WEBVTT

00:00:06.941 --> 00:00:08.703
正如希腊神话中许多英雄一样

00:00:08.713 --> 00:00:13.930
哲学家希帕索斯被传说要接受神的惩罚

00:00:13.930 --> 00:00:15.606
但他错在哪儿了呢

00:00:15.606 --> 00:00:16.957
是他杀人了

00:00:16.957 --> 00:00:19.474
还是他破坏了神圣的仪式

00:00:19.474 --> 00:00:23.524
都不是
希帕索斯的罪源于一个数学证明

00:00:23.524 --> 00:00:26.583
无理数的发现

00:00:26.583 --> 00:00:30.311
希帕索是毕达哥拉斯学派中的一员

00:00:30.311 --> 00:00:32.922
他们对于数字有着宗教般的崇敬

00:00:32.922 --> 00:00:35.463
他们的格言“万物皆数”

00:00:35.463 --> 00:00:39.013
暗示着他们认为数字是宇宙建立的基石

00:00:39.013 --> 00:00:43.317
而且他们也相信任何事物
从宇宙研究到音乐发展

00:00:43.317 --> 00:00:46.477
从形而上学到道德观念

00:00:46.477 --> 00:00:50.175
归根到底都是数字比例的问题

00:00:50.175 --> 00:00:53.488
因此，任何数字都可以被写成一个比例（分数）

00:00:53.488 --> 00:00:55.995
5就是5/1

00:00:55.995 --> 00:00:59.085
0.5就是1/2

00:00:59.085 --> 00:01:00.505
等等

00:01:00.505 --> 00:01:07.907
甚至一个可以被无限延伸的十进制数字
也可以被准确表示成34/45

00:01:07.907 --> 00:01:11.421
这些数字都被称为有理数

00:01:11.421 --> 00:01:16.051
而希帕索斯却发现了一个背离这种和谐规律的数字

00:01:16.051 --> 00:01:18.825
一个本不该存在的数字

00:01:18.825 --> 00:01:21.395
这个问题起源于一个非常简单的图形

00:01:21.395 --> 00:01:25.105
一个四边长度均为单位1的正方形

00:01:25.105 --> 00:01:26.898
根据毕达哥拉斯的理论

00:01:26.898 --> 00:01:30.183
这个正方形的对角线长度应该为根号二

00:01:30.183 --> 00:01:35.528
但是无论希帕索斯如何尝试
都不能将根号二变为两个整数的比例形式

00:01:35.528 --> 00:01:39.839
他并没有选择放弃
而是决定证明这个数字确实无法被比例表示出来

00:01:39.839 --> 00:01:44.196
希帕索斯首先假设毕达哥拉斯的“万物皆数”的观点是正确的

00:01:44.196 --> 00:01:49.145
根号二是可以被表示成两个整数的比例

00:01:49.145 --> 00:01:50.911
他假设这两个整数分别为p和q

00:01:52.262 --> 00:01:54.748
假定这个比例已经被最简化

00:01:56.358 --> 00:01:59.957
因此，p和q应该没有相同约数

00:01:59.957 --> 00:02:02.987
要证明根号二并不是有理数

00:02:02.987 --> 00:02:08.074
希帕索斯只需要证明p/q并不存在即可

00:02:08.074 --> 00:02:11.422
他将等号两侧均乘以q

00:02:11.422 --> 00:02:13.291
然后两侧均计算平方

00:02:13.291 --> 00:02:15.320
得到了这样一个等式

00:02:15.320 --> 00:02:19.274
任何数字乘以2的结果都是偶数

00:02:19.274 --> 00:02:22.332
所以p的平方是偶数

00:02:22.332 --> 00:02:24.715
如果p是奇数，则p的平方不可能为偶数

00:02:24.715 --> 00:02:28.154
因为奇数乘以本身，得到的还是奇数

00:02:28.154 --> 00:02:30.702
所以p也应该是一个偶数

00:02:30.702 --> 00:02:36.176
因此，p可以表示为2a
其中a也是一个整数

00:02:36.176 --> 00:02:39.074
把这个等式带入原来的方程，并简化

00:02:39.074 --> 00:02:43.248
得到：q^2 = 2a^2

00:02:43.248 --> 00:02:47.180
再一次，任何数字乘以2得到的结果为偶数

00:02:47.180 --> 00:02:49.921
所以q的平方一定是偶数

00:02:49.921 --> 00:02:52.012
那么q也一定是偶数

00:02:52.012 --> 00:02:54.393
这就得到p和q都是偶数的结果

00:02:54.393 --> 00:02:57.710
但如果这是正确的话
p和q就有一个共同的因子2

00:02:57.710 --> 00:03:00.576
和最初的题设矛盾

00:03:00.576 --> 00:03:04.796
至此，希帕索斯得以证明这样的比例是不存在的

00:03:04.796 --> 00:03:06.756
这被称为矛盾证明法

00:03:06.756 --> 00:03:08.234
而根据传说

00:03:08.234 --> 00:03:11.453
上帝并不喜欢矛盾的存在

00:03:11.453 --> 00:03:14.928
有趣的是，即便我们无法将无理数

00:03:14.928 --> 00:03:16.802
表示称为整数的比例

00:03:16.802 --> 00:03:20.891
我们却可以将它准确表现在图形之中

00:03:20.891 --> 00:03:22.149
以根号二为例

00:03:22.149 --> 00:03:27.844
我们需要做的就是准确的画出一个
两条直角边均为单位一的三角形

00:03:27.844 --> 00:03:32.596
他的的斜边的长度就是单位根号二
这同时也可以被延伸下去

00:03:32.596 --> 00:03:35.144
我们可以继续画另外一个直角三角形

00:03:35.144 --> 00:03:38.491
其中一条边以刚才的斜边为基础，另一条边长度为单位一

00:03:38.491 --> 00:03:41.135
这个三角形的斜边程度就是单位根号三

00:03:41.135 --> 00:03:43.932
它同时还可以继续被延展下去

00:03:43.932 --> 00:03:48.953
关键问题是
小数和分数都只是表现数字的方法之一

00:03:48.953 --> 00:03:52.948
根号二只是一个边长为单位一的直角三角形的

00:03:52.948 --> 00:03:54.875
斜边长度罢了

00:03:54.875 --> 00:03:58.259
相似的，著名的无理数pi

00:03:58.259 --> 00:04:01.128
也是与它描述的图形关系一样

00:04:01.128 --> 00:04:04.570
代表者圆周长和半径的比例

00:04:04.570 --> 00:04:07.565
近似值 22/7 或者 355/133

00:04:07.565 --> 00:04:13.707
是永远无法准确的表达出pi值的

00:04:13.707 --> 00:04:16.218
我们永远也无法知道在希帕索斯身上到底发生过什么

00:04:16.218 --> 00:04:20.665
但是我们知道他的发现带动了整个数学界的革命

00:04:20.665 --> 00:04:24.936
所以无论神话里面怎么说
永远不要害怕去探索不可能