1
00:00:06,241 --> 00:00:08,913
Jak wielu innych bohaterów
z greckich mitów

2
00:00:08,913 --> 00:00:13,510
filozof Hippazos miał
zostać ukarany przez bogów.

3
00:00:13,510 --> 00:00:15,236
Ale za co?

4
00:00:15,236 --> 00:00:16,957
Zamordował gości?

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,134
Zakłócił święte obrządki?

6
00:00:19,134 --> 00:00:23,374
Nie. Przestępstwem Hippazosa
było matematyczne udowodnienie,

7
00:00:23,374 --> 00:00:26,443
że liczby niewymierne istnieją.

8
00:00:26,443 --> 00:00:30,311
Hippazos należał
do pitagorejskich matematyków,

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
którzy liczby darzyli boską czcią.

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,263
Ich motto "Wszystko jest liczbą"

11
00:00:35,263 --> 00:00:39,013
oznaczało, że wszechświat
miał być zbudowany z liczb,

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
więc wszystko od kosmologii i metafizyki,

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
po muzykę i etykę kierowało się
wiecznymi zasadami,

14
00:00:46,477 --> 00:00:49,985
które można było
wyrazić jako stosunki liczb.

15
00:00:49,985 --> 00:00:53,488
Zapisać tak można było każdą liczbę.

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5 to 5/1,

17
00:00:55,995 --> 00:00:58,705
0,5 to 1/2

18
00:00:58,705 --> 00:01:00,305
i tak dalej.

19
00:01:00,305 --> 00:01:07,717
Nawet taki nieskończony ułamek
dziesiętny można wyrazić jako 34/45.

20
00:01:07,717 --> 00:01:11,231
To liczby wymierne.

21
00:01:11,231 --> 00:01:15,551
Ale Hippazos znalazł liczbę,
która się z tego wyłamała

22
00:01:15,551 --> 00:01:18,825
i nie powinna była istnieć.

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
Wszystko zaczęło się od prostej figury,

24
00:01:21,395 --> 00:01:24,895
kwadratu o boku długości 1.

25
00:01:24,895 --> 00:01:26,898
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
długość przekątnej wynosi pierwiastek z 2,

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
ale mimo starań, Hippazos nie umiał jej
wyrazić jako stosunku liczb całkowitych.

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
Postanowił udowodnić, że to niemożliwe.

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,066
Zgodnie z doktryną pitagorejską przyjął,

30
00:01:44,066 --> 00:01:49,005
że pierwiastek z 2 można wyrazić
jako stosunek liczb całkowitych.

31
00:01:49,005 --> 00:01:52,881
Oznaczmy te liczby p i q.

32
00:01:52,881 --> 00:01:56,358
Zakładamy, że ułamek jest już
skrócony do najprostszej postaci,

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
czyli p i q nie mają wspólnych dzielników.

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
Żeby udowodnić, 
że pierwiastek z 2 jest niewymierny,

35
00:02:02,987 --> 00:02:07,824
Hippazos musiał wykazać,
że p/q nie istnieje.

36
00:02:07,824 --> 00:02:11,082
Obie strony równania pomnożył przez q

37
00:02:11,082 --> 00:02:12,761
i podniósł do kwadratu.

38
00:02:12,761 --> 00:02:15,090
Powstało takie równanie.

39
00:02:15,090 --> 00:02:19,274
Każda liczba pomnożona
przez 2 daje parzysty wynik,

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
więc p^2 musi być parzysta.

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
Gdyby p była nieparzysta,

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
to jej kwadrat też byłby nieparzysty,

43
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
więc p musi być parzysta.

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
Można ją zapisać jako 2a,
gdzie a to liczba całkowita.

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,224
Podstawmy to do równania i uprośćmy.

46
00:02:39,224 --> 00:02:43,248
Otrzymamy q^2 = 2a^2.

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
Mnożenie przez 2
zawsze daje parzysty wynik,

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,691
więc q^2 musi być parzysta.

49
00:02:49,691 --> 00:02:52,012
Parzysta będzie też q.

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
Zarówno p, jak i q są parzyste.

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,770
Ale to oznacza, że p i q
mają wspólny dzielnik, dwa,

52
00:02:57,770 --> 00:03:00,386
a to przeczy początkowemu założeniu.

53
00:03:00,386 --> 00:03:04,796
Hippazos zyskał pewność,
że nie ma takiego ułamka.

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
To dowód "nie wprost",

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
a według legendy

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,313
bogowie nie lubią,
kiedy traktuje się ich nie wprost.

57
00:03:11,313 --> 00:03:14,928
Choć nie można wyrazić
liczb niewymiernych

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
jako stosunku liczb całkowitych,

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,431
niektóre z nich można zaznaczyć na osi.

60
00:03:20,431 --> 00:03:22,149
Weźmy pierwiastek z dwóch.

61
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
Wystarczy trójkąt prostokątny
o przyprostokątnych długości 1.

62
00:03:27,844 --> 00:03:30,306
Przeciwprostokątna
ma długość pierwiastka z 2

63
00:03:30,306 --> 00:03:32,596
i można ją odłożyć na osi.

64
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
Teraz narysujmy trójkąt

65
00:03:35,144 --> 00:03:38,261
o podstawie i wysokości długości 1.

66
00:03:38,261 --> 00:03:41,135
Jego przeciwprostokątna
jest równa pierwiastek z 3

67
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
i też można ją odłożyć na osi.

68
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
Ułamki zwykłe i dziesiętne
to tylko sposób zapisu.

69
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
Pierwiastek z 2 to po prostu
przeciwprostokątna

70
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
trójkąta o boku 1.

71
00:03:54,875 --> 00:04:00,828
Słynna niewymierna liczba pi
jest zawsze równa

72
00:04:00,828 --> 00:04:04,570
stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.

73
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
Przybliżenia, jak 22/7

74
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
czy 355/113, nigdy nie będą równe pi.

75
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
Nie wiemy, co się stało z Hippazosem,

76
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
ale jego odkrycie
zrewolucjonizowało matematykę.

77
00:04:20,665 --> 00:04:24,996
Więc nie przejmujcie się mitami
i badajcie to, co niemożliwe.