WEBVTT

00:00:06.951 --> 00:00:08.713
כמו גיבורים רבים מהמיתולוגיה היוונית

00:00:08.713 --> 00:00:13.930
מאמינים שהפיסולוף היווני היפסוס
נענש בעונש מוות על ידי האלים.

00:00:13.930 --> 00:00:15.606
אבל מה היה הפשע שלו?

00:00:15.606 --> 00:00:16.957
האם הוא רצח,

00:00:16.957 --> 00:00:19.474
או הפריע לטקס קדוש?

00:00:19.474 --> 00:00:23.524
לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית:

00:00:23.524 --> 00:00:26.583
הגילוי של מספרים לא רציונלים.

00:00:26.583 --> 00:00:30.311
היפסוס היה שייך לקבוצה
שנקראה המתמטיקאים הפיתגוראים

00:00:30.311 --> 00:00:32.922
שהיתה להם הערצה למספרים.

00:00:32.922 --> 00:00:35.463
הצהרתם: "הכל זה מספר"

00:00:35.463 --> 00:00:39.013
רמזה שהמספרים היו אבני היסוד של היקום

00:00:39.013 --> 00:00:43.317
וחלק מהאמונה הזו היתה שהכל,
החל מקוסמולוגיה ומטאפיזיקה

00:00:43.317 --> 00:00:46.477
וכלה במוזיקה ומורל 
נהגו על פי חוקים נצחיים

00:00:46.477 --> 00:00:50.175
המתוארים כיחס בין מספרים.

00:00:50.175 --> 00:00:53.488
לפי זאת, כל מספר היה יכול להכתב 
כיחס בין מספרים.

00:00:53.488 --> 00:00:55.995
5 כ- 5/1.

00:00:55.995 --> 00:00:59.085
0.5 כ- 1/2

00:00:59.085 --> 00:01:00.505
וכך הלאה.

00:01:00.505 --> 00:01:07.907
אפילו מספרים עשרוניים אינסופיים מעין זה
יכולים להיות מובעים כ- 34/45.

00:01:07.907 --> 00:01:11.421
כל אלה קרויים כיום מספרים רציונליים.

00:01:11.421 --> 00:01:16.051
אבל היפסוס מצא מספר אחד
שהפר את החוק ההרמוני הזה,

00:01:16.051 --> 00:01:18.825
מספר שלא היה אמור להיות קיים.

00:01:18.825 --> 00:01:21.395
הבעיה התחילה עם צורה פשוטה,

00:01:21.395 --> 00:01:25.105
מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו הוא 1.

00:01:25.105 --> 00:01:26.898
לפי משפט פיתגורס,

00:01:26.898 --> 00:01:30.183
אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2,

00:01:30.183 --> 00:01:35.528
אבל ככל שניסה, היפסוס לא היה יכול
להביע אותו כיחס בין שני מספרים שלמים.

00:01:35.528 --> 00:01:39.839
ובמקום לוותר, הוא החליט להוכיח
שזה בלתי אפשרי.

00:01:39.839 --> 00:01:44.196
היפסוס פתח בהנחה
שהשקפת העולם הפיתגוראית הייתה נכונה -

00:01:44.196 --> 00:01:49.145
שניתן להביע שורש ריבועי של 2
כיחס בין שני מספרים שלמים.

00:01:49.145 --> 00:01:52.981
הוא סימן את שני המספרים ההיפותטיים האלה
כ-p ו-q.

00:01:52.981 --> 00:01:56.358
בהנחה שהיחס צומצם לצורתו הפשוטה ביותר,

00:01:56.358 --> 00:01:59.957
ל-p ו-q לא יכולים להיות גורמים משותפים.

00:01:59.957 --> 00:02:02.987
כדי להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי,

00:02:02.987 --> 00:02:08.074
היפסוס רק היה צריך להוכיח
ש-p/q לא יכול להתקיים.

00:02:08.074 --> 00:02:11.422
אז הוא הכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-q

00:02:11.422 --> 00:02:13.291
והעלה בריבוע את שני הצדדים.

00:02:13.291 --> 00:02:15.320
מה שנתן לו את המשוואה הזו.

00:02:15.320 --> 00:02:19.274
מכפלת כל מספר שהוא פי 2 נותנת מספר זוגי,

00:02:19.274 --> 00:02:22.332
אז p בריבוע חייב להיות זוגי.

00:02:22.332 --> 00:02:24.715
זה לא יכול להיות נכון אם p הוא אי זוגי

00:02:24.715 --> 00:02:28.154
בגלל שמכפלת מספר אי זוגי בעצמו 
נותנת תמיד מספר אי זוגי,

00:02:28.154 --> 00:02:30.702
אז גם p חייב להיות זוגי.

00:02:30.702 --> 00:02:36.176
לכן, p יכול להיות מובע
כ 2a כש-a הוא מספר שלם.

00:02:36.176 --> 00:02:39.074
אם מכניסים זאת למשוואה ומפשטים

00:02:39.074 --> 00:02:43.248
נקבל q^2 = 2a^2

00:02:43.248 --> 00:02:47.180
שוב, 2 כפול כל מספר שהוא נותן מספר זוגי,

00:02:47.180 --> 00:02:49.921
אז q^2 חייב להיות זוגי,

00:02:49.921 --> 00:02:52.012
ו-q חייב להיות גם הוא זוגי,

00:02:52.012 --> 00:02:54.393
מה שהופך גם את p וגם את q לזוגיים.

00:02:54.393 --> 00:02:57.710
אבל אם זה נכון,
אז יש להם גורם משותף - 2,

00:02:57.710 --> 00:03:00.576
מה שסותר את ההנחה הראשונית,

00:03:00.576 --> 00:03:04.796
וכך היפסוס קבע שיחס כזה לא קיים.

00:03:04.796 --> 00:03:06.756
זה נקרא הוכחה על ידי שלילה,

00:03:06.756 --> 00:03:08.234
ולפי האגדה,

00:03:08.234 --> 00:03:11.453
האלים לא קיבלו בברכה את סתירת דבריהם.

00:03:11.453 --> 00:03:14.928
מעניין, שלמרות שאיננו יכולים
להביע מספרים לא רציונליים

00:03:14.928 --> 00:03:16.802
כיחס של שני מספרים שלמים,

00:03:16.802 --> 00:03:20.891
עדיין ניתן למקם כמה מהם במדוייק 
על ציר המספרים.

00:03:20.891 --> 00:03:22.149
קחו את שורש 2.

00:03:22.149 --> 00:03:27.844
כל שצריך לעשות זה ליצור משולש ישר זוית 
עם שתי צלעות שאורכן יחידה אחת.

00:03:27.844 --> 00:03:32.596
ליתר יש אורך של שורש 2,
וניתן למקמו לאורך הציר.

00:03:32.596 --> 00:03:35.144
בהמשך ניתן ליצור משולש ישר זוית נוסף

00:03:35.144 --> 00:03:38.491
עם בסיס באורך כזה וגובה של יחידה אחת,

00:03:38.491 --> 00:03:41.135
והיתר שלו יהיה שווה לשורש שלוש,

00:03:41.135 --> 00:03:43.932
שניתן גם אותו למקם על הציר.

00:03:43.932 --> 00:03:48.953
מה שחשוב הוא שמספרים עשרוניים ושברים
הם רק דרכים להבעת מספרים.

00:03:48.953 --> 00:03:52.948
שורש 2 הוא פשוט היתר של משולש ישר זוית

00:03:52.948 --> 00:03:54.875
שאורך שתיים מצלעותיו 1.

00:03:54.875 --> 00:03:58.259
בדומה, המספר הלא רציונלי המפורסם פיי

00:03:58.259 --> 00:04:01.128
תמיד שווה בדיוק למה שהוא מייצג,

00:04:01.128 --> 00:04:04.570
היחס בין היקף מעגל לקוטרו.

00:04:04.570 --> 00:04:07.565
קירובים כמו 22/7

00:04:07.565 --> 00:04:13.707
או 355/113,
אף פעם לא יהיו שווים בדיוק לפיי.

00:04:13.707 --> 00:04:16.218
לעולם לא נדע מה באמת קרה להיפסוס,

00:04:16.218 --> 00:04:20.665
אבל מה שכן יודעים זה שהגילוי שלו
שינה לגמרי את פני המתמטיקה.

00:04:20.665 --> 00:04:24.936
אז לא משנה מה היא האמונה הרווחת,
אל תפחדו לחקור את הבלתי אפשרי.