Perceber os números irracionais — Ganesh Pai
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0:07 - 0:09Tal como muitos heróis dos mitos gregos,
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0:09 - 0:14consta que o filósofo Hipaso
foi mortalmente punido pelos deuses. -
0:14 - 0:16Mas qual foi o seu crime?
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0:16 - 0:17Terá assassinado convidados
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0:17 - 0:20ou profanado algum ritual sagrado?
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0:20 - 0:23Não, a transgressão de Hipaso
foi uma demonstração matemática: -
0:24 - 0:26a descoberta dos números irracionais.
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0:27 - 0:30Hipaso pertencia a um grupo
chamado os "matemáticos pitagóricos" -
0:30 - 0:33que tinham uma reverência religiosa
pelos números. -
0:33 - 0:36A sua máxima de "Tudo é um número",
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0:36 - 0:39sugeria que os números eram
os blocos constituintes do Universo -
0:39 - 0:43e parte desta crença era que tudo,
desde a cosmologia e a metafísica -
0:43 - 0:47até à música e à ética,
seguia regras eternas -
0:47 - 0:50que podiam ser descritas
como razões de números. -
0:50 - 0:53Assim, qualquer número
podia ser escrito como uma razão, -
0:54 - 0:565 como 5 sobre 1,
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0:56 - 0:5905, como 1 sobre 2,
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0:59 - 1:00etc.
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1:00 - 1:03Até mesmo um número decimal
de extensão infinita como este, -
1:03 - 1:07podia ser expresso
com exatidão como 34 sobre 45. -
1:08 - 1:10Todos estes números são aquilo
a que chamamos hoje -
1:10 - 1:12os números racionais.
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1:12 - 1:16Mas Hipaso descobriu um número
que violava esta regra harmoniosa, -
1:16 - 1:18um número que não devia existir.
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1:19 - 1:21O problema começa com uma forma simples,
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1:21 - 1:24um quadrado em que cada lado
mede uma unidade. -
1:25 - 1:27Segundo o Teorema de Pitágoras,
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1:27 - 1:30o comprimento da diagonal
é igual à raiz quadrada de dois, -
1:30 - 1:32mas, por mais que tentasse,
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1:32 - 1:36Hipaso não conseguiu exprimir isso
como uma razão de dois números inteiros. -
1:36 - 1:39Em vez de desistir, decidiu demonstrar
que não era possível fazê-lo. -
1:40 - 1:44Hipaso começou por assumir
que a visão pitagórica estava correta, -
1:44 - 1:49que a raiz de 2 podia exprimir-se
como uma razão de dois números inteiros. -
1:49 - 1:53Chamou p e q
a esses hipotéticos números inteiros. -
1:53 - 1:56Se a razão podia ser expressa
na sua forma mais simples, -
1:56 - 2:00p e q não podiam ter fatores comuns.
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2:00 - 2:03Para demonstrar que a raiz de 2
não era racional, -
2:03 - 2:07Hipaso tinha que demonstrar
que p/q não podia existir. -
2:08 - 2:11Portanto multiplicou ambos os termos
da equação por q -
2:11 - 2:13e elevou ao quadrado
os dois termos da equação. -
2:13 - 2:15o que lhe deu esta equação.
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2:15 - 2:19A multiplicação de qualquer número por 2
dá sempre um número par, -
2:19 - 2:22portanto o quadrado de p
tinha que ser par. -
2:22 - 2:25Se p fosse ímpar,
isso não podia estar correto, -
2:25 - 2:28porque um número ímpar
multiplicado por si mesmo é sempre ímpar, -
2:28 - 2:31portanto p também tinha que ser par.
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2:31 - 2:36Assim, p podia ser expresso por 2a,
em que a é um número inteiro. -
2:36 - 2:39Substituindo p por 2a, na equação,
e simplificando, -
2:39 - 2:43obtemos : q^2 = 2a^2
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2:43 - 2:47Mais uma vez, qualquer número
multiplicado por 2 dá um número par, -
2:47 - 2:50portanto q ao quadrado tinha que ser par,
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2:50 - 2:52e q também tinha que ser par,
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2:52 - 2:54ou seja, p e q tinham que ser pares.
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2:54 - 2:58Mas, se isso estivesse correto,
tinham que ter um fator comum: 2. -
2:58 - 3:00Isso contradizia a afirmação inicial.
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3:01 - 3:05Foi assim que Hipaso concluiu
que aquela razão não podia existir. -
3:05 - 3:07Chama-se a isto
a prova por contradição. -
3:07 - 3:08Segundo a lenda,
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3:08 - 3:11os deuses não acharam graça
a serem desmentidos. -
3:11 - 3:15Curiosamente, apesar de não podermos
exprimir números irracionais -
3:15 - 3:17sob a forma de razões
de números inteiros, -
3:17 - 3:21é possível determinar a sua posição
numa linha de números. -
3:21 - 3:23Vejamos a raiz quadrada de 2.
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3:23 - 3:25Basta desenharmos um triângulo retângulo
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3:25 - 3:28com dois lados, medindo ambos uma unidade.
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3:28 - 3:31A hipotenusa tem um comprimento
igual à raiz quadrada de 2, -
3:31 - 3:33que pode ser projetada sobre a linha.
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3:33 - 3:35Podemos depois formar
outro triângulo retângulo -
3:35 - 3:38com uma base com esse comprimento
e a altura de uma unidade. -
3:38 - 3:41A hipotenusa será igual
à raiz quadrada de 3, -
3:41 - 3:44que também pode ser projetada
sobre a linha. -
3:44 - 3:49O importante aqui é que exprimimos
os números com decimais e razões -
3:49 - 3:53A raiz quadrada de 2 é a hipotenusa
dum triângulo retângulo -
3:53 - 3:55em que os lados têm o comprimento de um.
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3:55 - 3:58Do mesmo modo, pi,
o famoso número irracional -
3:58 - 4:01é sempre igual exatamente
ao que representa, -
4:01 - 4:05a razão da circunferência de um círculo
com o seu diâmetro. -
4:05 - 4:08Aproximações como 22/7,
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4:08 - 4:13ou 355/113 nunca serão
exatamente iguais a pi. -
4:14 - 4:17Nunca saberemos o que aconteceu
a Hipaso, -
4:17 - 4:21mas sabemos que a sua descoberta
revolucionou a matemática. -
4:21 - 4:25Portanto, digam o que disserem os mitos,
não receiem explorar o impossível.
- Title:
- Perceber os números irracionais — Ganesh Pai
- Speaker:
- Ganesh Pai
- Description:
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Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
Tal como muitos heróis dos mitos gregos, consta que o filósofo Hipaso foi punido moralmente pelos deuses. Mas qual foi o seu crime? Terá assassinado convidados ou profanou um ritual sagrado? Não, a transgressão de Hipaso foi provar matematicamente o que até aí era improvável. Ganesh Pai descreve a história e a matemática por detrás dos números irracionais.
Lição de Ganesh Pai, animação de Anton Trofimov
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:41
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