Ganesh Pai将会讲述这段无理数的发现背后的历史故事。

主讲：Ganesh Pai
动画：Anton Trofimov
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
04:41

Chinese, Simplified subtitles

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