Jak wielu innych bohaterów z greckich mitów
filozof Hippazos miał zostać ukarany przez bogów.
Ale za co?
Zamordował gości?
Zakłócił święte obrządki?
Nie. Przestępstwem Hippazosa było matematyczne udowodnienie,
że liczby niewymierne istnieją.
Hippazos należał do pitagorejskich matematyków,
którzy liczby darzyli boską czcią.
Ich motto "Wszystko jest liczbą"
oznaczało, że wszechświat miał być zbudowany z liczb,
więc wszystko od kosmologii i metafizyki,
po muzykę i etykę kierowało się wiecznymi zasadami,
które można było wyrazić jako stosunki liczb.
Zapisać tak można było każdą liczbę.
5 to 5/1,
0,5 to 1/2
i tak dalej.
Nawet taki nieskończony ułamek dziesiętny można wyrazić jako 34/45.
To liczby wymierne.
Ale Hippazos znalazł liczbę, która się z tego wyłamała
i nie powinna była istnieć.
Wszystko zaczęło się od prostej figury,
kwadratu o boku długości 1.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa
długość przekątnej wynosi pierwiastek z 2,
ale mimo starań, Hippazos nie umiał jej wyrazić jako stosunku liczb całkowitych.
Postanowił udowodnić, że to niemożliwe.
Zgodnie z doktryną pitagorejską przyjął,
że pierwiastek z 2 można wyrazić jako stosunek liczb całkowitych.
Oznaczmy te liczby p i q.
Zakładamy, że ułamek jest już skrócony do najprostszej postaci,
czyli p i q nie mają wspólnych dzielników.
Żeby udowodnić, że pierwiastek z 2 jest niewymierny,
Hippazos musiał wykazać, że p/q nie istnieje.
Obie strony równania pomnożył przez q
i podniósł do kwadratu.
Powstało takie równanie.
Każda liczba pomnożona przez 2 daje parzysty wynik,
więc p^2 musi być parzysta.
Gdyby p była nieparzysta,
to jej kwadrat też byłby nieparzysty,
więc p musi być parzysta.
Można ją zapisać jako 2a, gdzie a to liczba całkowita.
Podstawmy to do równania i uprośćmy.
Otrzymamy q^2 = 2a^2.
Mnożenie przez 2 zawsze daje parzysty wynik,
więc q^2 musi być parzysta.
Parzysta będzie też q.
Zarówno p, jak i q są parzyste.
Ale to oznacza, że p i q mają wspólny dzielnik, dwa,
a to przeczy początkowemu założeniu.
Hippazos zyskał pewność, że nie ma takiego ułamka.
To dowód "nie wprost",
a według legendy
bogowie nie lubią, kiedy traktuje się ich nie wprost.
Choć nie można wyrazić liczb niewymiernych
jako stosunku liczb całkowitych,
niektóre z nich można zaznaczyć na osi.
Weźmy pierwiastek z dwóch.
Wystarczy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1.
Przeciwprostokątna ma długość pierwiastka z 2
i można ją odłożyć na osi.
Teraz narysujmy trójkąt
o podstawie i wysokości długości 1.
Jego przeciwprostokątna jest równa pierwiastek z 3
i też można ją odłożyć na osi.
Ułamki zwykłe i dziesiętne to tylko sposób zapisu.
Pierwiastek z 2 to po prostu przeciwprostokątna
trójkąta o boku 1.
Słynna niewymierna liczba pi jest zawsze równa
stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.
Przybliżenia, jak 22/7
czy 355/113, nigdy nie będą równe pi.
Nie wiemy, co się stało z Hippazosem,
ale jego odkrycie zrewolucjonizowało matematykę.
Więc nie przejmujcie się mitami i badajcie to, co niemożliwe.