0:00:06.951,0:00:08.713
כמו גיבורים רבים מהמיתולוגיה היוונית

0:00:08.713,0:00:13.930
מאמינים שהפיסולוף היווני היפסוס[br]נענש בעונש מוות על ידי האלים.

0:00:13.930,0:00:15.606
אבל מה היה הפשע שלו?

0:00:15.606,0:00:16.957
האם הוא רצח,

0:00:16.957,0:00:19.474
או הפריע לטקס קדוש?

0:00:19.474,0:00:23.524
לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית:

0:00:23.524,0:00:26.583
הגילוי של מספרים לא רציונלים.

0:00:26.583,0:00:30.311
היפסוס היה שייך לקבוצה[br]שנקראה המתמטיקאים הפיתגוראים

0:00:30.311,0:00:32.922
שהיתה להם הערצה למספרים.

0:00:32.922,0:00:35.463
הצהרתם: "הכל זה מספר"

0:00:35.463,0:00:39.013
רמזה שהמספרים היו אבני היסוד של היקום

0:00:39.013,0:00:43.317
וחלק מהאמונה הזו היתה שהכל,[br]החל מקוסמולוגיה ומטאפיזיקה

0:00:43.317,0:00:46.477
וכלה במוזיקה ומורל [br]נהגו על פי חוקים נצחיים

0:00:46.477,0:00:50.175
המתוארים כיחס בין מספרים.

0:00:50.175,0:00:53.488
לפי זאת, כל מספר היה יכול להכתב [br]כיחס בין מספרים.

0:00:53.488,0:00:55.995
5 כ- 5/1.

0:00:55.995,0:00:59.085
0.5 כ- 1/2

0:00:59.085,0:01:00.505
וכך הלאה.

0:01:00.505,0:01:07.907
אפילו מספרים עשרוניים אינסופיים מעין זה[br]יכולים להיות מובעים כ- 34/45.

0:01:07.907,0:01:11.421
כל אלה קרויים כיום מספרים רציונליים.

0:01:11.421,0:01:16.051
אבל היפסוס מצא מספר אחד[br]שהפר את החוק ההרמוני הזה,

0:01:16.051,0:01:18.825
מספר שלא היה אמור להיות קיים.

0:01:18.825,0:01:21.395
הבעיה התחילה עם צורה פשוטה,

0:01:21.395,0:01:25.105
מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו הוא 1.

0:01:25.105,0:01:26.898
לפי משפט פיתגורס,

0:01:26.898,0:01:30.183
אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2,

0:01:30.183,0:01:35.528
אבל ככל שניסה, היפסוס לא היה יכול[br]להביע אותו כיחס בין שני מספרים שלמים.

0:01:35.528,0:01:39.839
ובמקום לוותר, הוא החליט להוכיח[br]שזה בלתי אפשרי.

0:01:39.839,0:01:44.196
היפסוס פתח בהנחה[br]שהשקפת העולם הפיתגוראית הייתה נכונה -

0:01:44.196,0:01:49.145
שניתן להביע שורש ריבועי של 2[br]כיחס בין שני מספרים שלמים.

0:01:49.145,0:01:52.981
הוא סימן את שני המספרים ההיפותטיים האלה[br]כ-p ו-q.

0:01:52.981,0:01:56.358
בהנחה שהיחס צומצם לצורתו הפשוטה ביותר,

0:01:56.358,0:01:59.957
ל-p ו-q לא יכולים להיות גורמים משותפים.

0:01:59.957,0:02:02.987
כדי להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי,

0:02:02.987,0:02:08.074
היפסוס רק היה צריך להוכיח[br]ש-p/q לא יכול להתקיים.

0:02:08.074,0:02:11.422
אז הוא הכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-q

0:02:11.422,0:02:13.291
והעלה בריבוע את שני הצדדים.

0:02:13.291,0:02:15.320
מה שנתן לו את המשוואה הזו.

0:02:15.320,0:02:19.274
מכפלת כל מספר שהוא פי 2 נותנת מספר זוגי,

0:02:19.274,0:02:22.332
אז p בריבוע חייב להיות זוגי.

0:02:22.332,0:02:24.715
זה לא יכול להיות נכון אם p הוא אי זוגי

0:02:24.715,0:02:28.154
בגלל שמכפלת מספר אי זוגי בעצמו [br]נותנת תמיד מספר אי זוגי,

0:02:28.154,0:02:30.702
אז גם p חייב להיות זוגי.

0:02:30.702,0:02:36.176
לכן, p יכול להיות מובע[br]כ 2a כש-a הוא מספר שלם.

0:02:36.176,0:02:39.074
אם מכניסים זאת למשוואה ומפשטים

0:02:39.074,0:02:43.248
נקבל q^2 = 2a^2

0:02:43.248,0:02:47.180
שוב, 2 כפול כל מספר שהוא נותן מספר זוגי,

0:02:47.180,0:02:49.921
אז q^2 חייב להיות זוגי,

0:02:49.921,0:02:52.012
ו-q חייב להיות גם הוא זוגי,

0:02:52.012,0:02:54.393
מה שהופך גם את p וגם את q לזוגיים.

0:02:54.393,0:02:57.710
אבל אם זה נכון,[br]אז יש להם גורם משותף - 2,

0:02:57.710,0:03:00.576
מה שסותר את ההנחה הראשונית,

0:03:00.576,0:03:04.796
וכך היפסוס קבע שיחס כזה לא קיים.

0:03:04.796,0:03:06.756
זה נקרא הוכחה על ידי שלילה,

0:03:06.756,0:03:08.234
ולפי האגדה,

0:03:08.234,0:03:11.453
האלים לא קיבלו בברכה את סתירת דבריהם.

0:03:11.453,0:03:14.928
מעניין, שלמרות שאיננו יכולים[br]להביע מספרים לא רציונליים

0:03:14.928,0:03:16.802
כיחס של שני מספרים שלמים,

0:03:16.802,0:03:20.891
עדיין ניתן למקם כמה מהם במדוייק [br]על ציר המספרים.

0:03:20.891,0:03:22.149
קחו את שורש 2.

0:03:22.149,0:03:27.844
כל שצריך לעשות זה ליצור משולש ישר זוית [br]עם שתי צלעות שאורכן יחידה אחת.

0:03:27.844,0:03:32.596
ליתר יש אורך של שורש 2,[br]וניתן למקמו לאורך הציר.

0:03:32.596,0:03:35.144
בהמשך ניתן ליצור משולש ישר זוית נוסף

0:03:35.144,0:03:38.491
עם בסיס באורך כזה וגובה של יחידה אחת,

0:03:38.491,0:03:41.135
והיתר שלו יהיה שווה לשורש שלוש,

0:03:41.135,0:03:43.932
שניתן גם אותו למקם על הציר.

0:03:43.932,0:03:48.953
מה שחשוב הוא שמספרים עשרוניים ושברים[br]הם רק דרכים להבעת מספרים.

0:03:48.953,0:03:52.948
שורש 2 הוא פשוט היתר של משולש ישר זוית

0:03:52.948,0:03:54.875
שאורך שתיים מצלעותיו 1.

0:03:54.875,0:03:58.259
בדומה, המספר הלא רציונלי המפורסם פיי

0:03:58.259,0:04:01.128
תמיד שווה בדיוק למה שהוא מייצג,

0:04:01.128,0:04:04.570
היחס בין היקף מעגל לקוטרו.

0:04:04.570,0:04:07.565
קירובים כמו 22/7

0:04:07.565,0:04:13.707
או 355/113,[br]אף פעם לא יהיו שווים בדיוק לפיי.

0:04:13.707,0:04:16.218
לעולם לא נדע מה באמת קרה להיפסוס,

0:04:16.218,0:04:20.665
אבל מה שכן יודעים זה שהגילוי שלו[br]שינה לגמרי את פני המתמטיקה.

0:04:20.665,0:04:24.936
אז לא משנה מה היא האמונה הרווחת,[br]אל תפחדו לחקור את הבלתי אפשרי.