O co chodzi z liczbami niewymiernymi - Ganesh Pai

Zobacz całą lekcję: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Jak wielu innych bohaterów z greckich mitów filozof Hippazos miał zostać ukarany przez bogów. Ale za jaką zbrodnię? Zamordował gości? Zakłócił święte obrządki? Nie. Przestępstwem Hippazosa było to, że matematycznie dowiódł czegoś dotychczas niedowiedzionego. Ganesh Pai przedstawia historię
i matematykę liczb niewymiernych.

Lekcja: Ganesh Pai, animacja: Anton Trofimow.

Jak wielu innych bohaterów
z greckich mitów

filozof Hippazos miał
zostać ukarany przez bogów.

Ale za co?

Zamordował gości?

Zakłócił święte obrządki?

Nie. Przestępstwem Hippazosa
było matematyczne udowodnienie,

że liczby niewymierne istnieją.

Hippazos należał
do pitagorejskich matematyków,

którzy liczby darzyli boską czcią.

Ich motto "Wszystko jest liczbą"

oznaczało, że wszechświat
miał być zbudowany z liczb,

więc wszystko od kosmologii i metafizyki,

po muzykę i etykę kierowało się
wiecznymi zasadami,

które można było
wyrazić jako stosunki liczb.

Zapisać tak można było każdą liczbę.

5 to 5/1,

0,5 to 1/2

i tak dalej.

Nawet taki nieskończony ułamek
dziesiętny można wyrazić jako 34/45.

To liczby wymierne.

Ale Hippazos znalazł liczbę,
która się z tego wyłamała

i nie powinna była istnieć.

Wszystko zaczęło się od prostej figury,

kwadratu o boku długości 1.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

długość przekątnej wynosi pierwiastek z 2,

ale mimo starań, Hippazos nie umiał jej
wyrazić jako stosunku liczb całkowitych.

Postanowił udowodnić, że to niemożliwe.

Zgodnie z doktryną pitagorejską przyjął,

że pierwiastek z 2 można wyrazić
jako stosunek liczb całkowitych.

Oznaczmy te liczby p i q.

Zakładamy, że ułamek jest już
skrócony do najprostszej postaci,

czyli p i q nie mają wspólnych dzielników.

Żeby udowodnić,
że pierwiastek z 2 jest niewymierny,

Hippazos musiał wykazać,
że p/q nie istnieje.

Obie strony równania pomnożył przez q

i podniósł do kwadratu.

Powstało takie równanie.

Każda liczba pomnożona
przez 2 daje parzysty wynik,

więc p^2 musi być parzysta.

Gdyby p była nieparzysta,

to jej kwadrat też byłby nieparzysty,

więc p musi być parzysta.

Można ją zapisać jako 2a,
gdzie a to liczba całkowita.

Podstawmy to do równania i uprośćmy.

Otrzymamy q^2 = 2a^2.

Mnożenie przez 2
zawsze daje parzysty wynik,

więc q^2 musi być parzysta.

Parzysta będzie też q.

Zarówno p, jak i q są parzyste.

Ale to oznacza, że p i q
mają wspólny dzielnik, dwa,

a to przeczy początkowemu założeniu.

Hippazos zyskał pewność,
że nie ma takiego ułamka.

To dowód "nie wprost",

a według legendy

bogowie nie lubią,
kiedy traktuje się ich nie wprost.

Choć nie można wyrazić
liczb niewymiernych

jako stosunku liczb całkowitych,

niektóre z nich można zaznaczyć na osi.

Weźmy pierwiastek z dwóch.

Wystarczy trójkąt prostokątny
o przyprostokątnych długości 1.

Przeciwprostokątna
ma długość pierwiastka z 2

i można ją odłożyć na osi.

Teraz narysujmy trójkąt

o podstawie i wysokości długości 1.

Jego przeciwprostokątna
jest równa pierwiastek z 3

i też można ją odłożyć na osi.

Ułamki zwykłe i dziesiętne
to tylko sposób zapisu.

Pierwiastek z 2 to po prostu
przeciwprostokątna

trójkąta o boku 1.

Słynna niewymierna liczba pi
jest zawsze równa

stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.

Przybliżenia, jak 22/7

czy 355/113, nigdy nie będą równe pi.

Nie wiemy, co się stało z Hippazosem,

ale jego odkrycie
zrewolucjonizowało matematykę.

Więc nie przejmujcie się mitami
i badajcie to, co niemożliwe.