0:00:06.241,0:00:08.913
Jak wielu innych bohaterów[br]z greckich mitów

0:00:08.913,0:00:13.510
filozof Hippazos miał[br]zostać ukarany przez bogów.

0:00:13.510,0:00:15.236
Ale za co?

0:00:15.236,0:00:16.957
Zamordował gości?

0:00:16.957,0:00:19.134
Zakłócił święte obrządki?

0:00:19.134,0:00:23.374
Nie. Przestępstwem Hippazosa[br]było matematyczne udowodnienie,

0:00:23.374,0:00:26.443
że liczby niewymierne istnieją.

0:00:26.443,0:00:30.311
Hippazos należał[br]do pitagorejskich matematyków,

0:00:30.311,0:00:32.922
którzy liczby darzyli boską czcią.

0:00:32.922,0:00:35.263
Ich motto "Wszystko jest liczbą"

0:00:35.263,0:00:39.013
oznaczało, że wszechświat[br]miał być zbudowany z liczb,

0:00:39.013,0:00:43.317
więc wszystko od kosmologii i metafizyki,

0:00:43.317,0:00:46.477
po muzykę i etykę kierowało się[br]wiecznymi zasadami,

0:00:46.477,0:00:49.985
które można było[br]wyrazić jako stosunki liczb.

0:00:49.985,0:00:53.488
Zapisać tak można było każdą liczbę.

0:00:53.488,0:00:55.995
5 to 5/1,

0:00:55.995,0:00:58.705
0,5 to 1/2

0:00:58.705,0:01:00.305
i tak dalej.

0:01:00.305,0:01:07.717
Nawet taki nieskończony ułamek[br]dziesiętny można wyrazić jako 34/45.

0:01:07.717,0:01:11.231
To liczby wymierne.

0:01:11.231,0:01:15.551
Ale Hippazos znalazł liczbę,[br]która się z tego wyłamała

0:01:15.551,0:01:18.825
i nie powinna była istnieć.

0:01:18.825,0:01:21.395
Wszystko zaczęło się od prostej figury,

0:01:21.395,0:01:24.895
kwadratu o boku długości 1.

0:01:24.895,0:01:26.898
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

0:01:26.898,0:01:30.183
długość przekątnej wynosi pierwiastek z 2,

0:01:30.183,0:01:35.528
ale mimo starań, Hippazos nie umiał jej[br]wyrazić jako stosunku liczb całkowitych.

0:01:35.528,0:01:39.839
Postanowił udowodnić, że to niemożliwe.

0:01:39.839,0:01:44.066
Zgodnie z doktryną pitagorejską przyjął,

0:01:44.066,0:01:49.005
że pierwiastek z 2 można wyrazić[br]jako stosunek liczb całkowitych.

0:01:49.005,0:01:52.881
Oznaczmy te liczby p i q.

0:01:52.881,0:01:56.358
Zakładamy, że ułamek jest już[br]skrócony do najprostszej postaci,

0:01:56.358,0:01:59.957
czyli p i q nie mają wspólnych dzielników.

0:01:59.957,0:02:02.987
Żeby udowodnić, [br]że pierwiastek z 2 jest niewymierny,

0:02:02.987,0:02:07.824
Hippazos musiał wykazać,[br]że p/q nie istnieje.

0:02:07.824,0:02:11.082
Obie strony równania pomnożył przez q

0:02:11.082,0:02:12.761
i podniósł do kwadratu.

0:02:12.761,0:02:15.090
Powstało takie równanie.

0:02:15.090,0:02:19.274
Każda liczba pomnożona[br]przez 2 daje parzysty wynik,

0:02:19.274,0:02:22.332
więc p^2 musi być parzysta.

0:02:22.332,0:02:24.715
Gdyby p była nieparzysta,

0:02:24.715,0:02:28.154
to jej kwadrat też byłby nieparzysty,

0:02:28.154,0:02:30.702
więc p musi być parzysta.

0:02:30.702,0:02:36.176
Można ją zapisać jako 2a,[br]gdzie a to liczba całkowita.

0:02:36.176,0:02:39.224
Podstawmy to do równania i uprośćmy.

0:02:39.224,0:02:43.248
Otrzymamy q^2 = 2a^2.

0:02:43.248,0:02:47.180
Mnożenie przez 2[br]zawsze daje parzysty wynik,

0:02:47.180,0:02:49.691
więc q^2 musi być parzysta.

0:02:49.691,0:02:52.012
Parzysta będzie też q.

0:02:52.012,0:02:54.393
Zarówno p, jak i q są parzyste.

0:02:54.393,0:02:57.770
Ale to oznacza, że p i q[br]mają wspólny dzielnik, dwa,

0:02:57.770,0:03:00.386
a to przeczy początkowemu założeniu.

0:03:00.386,0:03:04.796
Hippazos zyskał pewność,[br]że nie ma takiego ułamka.

0:03:04.796,0:03:06.756
To dowód "nie wprost",

0:03:06.756,0:03:08.234
a według legendy

0:03:08.234,0:03:11.313
bogowie nie lubią,[br]kiedy traktuje się ich nie wprost.

0:03:11.313,0:03:14.928
Choć nie można wyrazić[br]liczb niewymiernych

0:03:14.928,0:03:16.802
jako stosunku liczb całkowitych,

0:03:16.802,0:03:20.431
niektóre z nich można zaznaczyć na osi.

0:03:20.431,0:03:22.149
Weźmy pierwiastek z dwóch.

0:03:22.149,0:03:27.844
Wystarczy trójkąt prostokątny[br]o przyprostokątnych długości 1.

0:03:27.844,0:03:30.306
Przeciwprostokątna[br]ma długość pierwiastka z 2

0:03:30.306,0:03:32.596
i można ją odłożyć na osi.

0:03:32.596,0:03:35.144
Teraz narysujmy trójkąt

0:03:35.144,0:03:38.261
o podstawie i wysokości długości 1.

0:03:38.261,0:03:41.135
Jego przeciwprostokątna[br]jest równa pierwiastek z 3

0:03:41.135,0:03:43.932
i też można ją odłożyć na osi.

0:03:43.932,0:03:48.953
Ułamki zwykłe i dziesiętne[br]to tylko sposób zapisu.

0:03:48.953,0:03:52.948
Pierwiastek z 2 to po prostu[br]przeciwprostokątna

0:03:52.948,0:03:54.875
trójkąta o boku 1.

0:03:54.875,0:04:00.828
Słynna niewymierna liczba pi[br]jest zawsze równa

0:04:00.828,0:04:04.570
stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.

0:04:04.570,0:04:07.565
Przybliżenia, jak 22/7

0:04:07.565,0:04:13.707
czy 355/113, nigdy nie będą równe pi.

0:04:13.707,0:04:16.218
Nie wiemy, co się stało z Hippazosem,

0:04:16.218,0:04:20.665
ale jego odkrycie[br]zrewolucjonizowało matematykę.

0:04:20.665,0:04:24.996
Więc nie przejmujcie się mitami[br]i badajcie to, co niemożliwe.