1
00:00:06,871 --> 00:00:09,003
Tal como muitos heróis dos mitos gregos,

2
00:00:09,013 --> 00:00:13,590
consta que o filósofo Hipaso
foi mortalmente punido pelos deuses.

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,596
Mas qual foi o seu crime?

4
00:00:15,666 --> 00:00:17,297
Terá assassinado convidados

5
00:00:17,337 --> 00:00:19,524
ou profanado algum ritual sagrado?

6
00:00:19,524 --> 00:00:23,484
Não, a transgressão de Hipaso
foi uma demonstração matemática:

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,123
a descoberta dos números irracionais.

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
Hipaso pertencia a um grupo
chamado os "matemáticos pitagóricos"

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,852
que tinham uma reverência religiosa
pelos números.

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,753
A sua máxima de "Tudo é um número",

11
00:00:35,753 --> 00:00:39,063
sugeria que os números eram
os blocos constituintes do Universo

12
00:00:39,133 --> 00:00:43,357
e parte desta crença era que tudo,
desde a cosmologia e a metafísica

13
00:00:43,467 --> 00:00:46,647
até à música e à ética,
seguia regras eternas

14
00:00:46,687 --> 00:00:49,885
que podiam ser descritas
como razões de números.

15
00:00:50,035 --> 00:00:53,348
Assim, qualquer número 
podia ser escrito como uma razão,

16
00:00:53,678 --> 00:00:56,085
5 como 5 sobre 1,

17
00:00:56,205 --> 00:00:58,865
05, como 1 sobre 2,

18
00:00:58,965 --> 00:01:00,295
etc.

19
00:01:00,375 --> 00:01:03,217
Até mesmo um número decimal
de extensão infinita como este,

20
00:01:03,267 --> 00:01:07,077
podia ser expresso
com exatidão como 34 sobre 45.

21
00:01:07,737 --> 00:01:10,177
Todos estes números são aquilo
a que chamamos hoje

22
00:01:10,177 --> 00:01:11,661
os números racionais.

23
00:01:11,661 --> 00:01:15,741
Mas Hipaso descobriu um número
que violava esta regra harmoniosa,

24
00:01:15,891 --> 00:01:18,245
um número que não devia existir.

25
00:01:18,715 --> 00:01:21,255
O problema começa com uma forma simples,

26
00:01:21,305 --> 00:01:24,405
um quadrado em que cada lado
mede uma unidade.

27
00:01:25,035 --> 00:01:27,008
Segundo o Teorema de Pitágoras,

28
00:01:27,008 --> 00:01:30,083
o comprimento da diagonal
é igual à raiz quadrada de dois,

29
00:01:30,183 --> 00:01:31,938
mas, por mais que tentasse,

30
00:01:31,988 --> 00:01:35,518
Hipaso não conseguiu exprimir isso
como uma razão de dois números inteiros.

31
00:01:35,578 --> 00:01:39,489
Em vez de desistir, decidiu demonstrar
que não era possível fazê-lo.

32
00:01:39,739 --> 00:01:43,866
Hipaso começou por assumir
que a visão pitagórica estava correta,

33
00:01:44,146 --> 00:01:48,705
que a raiz de 2 podia exprimir-se
como uma razão de dois números inteiros.

34
00:01:48,955 --> 00:01:52,791
Chamou p e q 
a esses hipotéticos números inteiros.

35
00:01:53,231 --> 00:01:56,358
Se a razão podia ser expressa
na sua forma mais simples,

36
00:01:56,428 --> 00:01:59,787
p e q não podiam ter fatores comuns.

37
00:01:59,957 --> 00:02:02,937
Para demonstrar que a raiz de 2
não era racional,

38
00:02:02,987 --> 00:02:07,344
Hipaso tinha que demonstrar
que p/q não podia existir.

39
00:02:08,074 --> 00:02:11,012
Portanto multiplicou ambos os termos
da equação por q

40
00:02:11,122 --> 00:02:13,401
e elevou ao quadrado 
os dois termos da equação.

41
00:02:13,411 --> 00:02:15,160
o que lhe deu esta equação.

42
00:02:15,180 --> 00:02:19,014
A multiplicação de qualquer número por 2
dá sempre um número par,

43
00:02:19,274 --> 00:02:21,922
portanto o quadrado de p
tinha que ser par.

44
00:02:22,332 --> 00:02:24,875
Se p fosse ímpar,
isso não podia estar correto,

45
00:02:24,885 --> 00:02:27,954
porque um número ímpar
multiplicado por si mesmo é sempre ímpar,

46
00:02:28,104 --> 00:02:30,652
portanto p também tinha que ser par.

47
00:02:30,822 --> 00:02:35,996
Assim, p podia ser expresso por 2a,
em que a é um número inteiro.

48
00:02:36,196 --> 00:02:39,254
Substituindo p por 2a, na equação,
e simplificando,

49
00:02:39,324 --> 00:02:42,768
obtemos : q^2 = 2a^2

50
00:02:43,248 --> 00:02:47,050
Mais uma vez, qualquer número
multiplicado por 2 dá um número par,

51
00:02:47,180 --> 00:02:49,671
portanto q ao quadrado tinha que ser par,

52
00:02:49,701 --> 00:02:51,792
e q também tinha que ser par,

53
00:02:51,852 --> 00:02:54,233
ou seja, p e q tinham que ser pares.

54
00:02:54,493 --> 00:02:57,840
Mas, se isso estivesse correto,
tinham que ter um fator comum: 2.

55
00:02:57,880 --> 00:03:00,436
Isso contradizia a afirmação inicial.

56
00:03:00,576 --> 00:03:04,516
Foi assim que Hipaso concluiu
que aquela razão não podia existir.

57
00:03:04,706 --> 00:03:06,986
Chama-se a isto
a prova por contradição.

58
00:03:07,096 --> 00:03:08,434
Segundo a lenda,

59
00:03:08,434 --> 00:03:11,343
os deuses não acharam graça
a serem desmentidos.

60
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
Curiosamente, apesar de não podermos
exprimir números irracionais

61
00:03:14,948 --> 00:03:17,092
sob a forma de razões
de números inteiros,

62
00:03:17,122 --> 00:03:20,781
é possível determinar a sua posição
numa linha de números.

63
00:03:20,891 --> 00:03:22,609
Vejamos a raiz quadrada de 2.

64
00:03:22,609 --> 00:03:24,844
Basta desenharmos um triângulo retângulo

65
00:03:24,844 --> 00:03:27,754
com dois lados, medindo ambos uma unidade.

66
00:03:27,914 --> 00:03:30,766
A hipotenusa tem um comprimento
igual à raiz quadrada de 2,

67
00:03:30,766 --> 00:03:32,906
que pode ser projetada sobre a linha.

68
00:03:32,926 --> 00:03:35,434
Podemos depois formar
outro triângulo retângulo

69
00:03:35,454 --> 00:03:38,351
com uma base com esse comprimento
e a altura de uma unidade.

70
00:03:38,411 --> 00:03:40,985
A hipotenusa será igual
à raiz quadrada de 3,

71
00:03:41,085 --> 00:03:43,932
que também pode ser projetada
sobre a linha.

72
00:03:44,152 --> 00:03:48,863
O importante aqui é que exprimimos
os números com decimais e razões

73
00:03:49,013 --> 00:03:52,848
A raiz quadrada de 2 é a hipotenusa
dum triângulo retângulo

74
00:03:52,868 --> 00:03:55,005
em que os lados têm o comprimento de um.

75
00:03:55,225 --> 00:03:58,429
Do mesmo modo, pi,
o famoso número irracional

76
00:03:58,469 --> 00:04:01,208
é sempre igual exatamente
ao que representa,

77
00:04:01,298 --> 00:04:04,570
a razão da circunferência de um círculo
com o seu diâmetro.

78
00:04:04,940 --> 00:04:07,655
Aproximações como 22/7,

79
00:04:07,725 --> 00:04:13,457
ou 355/113 nunca serão
exatamente iguais a pi.

80
00:04:13,707 --> 00:04:16,528
Nunca saberemos o que aconteceu
a Hipaso,

81
00:04:16,528 --> 00:04:20,665
mas sabemos que a sua descoberta
revolucionou a matemática.

82
00:04:20,825 --> 00:04:25,076
Portanto, digam o que disserem os mitos,
não receiem explorar o impossível.