WEBVTT

00:00:06.871 --> 00:00:09.003
Tal como muitos heróis dos mitos gregos,

00:00:09.013 --> 00:00:13.590
consta que o filósofo Hipaso
foi mortalmente punido pelos deuses.

00:00:13.930 --> 00:00:15.596
Mas qual foi o seu crime?

00:00:15.666 --> 00:00:17.297
Terá assassinado convidados

00:00:17.337 --> 00:00:19.524
ou profanado algum ritual sagrado?

00:00:19.524 --> 00:00:23.484
Não, a transgressão de Hipaso
foi uma demonstração matemática:

00:00:23.524 --> 00:00:26.123
a descoberta dos números irracionais.

00:00:26.583 --> 00:00:30.311
Hipaso pertencia a um grupo
chamado os "matemáticos pitagóricos"

00:00:30.311 --> 00:00:32.852
que tinham uma reverência religiosa
pelos números.

00:00:32.922 --> 00:00:35.753
A sua máxima de "Tudo é um número",

00:00:35.753 --> 00:00:39.063
sugeria que os números eram
os blocos constituintes do Universo

00:00:39.133 --> 00:00:43.357
e parte desta crença era que tudo,
desde a cosmologia e a metafísica

00:00:43.467 --> 00:00:46.647
até à música e à ética,
seguia regras eternas

00:00:46.687 --> 00:00:49.885
que podiam ser descritas
como razões de números.

00:00:50.035 --> 00:00:53.348
Assim, qualquer número 
podia ser escrito como uma razão,

00:00:53.678 --> 00:00:56.085
5 como 5 sobre 1,

00:00:56.205 --> 00:00:58.865
05, como 1 sobre 2,

00:00:58.965 --> 00:01:00.295
etc.

00:01:00.375 --> 00:01:03.217
Até mesmo um número decimal
de extensão infinita como este,

00:01:03.267 --> 00:01:07.077
podia ser expresso
com exatidão como 34 sobre 45.

00:01:07.737 --> 00:01:10.177
Todos estes números são aquilo
a que chamamos hoje

00:01:10.177 --> 00:01:11.661
os números racionais.

00:01:11.661 --> 00:01:15.741
Mas Hipaso descobriu um número
que violava esta regra harmoniosa,

00:01:15.891 --> 00:01:18.245
um número que não devia existir.

00:01:18.715 --> 00:01:21.255
O problema começa com uma forma simples,

00:01:21.305 --> 00:01:24.405
um quadrado em que cada lado
mede uma unidade.

00:01:25.035 --> 00:01:27.008
Segundo o Teorema de Pitágoras,

00:01:27.008 --> 00:01:30.083
o comprimento da diagonal
é igual à raiz quadrada de dois,

00:01:30.183 --> 00:01:31.938
mas, por mais que tentasse,

00:01:31.988 --> 00:01:35.518
Hipaso não conseguiu exprimir isso
como uma razão de dois números inteiros.

00:01:35.578 --> 00:01:39.489
Em vez de desistir, decidiu demonstrar
que não era possível fazê-lo.

00:01:39.739 --> 00:01:43.866
Hipaso começou por assumir
que a visão pitagórica estava correta,

00:01:44.146 --> 00:01:48.705
que a raiz de 2 podia exprimir-se
como uma razão de dois números inteiros.

00:01:48.955 --> 00:01:52.791
Chamou p e q 
a esses hipotéticos números inteiros.

00:01:53.231 --> 00:01:56.358
Se a razão podia ser expressa
na sua forma mais simples,

00:01:56.428 --> 00:01:59.787
p e q não podiam ter fatores comuns.

00:01:59.957 --> 00:02:02.937
Para demonstrar que a raiz de 2
não era racional,

00:02:02.987 --> 00:02:07.344
Hipaso tinha que demonstrar
que p/q não podia existir.

00:02:08.074 --> 00:02:11.012
Portanto multiplicou ambos os termos
da equação por q

00:02:11.122 --> 00:02:13.401
e elevou ao quadrado 
os dois termos da equação.

00:02:13.411 --> 00:02:15.160
o que lhe deu esta equação.

00:02:15.180 --> 00:02:19.014
A multiplicação de qualquer número por 2
dá sempre um número par,

00:02:19.274 --> 00:02:21.922
portanto o quadrado de p
tinha que ser par.

00:02:22.332 --> 00:02:24.875
Se p fosse ímpar,
isso não podia estar correto,

00:02:24.885 --> 00:02:27.954
porque um número ímpar
multiplicado por si mesmo é sempre ímpar,

00:02:28.104 --> 00:02:30.652
portanto p também tinha que ser par.

00:02:30.822 --> 00:02:35.996
Assim, p podia ser expresso por 2a,
em que a é um número inteiro.

00:02:36.196 --> 00:02:39.254
Substituindo p por 2a, na equação,
e simplificando,

00:02:39.324 --> 00:02:42.768
obtemos : q^2 = 2a^2

00:02:43.248 --> 00:02:47.050
Mais uma vez, qualquer número
multiplicado por 2 dá um número par,

00:02:47.180 --> 00:02:49.671
portanto q ao quadrado tinha que ser par,

00:02:49.701 --> 00:02:51.792
e q também tinha que ser par,

00:02:51.852 --> 00:02:54.233
ou seja, p e q tinham que ser pares.

00:02:54.493 --> 00:02:57.840
Mas, se isso estivesse correto,
tinham que ter um fator comum: 2.

00:02:57.880 --> 00:03:00.436
Isso contradizia a afirmação inicial.

00:03:00.576 --> 00:03:04.516
Foi assim que Hipaso concluiu
que aquela razão não podia existir.

00:03:04.706 --> 00:03:06.986
Chama-se a isto
a prova por contradição.

00:03:07.096 --> 00:03:08.434
Segundo a lenda,

00:03:08.434 --> 00:03:11.343
os deuses não acharam graça
a serem desmentidos.

00:03:11.453 --> 00:03:14.928
Curiosamente, apesar de não podermos
exprimir números irracionais

00:03:14.948 --> 00:03:17.092
sob a forma de razões
de números inteiros,

00:03:17.122 --> 00:03:20.781
é possível determinar a sua posição
numa linha de números.

00:03:20.891 --> 00:03:22.609
Vejamos a raiz quadrada de 2.

00:03:22.609 --> 00:03:24.844
Basta desenharmos um triângulo retângulo

00:03:24.844 --> 00:03:27.754
com dois lados, medindo ambos uma unidade.

00:03:27.914 --> 00:03:30.766
A hipotenusa tem um comprimento
igual à raiz quadrada de 2,

00:03:30.766 --> 00:03:32.906
que pode ser projetada sobre a linha.

00:03:32.926 --> 00:03:35.434
Podemos depois formar
outro triângulo retângulo

00:03:35.454 --> 00:03:38.351
com uma base com esse comprimento
e a altura de uma unidade.

00:03:38.411 --> 00:03:40.985
A hipotenusa será igual
à raiz quadrada de 3,

NOTE Paragraph

00:03:41.085 --> 00:03:43.932
que também pode ser projetada
sobre a linha.

00:03:44.152 --> 00:03:48.863
O importante aqui é que exprimimos
os números com decimais e razões

00:03:49.013 --> 00:03:52.848
A raiz quadrada de 2 é a hipotenusa
dum triângulo retângulo

00:03:52.868 --> 00:03:55.005
em que os lados têm o comprimento de um.

00:03:55.225 --> 00:03:58.429
Do mesmo modo, pi,
o famoso número irracional

00:03:58.469 --> 00:04:01.208
é sempre igual exatamente
ao que representa,

00:04:01.298 --> 00:04:04.570
a razão da circunferência de um círculo
com o seu diâmetro.

00:04:04.940 --> 00:04:07.655
Aproximações como 22/7,

00:04:07.725 --> 00:04:13.457
ou 355/113 nunca serão
exatamente iguais a pi.

00:04:13.707 --> 00:04:16.528
Nunca saberemos o que aconteceu
a Hipaso,

00:04:16.528 --> 00:04:20.665
mas sabemos que a sua descoberta
revolucionou a matemática.

00:04:20.825 --> 00:04:25.076
Portanto, digam o que disserem os mitos,
não receiem explorar o impossível.