WEBVTT

00:00:06.241 --> 00:00:08.913
Jak wielu innych bohaterów
z greckich mitów

00:00:08.913 --> 00:00:13.510
filozof Hippazos miał
zostać ukarany przez bogów.

00:00:13.510 --> 00:00:15.236
Ale za co?

00:00:15.236 --> 00:00:16.957
Zamordował gości?

00:00:16.957 --> 00:00:19.134
Zakłócił święte obrządki?

00:00:19.134 --> 00:00:23.374
Nie. Przestępstwem Hippazosa
było matematyczne udowodnienie,

00:00:23.374 --> 00:00:26.443
że liczby niewymierne istnieją.

00:00:26.443 --> 00:00:30.311
Hippazos należał
do pitagorejskich matematyków,

00:00:30.311 --> 00:00:32.922
którzy liczby darzyli boską czcią.

00:00:32.922 --> 00:00:35.263
Ich motto "Wszystko jest liczbą"

00:00:35.263 --> 00:00:39.013
oznaczało, że wszechświat
miał być zbudowany z liczb,

00:00:39.013 --> 00:00:43.317
więc wszystko od kosmologii i metafizyki,

00:00:43.317 --> 00:00:46.477
po muzykę i etykę kierowało się
wiecznymi zasadami,

00:00:46.477 --> 00:00:49.985
które można było
wyrazić jako stosunki liczb.

00:00:49.985 --> 00:00:53.488
Zapisać tak można było każdą liczbę.

00:00:53.488 --> 00:00:55.995
5 to 5/1,

00:00:55.995 --> 00:00:58.705
0,5 to 1/2

00:00:58.705 --> 00:01:00.305
i tak dalej.

00:01:00.305 --> 00:01:07.717
Nawet taki nieskończony ułamek
dziesiętny można wyrazić jako 34/45.

00:01:07.717 --> 00:01:11.231
To liczby wymierne.

00:01:11.231 --> 00:01:15.551
Ale Hippazos znalazł liczbę,
która się z tego wyłamała

00:01:15.551 --> 00:01:18.825
i nie powinna była istnieć.

00:01:18.825 --> 00:01:21.395
Wszystko zaczęło się od prostej figury,

00:01:21.395 --> 00:01:24.895
kwadratu o boku długości 1.

00:01:24.895 --> 00:01:26.898
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

00:01:26.898 --> 00:01:30.183
długość przekątnej wynosi pierwiastek z 2,

00:01:30.183 --> 00:01:35.528
ale mimo starań, Hippazos nie umiał jej
wyrazić jako stosunku liczb całkowitych.

00:01:35.528 --> 00:01:39.839
Postanowił udowodnić, że to niemożliwe.

00:01:39.839 --> 00:01:44.066
Zgodnie z doktryną pitagorejską przyjął,

00:01:44.066 --> 00:01:49.005
że pierwiastek z 2 można wyrazić
jako stosunek liczb całkowitych.

00:01:49.005 --> 00:01:52.881
Oznaczmy te liczby p i q.

00:01:52.881 --> 00:01:56.358
Zakładamy, że ułamek jest już
skrócony do najprostszej postaci,

00:01:56.358 --> 00:01:59.957
czyli p i q nie mają wspólnych dzielników.

00:01:59.957 --> 00:02:02.987
Żeby udowodnić, 
że pierwiastek z 2 jest niewymierny,

00:02:02.987 --> 00:02:07.824
Hippazos musiał wykazać,
że p/q nie istnieje.

00:02:07.824 --> 00:02:11.082
Obie strony równania pomnożył przez q

00:02:11.082 --> 00:02:12.761
i podniósł do kwadratu.

00:02:12.761 --> 00:02:15.090
Powstało takie równanie.

00:02:15.090 --> 00:02:19.274
Każda liczba pomnożona
przez 2 daje parzysty wynik,

00:02:19.274 --> 00:02:22.332
więc p^2 musi być parzysta.

00:02:22.332 --> 00:02:24.715
Gdyby p była nieparzysta,

00:02:24.715 --> 00:02:28.154
to jej kwadrat też byłby nieparzysty,

00:02:28.154 --> 00:02:30.702
więc p musi być parzysta.

00:02:30.702 --> 00:02:36.176
Można ją zapisać jako 2a,
gdzie a to liczba całkowita.

00:02:36.176 --> 00:02:39.224
Podstawmy to do równania i uprośćmy.

00:02:39.224 --> 00:02:43.248
Otrzymamy q^2 = 2a^2.

00:02:43.248 --> 00:02:47.180
Mnożenie przez 2
zawsze daje parzysty wynik,

00:02:47.180 --> 00:02:49.691
więc q^2 musi być parzysta.

00:02:49.691 --> 00:02:52.012
Parzysta będzie też q.

00:02:52.012 --> 00:02:54.393
Zarówno p, jak i q są parzyste.

00:02:54.393 --> 00:02:57.770
Ale to oznacza, że p i q
mają wspólny dzielnik, dwa,

00:02:57.770 --> 00:03:00.386
a to przeczy początkowemu założeniu.

00:03:00.386 --> 00:03:04.796
Hippazos zyskał pewność,
że nie ma takiego ułamka.

00:03:04.796 --> 00:03:06.756
To dowód "nie wprost",

00:03:06.756 --> 00:03:08.234
a według legendy

00:03:08.234 --> 00:03:11.313
bogowie nie lubią,
kiedy traktuje się ich nie wprost.

00:03:11.313 --> 00:03:14.928
Choć nie można wyrazić
liczb niewymiernych

00:03:14.928 --> 00:03:16.802
jako stosunku liczb całkowitych,

00:03:16.802 --> 00:03:20.431
niektóre z nich można zaznaczyć na osi.

00:03:20.431 --> 00:03:22.149
Weźmy pierwiastek z dwóch.

00:03:22.149 --> 00:03:27.844
Wystarczy trójkąt prostokątny
o przyprostokątnych długości 1.

00:03:27.844 --> 00:03:30.306
Przeciwprostokątna
ma długość pierwiastka z 2

00:03:30.306 --> 00:03:32.596
i można ją odłożyć na osi.

00:03:32.596 --> 00:03:35.144
Teraz narysujmy trójkąt

00:03:35.144 --> 00:03:38.261
o podstawie i wysokości długości 1.

00:03:38.261 --> 00:03:41.135
Jego przeciwprostokątna
jest równa pierwiastek z 3

00:03:41.135 --> 00:03:43.932
i też można ją odłożyć na osi.

00:03:43.932 --> 00:03:48.953
Ułamki zwykłe i dziesiętne
to tylko sposób zapisu.

00:03:48.953 --> 00:03:52.948
Pierwiastek z 2 to po prostu
przeciwprostokątna

00:03:52.948 --> 00:03:54.875
trójkąta o boku 1.

00:03:54.875 --> 00:04:00.828
Słynna niewymierna liczba pi
jest zawsze równa

00:04:00.828 --> 00:04:04.570
stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.

00:04:04.570 --> 00:04:07.565
Przybliżenia, jak 22/7

00:04:07.565 --> 00:04:13.707
czy 355/113, nigdy nie będą równe pi.

00:04:13.707 --> 00:04:16.218
Nie wiemy, co się stało z Hippazosem,

00:04:16.218 --> 00:04:20.665
ale jego odkrycie
zrewolucjonizowało matematykę.

00:04:20.665 --> 00:04:24.996
Więc nie przejmujcie się mitami
i badajcie to, co niemożliwe.