ההגיון שבמספרים לא רציונליים - גאנש פאי
-
0:07 - 0:09כמו גיבורים רבים מהמיתולוגיה היוונית
-
0:09 - 0:14מאמינים שהפיסולוף היווני היפסוס
נענש בעונש מוות על ידי האלים. -
0:14 - 0:16אבל מה היה הפשע שלו?
-
0:16 - 0:17האם הוא רצח,
-
0:17 - 0:19או הפריע לטקס קדוש?
-
0:19 - 0:24לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית:
-
0:24 - 0:27הגילוי של מספרים לא רציונלים.
-
0:27 - 0:30היפסוס היה שייך לקבוצה
שנקראה המתמטיקאים הפיתגוראים -
0:30 - 0:33שהיתה להם הערצה למספרים.
-
0:33 - 0:35הצהרתם: "הכל זה מספר"
-
0:35 - 0:39רמזה שהמספרים היו אבני היסוד של היקום
-
0:39 - 0:43וחלק מהאמונה הזו היתה שהכל,
החל מקוסמולוגיה ומטאפיזיקה -
0:43 - 0:46וכלה במוזיקה ומורל
נהגו על פי חוקים נצחיים -
0:46 - 0:50המתוארים כיחס בין מספרים.
-
0:50 - 0:53לפי זאת, כל מספר היה יכול להכתב
כיחס בין מספרים. -
0:53 - 0:565 כ- 5/1.
-
0:56 - 0:590.5 כ- 1/2
-
0:59 - 1:01וכך הלאה.
-
1:01 - 1:08אפילו מספרים עשרוניים אינסופיים מעין זה
יכולים להיות מובעים כ- 34/45. -
1:08 - 1:11כל אלה קרויים כיום מספרים רציונליים.
-
1:11 - 1:16אבל היפסוס מצא מספר אחד
שהפר את החוק ההרמוני הזה, -
1:16 - 1:19מספר שלא היה אמור להיות קיים.
-
1:19 - 1:21הבעיה התחילה עם צורה פשוטה,
-
1:21 - 1:25מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו הוא 1.
-
1:25 - 1:27לפי משפט פיתגורס,
-
1:27 - 1:30אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2,
-
1:30 - 1:36אבל ככל שניסה, היפסוס לא היה יכול
להביע אותו כיחס בין שני מספרים שלמים. -
1:36 - 1:40ובמקום לוותר, הוא החליט להוכיח
שזה בלתי אפשרי. -
1:40 - 1:44היפסוס פתח בהנחה
שהשקפת העולם הפיתגוראית הייתה נכונה - -
1:44 - 1:49שניתן להביע שורש ריבועי של 2
כיחס בין שני מספרים שלמים. -
1:49 - 1:53הוא סימן את שני המספרים ההיפותטיים האלה
כ-p ו-q. -
1:53 - 1:56בהנחה שהיחס צומצם לצורתו הפשוטה ביותר,
-
1:56 - 2:00ל-p ו-q לא יכולים להיות גורמים משותפים.
-
2:00 - 2:03כדי להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי,
-
2:03 - 2:08היפסוס רק היה צריך להוכיח
ש-p/q לא יכול להתקיים. -
2:08 - 2:11אז הוא הכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-q
-
2:11 - 2:13והעלה בריבוע את שני הצדדים.
-
2:13 - 2:15מה שנתן לו את המשוואה הזו.
-
2:15 - 2:19מכפלת כל מספר שהוא פי 2 נותנת מספר זוגי,
-
2:19 - 2:22אז p בריבוע חייב להיות זוגי.
-
2:22 - 2:25זה לא יכול להיות נכון אם p הוא אי זוגי
-
2:25 - 2:28בגלל שמכפלת מספר אי זוגי בעצמו
נותנת תמיד מספר אי זוגי, -
2:28 - 2:31אז גם p חייב להיות זוגי.
-
2:31 - 2:36לכן, p יכול להיות מובע
כ 2a כש-a הוא מספר שלם. -
2:36 - 2:39אם מכניסים זאת למשוואה ומפשטים
-
2:39 - 2:43נקבל q^2 = 2a^2
-
2:43 - 2:47שוב, 2 כפול כל מספר שהוא נותן מספר זוגי,
-
2:47 - 2:50אז q^2 חייב להיות זוגי,
-
2:50 - 2:52ו-q חייב להיות גם הוא זוגי,
-
2:52 - 2:54מה שהופך גם את p וגם את q לזוגיים.
-
2:54 - 2:58אבל אם זה נכון,
אז יש להם גורם משותף - 2, -
2:58 - 3:01מה שסותר את ההנחה הראשונית,
-
3:01 - 3:05וכך היפסוס קבע שיחס כזה לא קיים.
-
3:05 - 3:07זה נקרא הוכחה על ידי שלילה,
-
3:07 - 3:08ולפי האגדה,
-
3:08 - 3:11האלים לא קיבלו בברכה את סתירת דבריהם.
-
3:11 - 3:15מעניין, שלמרות שאיננו יכולים
להביע מספרים לא רציונליים -
3:15 - 3:17כיחס של שני מספרים שלמים,
-
3:17 - 3:21עדיין ניתן למקם כמה מהם במדוייק
על ציר המספרים. -
3:21 - 3:22קחו את שורש 2.
-
3:22 - 3:28כל שצריך לעשות זה ליצור משולש ישר זוית
עם שתי צלעות שאורכן יחידה אחת. -
3:28 - 3:33ליתר יש אורך של שורש 2,
וניתן למקמו לאורך הציר. -
3:33 - 3:35בהמשך ניתן ליצור משולש ישר זוית נוסף
-
3:35 - 3:38עם בסיס באורך כזה וגובה של יחידה אחת,
-
3:38 - 3:41והיתר שלו יהיה שווה לשורש שלוש,
-
3:41 - 3:44שניתן גם אותו למקם על הציר.
-
3:44 - 3:49מה שחשוב הוא שמספרים עשרוניים ושברים
הם רק דרכים להבעת מספרים. -
3:49 - 3:53שורש 2 הוא פשוט היתר של משולש ישר זוית
-
3:53 - 3:55שאורך שתיים מצלעותיו 1.
-
3:55 - 3:58בדומה, המספר הלא רציונלי המפורסם פיי
-
3:58 - 4:01תמיד שווה בדיוק למה שהוא מייצג,
-
4:01 - 4:05היחס בין היקף מעגל לקוטרו.
-
4:05 - 4:08קירובים כמו 22/7
-
4:08 - 4:14או 355/113,
אף פעם לא יהיו שווים בדיוק לפיי. -
4:14 - 4:16לעולם לא נדע מה באמת קרה להיפסוס,
-
4:16 - 4:21אבל מה שכן יודעים זה שהגילוי שלו
שינה לגמרי את פני המתמטיקה. -
4:21 - 4:25אז לא משנה מה היא האמונה הרווחת,
אל תפחדו לחקור את הבלתי אפשרי.
- Title:
- ההגיון שבמספרים לא רציונליים - גאנש פאי
- Speaker:
- גאנש פאי
- Description:
-
more » « less
צפו בשיעור המלא: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
כמו רבים מגיבורי המיתולוגיה היוונית, מאמינים שהפילוסוף היפסוס נענש בעונש מוות על ידי האלים. אבל מה היה הפשע שלו? האם הוא רצח או שיבש הליכי טקס קדוש? לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית שהוכיחה את הבלתי ניתן להוכחה עד אז. גאנש פאי מתאר את ההסטוריה והמתמטיקה שמאחורי מספרים לא רציונליים.
שיעור מאת גנש פאי, אנימציה של אנטון טרופימוב.
- Video Language:
- English
- Team:
closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:41
|
Ido Dekkers approved Hebrew subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
Retired user accepted Hebrew subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Retired user edited Hebrew subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Retired user edited Hebrew subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Ido Dekkers edited Hebrew subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai | |
|
|
Ido Dekkers edited Hebrew subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai |