כמו גיבורים רבים מהמיתולוגיה היוונית
מאמינים שהפיסולוף היווני היפסוס נענש בעונש מוות על ידי האלים.
אבל מה היה הפשע שלו?
האם הוא רצח,
או הפריע לטקס קדוש?
לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית:
הגילוי של מספרים לא רציונלים.
היפסוס היה שייך לקבוצה שנקראה המתמטיקאים הפיתגוראים
שהיתה להם הערצה למספרים.
הצהרתם: "הכל זה מספר"
רמזה שהמספרים היו אבני היסוד של היקום
וחלק מהאמונה הזו היתה שהכל, החל מקוסמולוגיה ומטאפיזיקה
וכלה במוזיקה ומורל נהגו על פי חוקים נצחיים
המתוארים כיחס בין מספרים.
לפי זאת, כל מספר היה יכול להכתב כיחס בין מספרים.
5 כ- 5/1.
0.5 כ- 1/2
וכך הלאה.
אפילו מספרים עשרוניים אינסופיים מעין זה יכולים להיות מובעים כ- 34/45.
כל אלה קרויים כיום מספרים רציונליים.
אבל היפסוס מצא מספר אחד שהפר את החוק ההרמוני הזה,
מספר שלא היה אמור להיות קיים.
הבעיה התחילה עם צורה פשוטה,
מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו הוא 1.
לפי משפט פיתגורס,
אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2,
אבל ככל שניסה, היפסוס לא היה יכול להביע אותו כיחס בין שני מספרים שלמים.
ובמקום לוותר, הוא החליט להוכיח שזה בלתי אפשרי.
היפסוס פתח בהנחה שהשקפת העולם הפיתגוראית הייתה נכונה -
שניתן להביע שורש ריבועי של 2 כיחס בין שני מספרים שלמים.
הוא סימן את שני המספרים ההיפותטיים האלה כ-p ו-q.
בהנחה שהיחס צומצם לצורתו הפשוטה ביותר,
ל-p ו-q לא יכולים להיות גורמים משותפים.
כדי להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי,
היפסוס רק היה צריך להוכיח ש-p/q לא יכול להתקיים.
אז הוא הכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-q
והעלה בריבוע את שני הצדדים.
מה שנתן לו את המשוואה הזו.
מכפלת כל מספר שהוא פי 2 נותנת מספר זוגי,
אז p בריבוע חייב להיות זוגי.
זה לא יכול להיות נכון אם p הוא אי זוגי
בגלל שמכפלת מספר אי זוגי בעצמו נותנת תמיד מספר אי זוגי,
אז גם p חייב להיות זוגי.
לכן, p יכול להיות מובע כ 2a כש-a הוא מספר שלם.
אם מכניסים זאת למשוואה ומפשטים
נקבל q^2 = 2a^2
שוב, 2 כפול כל מספר שהוא נותן מספר זוגי,
אז q^2 חייב להיות זוגי,
ו-q חייב להיות גם הוא זוגי,
מה שהופך גם את p וגם את q לזוגיים.
אבל אם זה נכון, אז יש להם גורם משותף - 2,
מה שסותר את ההנחה הראשונית,
וכך היפסוס קבע שיחס כזה לא קיים.
זה נקרא הוכחה על ידי שלילה,
ולפי האגדה,
האלים לא קיבלו בברכה את סתירת דבריהם.
מעניין, שלמרות שאיננו יכולים להביע מספרים לא רציונליים
כיחס של שני מספרים שלמים,
עדיין ניתן למקם כמה מהם במדוייק על ציר המספרים.
קחו את שורש 2.
כל שצריך לעשות זה ליצור משולש ישר זוית עם שתי צלעות שאורכן יחידה אחת.
ליתר יש אורך של שורש 2, וניתן למקמו לאורך הציר.
בהמשך ניתן ליצור משולש ישר זוית נוסף
עם בסיס באורך כזה וגובה של יחידה אחת,
והיתר שלו יהיה שווה לשורש שלוש,
שניתן גם אותו למקם על הציר.
מה שחשוב הוא שמספרים עשרוניים ושברים הם רק דרכים להבעת מספרים.
שורש 2 הוא פשוט היתר של משולש ישר זוית
שאורך שתיים מצלעותיו 1.
בדומה, המספר הלא רציונלי המפורסם פיי
תמיד שווה בדיוק למה שהוא מייצג,
היחס בין היקף מעגל לקוטרו.
קירובים כמו 22/7
או 355/113, אף פעם לא יהיו שווים בדיוק לפיי.
לעולם לא נדע מה באמת קרה להיפסוס,
אבל מה שכן יודעים זה שהגילוי שלו שינה לגמרי את פני המתמטיקה.
אז לא משנה מה היא האמונה הרווחת, אל תפחדו לחקור את הבלתי אפשרי.