1
00:00:06,941 --> 00:00:08,703
正如希腊神话中许多英雄一样

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
哲学家希帕索斯被传说要接受神的惩罚

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
但他错在哪儿了呢

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
是他杀人了

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
还是他破坏了神圣的仪式

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
都不是
希帕索斯的罪源于一个数学证明

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
无理数的发现

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
希帕索是毕达哥拉斯学派中的一员

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
他们对于数字有着宗教般的崇敬

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
他们的格言“万物皆数”

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
暗示着他们认为数字是宇宙建立的基石

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
而且他们也相信任何事物
从宇宙研究到音乐发展

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
从形而上学到道德观念

14
00:00:46,477 --> 00:00:50,175
归根到底都是数字比例的问题

15
00:00:50,175 --> 00:00:53,488
因此，任何数字都可以被写成一个比例（分数）

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5就是5/1

17
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0.5就是1/2

18
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
等等

19
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
甚至一个可以被无限延伸的十进制数字
也可以被准确表示成34/45

20
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
这些数字都被称为有理数

21
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
而希帕索斯却发现了一个背离这种和谐规律的数字

22
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
一个本不该存在的数字

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
这个问题起源于一个非常简单的图形

24
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
一个四边长度均为单位1的正方形

25
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
根据毕达哥拉斯的理论

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
这个正方形的对角线长度应该为根号二

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
但是无论希帕索斯如何尝试
都不能将根号二变为两个整数的比例形式

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
他并没有选择放弃
而是决定证明这个数字确实无法被比例表示出来

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
希帕索斯首先假设毕达哥拉斯的“万物皆数”的观点是正确的

30
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
根号二是可以被表示成两个整数的比例

31
00:01:49,145 --> 00:01:50,911
他假设这两个整数分别为p和q

32
00:01:52,262 --> 00:01:54,748
假定这个比例已经被最简化

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
因此，p和q应该没有相同约数

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
要证明根号二并不是有理数

35
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
希帕索斯只需要证明p/q并不存在即可

36
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
他将等号两侧均乘以q

37
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
然后两侧均计算平方

38
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
得到了这样一个等式

39
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
任何数字乘以2的结果都是偶数

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
所以p的平方是偶数

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
如果p是奇数，则p的平方不可能为偶数

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
因为奇数乘以本身，得到的还是奇数

43
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
所以p也应该是一个偶数

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
因此，p可以表示为2a
其中a也是一个整数

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
把这个等式带入原来的方程，并简化

46
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
得到：q^2 = 2a^2

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
再一次，任何数字乘以2得到的结果为偶数

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
所以q的平方一定是偶数

49
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
那么q也一定是偶数

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
这就得到p和q都是偶数的结果

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
但如果这是正确的话
p和q就有一个共同的因子2

52
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
和最初的题设矛盾

53
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
至此，希帕索斯得以证明这样的比例是不存在的

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
这被称为矛盾证明法

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
而根据传说

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
上帝并不喜欢矛盾的存在

57
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
有趣的是，即便我们无法将无理数

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
表示称为整数的比例

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
我们却可以将它准确表现在图形之中

60
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
以根号二为例

61
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
我们需要做的就是准确的画出一个
两条直角边均为单位一的三角形

62
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
他的的斜边的长度就是单位根号二
这同时也可以被延伸下去

63
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
我们可以继续画另外一个直角三角形

64
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
其中一条边以刚才的斜边为基础，另一条边长度为单位一

65
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
这个三角形的斜边程度就是单位根号三

66
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
它同时还可以继续被延展下去

67
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
关键问题是
小数和分数都只是表现数字的方法之一

68
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
根号二只是一个边长为单位一的直角三角形的

69
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
斜边长度罢了

70
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
相似的，著名的无理数pi

71
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
也是与它描述的图形关系一样

72
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
代表者圆周长和半径的比例

73
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
近似值 22/7 或者 355/133

74
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
是永远无法准确的表达出pi值的

75
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
我们永远也无法知道在希帕索斯身上到底发生过什么

76
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
但是我们知道他的发现带动了整个数学界的革命

77
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
所以无论神话里面怎么说
永远不要害怕去探索不可能