1
00:00:06,951 --> 00:00:08,713
כמו גיבורים רבים מהמיתולוגיה היוונית

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
מאמינים שהפיסולוף היווני היפסוס
נענש בעונש מוות על ידי האלים.

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
אבל מה היה הפשע שלו?

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
האם הוא רצח,

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
או הפריע לטקס קדוש?

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית:

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
הגילוי של מספרים לא רציונלים.

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
היפסוס היה שייך לקבוצה
שנקראה המתמטיקאים הפיתגוראים

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
שהיתה להם הערצה למספרים.

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
הצהרתם: "הכל זה מספר"

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
רמזה שהמספרים היו אבני היסוד של היקום

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
וחלק מהאמונה הזו היתה שהכל,
החל מקוסמולוגיה ומטאפיזיקה

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
וכלה במוזיקה ומורל 
נהגו על פי חוקים נצחיים

14
00:00:46,477 --> 00:00:50,175
המתוארים כיחס בין מספרים.

15
00:00:50,175 --> 00:00:53,488
לפי זאת, כל מספר היה יכול להכתב 
כיחס בין מספרים.

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5 כ- 5/1.

17
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0.5 כ- 1/2

18
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
וכך הלאה.

19
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
אפילו מספרים עשרוניים אינסופיים מעין זה
יכולים להיות מובעים כ- 34/45.

20
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
כל אלה קרויים כיום מספרים רציונליים.

21
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
אבל היפסוס מצא מספר אחד
שהפר את החוק ההרמוני הזה,

22
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
מספר שלא היה אמור להיות קיים.

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
הבעיה התחילה עם צורה פשוטה,

24
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו הוא 1.

25
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
לפי משפט פיתגורס,

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2,

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
אבל ככל שניסה, היפסוס לא היה יכול
להביע אותו כיחס בין שני מספרים שלמים.

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
ובמקום לוותר, הוא החליט להוכיח
שזה בלתי אפשרי.

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
היפסוס פתח בהנחה
שהשקפת העולם הפיתגוראית הייתה נכונה -

30
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
שניתן להביע שורש ריבועי של 2
כיחס בין שני מספרים שלמים.

31
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
הוא סימן את שני המספרים ההיפותטיים האלה
כ-p ו-q.

32
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
בהנחה שהיחס צומצם לצורתו הפשוטה ביותר,

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
ל-p ו-q לא יכולים להיות גורמים משותפים.

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
כדי להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי,

35
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
היפסוס רק היה צריך להוכיח
ש-p/q לא יכול להתקיים.

36
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
אז הוא הכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-q

37
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
והעלה בריבוע את שני הצדדים.

38
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
מה שנתן לו את המשוואה הזו.

39
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
מכפלת כל מספר שהוא פי 2 נותנת מספר זוגי,

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
אז p בריבוע חייב להיות זוגי.

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
זה לא יכול להיות נכון אם p הוא אי זוגי

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
בגלל שמכפלת מספר אי זוגי בעצמו 
נותנת תמיד מספר אי זוגי,

43
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
אז גם p חייב להיות זוגי.

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
לכן, p יכול להיות מובע
כ 2a כש-a הוא מספר שלם.

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
אם מכניסים זאת למשוואה ומפשטים

46
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
נקבל q^2 = 2a^2

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
שוב, 2 כפול כל מספר שהוא נותן מספר זוגי,

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
אז q^2 חייב להיות זוגי,

49
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
ו-q חייב להיות גם הוא זוגי,

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
מה שהופך גם את p וגם את q לזוגיים.

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
אבל אם זה נכון,
אז יש להם גורם משותף - 2,

52
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
מה שסותר את ההנחה הראשונית,

53
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
וכך היפסוס קבע שיחס כזה לא קיים.

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
זה נקרא הוכחה על ידי שלילה,

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
ולפי האגדה,

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
האלים לא קיבלו בברכה את סתירת דבריהם.

57
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
מעניין, שלמרות שאיננו יכולים
להביע מספרים לא רציונליים

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
כיחס של שני מספרים שלמים,

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
עדיין ניתן למקם כמה מהם במדוייק 
על ציר המספרים.

60
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
קחו את שורש 2.

61
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
כל שצריך לעשות זה ליצור משולש ישר זוית 
עם שתי צלעות שאורכן יחידה אחת.

62
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
ליתר יש אורך של שורש 2,
וניתן למקמו לאורך הציר.

63
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
בהמשך ניתן ליצור משולש ישר זוית נוסף

64
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
עם בסיס באורך כזה וגובה של יחידה אחת,

65
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
והיתר שלו יהיה שווה לשורש שלוש,

66
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
שניתן גם אותו למקם על הציר.

67
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
מה שחשוב הוא שמספרים עשרוניים ושברים
הם רק דרכים להבעת מספרים.

68
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
שורש 2 הוא פשוט היתר של משולש ישר זוית

69
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
שאורך שתיים מצלעותיו 1.

70
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
בדומה, המספר הלא רציונלי המפורסם פיי

71
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
תמיד שווה בדיוק למה שהוא מייצג,

72
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
היחס בין היקף מעגל לקוטרו.

73
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
קירובים כמו 22/7

74
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
או 355/113,
אף פעם לא יהיו שווים בדיוק לפיי.

75
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
לעולם לא נדע מה באמת קרה להיפסוס,

76
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
אבל מה שכן יודעים זה שהגילוי שלו
שינה לגמרי את פני המתמטיקה.

77
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
אז לא משנה מה היא האמונה הרווחת,
אל תפחדו לחקור את הבלתי אפשרי.