Exact Equations Intuition 2 (proofy)
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0:01 - 0:04上節課
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0:04 - 0:05我給大家介紹了
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0:05 - 0:06偏導下的連鎖律
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0:06 - 0:10我們說 如果有一個函數Ψ
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0:10 - 0:14這是希臘字母Ψ 它是x、y的函數
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0:14 - 0:17如果我要求它的偏導數
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0:17 - 0:19關於。。。 不對 我要求導數
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0:19 - 0:23不是偏導 求它關於x的導數
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0:23 - 0:30那就是?Ψ
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0:30 - 0:33除以?x 加上?Ψ
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0:33 - 0:35除以?y 乘以dy/dx
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0:35 - 0:38上一個影片中 我沒有證明
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0:38 - 0:40但我給了大家一種直觀
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0:40 - 0:41所以相信我吧
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0:41 - 0:41但可能某天
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0:41 - 0:43我會嚴格地證明它
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0:43 - 0:45不過如果有興趣的話
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0:45 - 0:46也能在網絡上找到
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0:46 - 0:50偏導下的連鎖律的證明
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0:50 - 0:53放一邊吧
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0:53 - 0:54下面來看看偏導的另一個性質
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0:56 - 0:56這之後 我們就能直觀地感受
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0:56 - 0:57恰當方程了
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0:57 - 0:59因爲你會發現
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0:59 - 1:02這些足夠讓我們去解恰當方程了
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1:02 - 1:05但直覺這東西吧
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1:05 - 1:06好吧 我不想說它有點難
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1:06 - 1:07因爲直覺有了就是有了
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1:07 - 1:11所以 如果有一個函數Ψ
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1:11 - 1:15我要求Ψ的偏導數
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1:15 - 1:17首先是關於x的偏導
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1:17 - 1:18寫下Ψ
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1:18 - 1:20我不用每次都寫上x、y
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1:20 - 1:23然後我求關於y的
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1:23 - 1:25偏導數
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1:29 - 1:33正如記號 可以寫成。。。
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1:33 - 1:33多多少少可以看做
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1:33 - 1:35把操作符(求導符號)相乘
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1:35 - 1:36可以寫成這樣
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1:36 - 1:42上面是?2Ψ
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1:42 - 1:48下面是?y 或者?x
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1:48 - 1:50也可以寫成。。。
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1:50 - 1:53這是我最喜歡的符號
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1:53 - 1:54因爲它沒有多余的符號
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1:54 - 1:55你可以說
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1:55 - 1:56求偏導 先是x
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2:00 - 2:01這意味著 對Ψ求關於x的偏導
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2:01 - 2:04然後求關於y的偏導
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2:04 - 2:06這是其中一種情況
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2:06 - 2:08先求關於x 再求關於y的偏導
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2:08 - 2:09是怎樣做的呢?
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2:09 - 2:13先是關於x
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2:13 - 2:14把y固定 求關於x的偏導
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2:14 - 2:15關於x的 把y忽略
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2:15 - 2:17然後把x固定
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2:17 - 2:19求關於y的偏導
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2:19 - 2:21那交換x和y的順序
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2:21 - 2:22會發生什麽呢?
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2:22 - 2:25會發生的是。。。
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2:25 - 2:30用另一種顏色 寫下Ψ
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2:30 - 2:33然後求偏導
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2:33 - 2:34先是關於y
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2:34 - 2:36然後是關於x 這是什麽呢?
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2:37 - 2:38這只是記號罷了
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2:38 - 2:41大家應該適應了吧
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2:41 - 2:45這是?x和?y
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2:45 - 2:46這是算符
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2:46 - 2:49這裡可能會引起誤會
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2:49 - 2:50這兩個記號
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2:50 - 2:51盡管是一樣的
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2:51 - 2:53但順序變了
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2:53 - 2:54這不過是因爲
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2:54 - 2:55看待事物的方法不一樣
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2:55 - 2:58這是說 先求關於x的偏導 再y
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2:58 - 3:00這看上更像算符
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3:00 - 3:03先求關於x的偏導 然後求關於y的
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3:03 - 3:05就像是算符乘積那樣
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3:05 - 3:09無論怎樣 這也可以寫成
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3:09 - 3:11先是y 然後才是x
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3:11 - 3:13不好意思 關於y
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3:13 - 3:15然後才是關於x的偏導
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3:15 - 3:18現在 我要告訴大家
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3:18 - 3:21如果求偏之後函數都是連續的
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3:21 - 3:22我們處理的
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3:22 - 3:25大部分函數的定義域都是平凡的
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3:25 - 3:27也就是 是連續的 沒有洞的
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3:27 - 3:29函數的定義中也沒有詭異的地方
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3:29 - 3:30它們通常都是連續的
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3:30 - 3:33特別地 在第一年的微積分或微分課程中
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3:34 - 3:35我們處理的
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3:35 - 3:36大部分是連續函數
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3:36 - 3:38定義域是好的
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3:38 - 3:40如果這兩個函數是連續的
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3:40 - 3:45求偏之後還都是連續的
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3:45 - 3:47那它們就是相等的
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3:47 - 3:55Ψxy等於Ψyx
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3:55 - 4:01現在 我們要應用它了
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4:01 - 4:05求偏下的連鎖律
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4:05 - 4:07應用它去解
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4:07 - 4:09一種類型的微分方程
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4:09 - 4:13一階的微分方程
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4:13 - 4:14叫做“恰當方程”
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4:14 - 4:18恰當方程是怎樣的呢?
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4:18 - 4:22它們是這樣的
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4:22 - 4:24選擇顏色真不容易啊
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4:24 - 4:26這是我的微分方程
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4:26 - 4:30關於x和y的函數
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4:30 - 4:32不確定是什麽
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4:32 - 4:33它可能是x2cosy 或者其他
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4:33 - 4:35不確定是什麽 可以是任意x、y的函數
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4:35 - 4:40加上另一個x、y的函數
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4:40 - 4:45稱之爲N 乘以dy/dx之後等於0
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4:45 - 4:46這是。。。
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4:46 - 4:48我不確定是否爲恰當方程
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4:48 - 4:51不過你看到這樣的形式
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4:51 - 4:53首先要做的是。。。
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4:53 - 4:54首先考慮它是否可隔離變量
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4:54 - 4:56你們應該做一些代數練習
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4:56 - 4:58看看變量是否可隔離
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4:58 - 4:59因爲那可以直接解出來
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4:59 - 5:00如果不可隔離
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5:00 - 5:02但還是這樣的形式
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5:02 - 5:04你就會問“喔 這是恰當方程麽?”
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5:04 - 5:06什麽是恰當方程?
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5:06 - 5:07好吧 首先要看
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5:07 - 5:12這裡的形式
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5:12 - 5:14看上去和這裡很相似
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5:14 - 5:18如果M是?Ψ/?x呢?
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5:18 - 5:25Ψx是否就是M呢?
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5:25 - 5:27這是Ψx嗎?
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5:27 - 5:30又如果這是Ψy呢?
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5:30 - 5:32也就是Ψy=N
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5:32 - 5:33如果。。。
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5:33 - 5:35我只是想說 我們並不確定
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5:35 - 5:38如果你偶然在某處看到這個式子
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5:38 - 5:40你不會知道這是否
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5:40 - 5:42是某函數關於x的偏導數
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5:42 - 5:43或者這也是一個偏導數
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5:43 - 5:44某函數關於y的偏導數
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5:44 - 5:46但我們說 如果是呢?
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5:46 - 5:47如果確實是
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5:47 - 5:50我們就可以重新寫成 Ψ
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5:50 - 5:53關於x的偏導 加上Ψ
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5:53 - 5:59關於y的偏導 乘以dy/dx 等於0
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5:59 - 6:02這裡左邊的式子
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6:02 - 6:05和這裡是一樣的 對吧?
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6:05 - 6:09這是Ψ關於x的導數
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6:09 - 6:11用到了偏導下的連鎖律
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6:11 - 6:13所以可以重寫了
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6:13 - 6:17重寫成 這是Ψ關於x的
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6:17 - 6:20導數
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6:20 - 6:23Ψ是關於x、y的函數 等於0
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6:23 - 6:28看這個微分方程
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6:28 - 6:29寫出這樣的形式
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6:29 - 6:31你會說 哎 還是不能隔離變量吧
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6:31 - 6:32但這是一個恰當方程
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6:32 - 6:36顯然
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6:36 - 6:37如果它出現在
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6:37 - 6:38最近的考試中
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6:38 - 6:39那它很可能是一個恰當方程
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6:39 - 6:41但看到這個形式 你會說
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6:41 - 6:42它可能是一個恰當方程
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6:42 - 6:45如果它是一個恰當方程。。。
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6:45 - 6:45告訴大家
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6:45 - 6:48怎樣最快地作出判斷
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6:48 - 6:50然後就可以寫成
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6:50 - 6:53某函數Ψ的導數了
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6:53 - 6:55這是Ψ關於x的偏導
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6:55 - 6:58這是Ψ關於y的偏導
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6:58 - 7:00如果可以寫成這樣
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7:00 - 7:01就可以對兩邊求導。。。
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7:01 - 7:07不對 應該是兩邊取不定積分
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7:07 - 7:08就能得到Ψ(x,y)=C
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7:08 - 7:10是方程的一個解
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7:10 - 7:11有兩件事
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7:11 - 7:13是我們應該關心的
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7:13 - 7:16之後你可能會說 好的 Sal
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7:16 - 7:20考慮過了Ψ 、偏導數 所有的這些
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7:20 - 7:22首先 怎樣知道這是否是一個恰當方程?
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7:22 - 7:25然後 如果是恰當方程
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7:25 - 7:27也就是存在那樣的一個Ψ
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7:27 - 7:28然後怎樣解出Ψ呢?
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7:28 - 7:32所以 判斷是否恰當方程的辦法
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7:32 - 7:35就是利用這個信息
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7:35 - 7:38我們知道 Ψ和它的偏導們
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7:38 - 7:40在定義域上都是連續的
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7:40 - 7:42然後關於x和y
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7:42 - 7:46求偏導數
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7:46 - 7:47在兩種求偏順序下 它們還是一樣的
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7:47 - 7:49所以我們說 這是偏導
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7:49 - 7:50關於x的 對吧?
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7:53 - 7:56這是關於y的偏導
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7:56 - 8:00如果這是恰當方程
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8:00 - 8:01如果它是恰當的
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8:01 - 8:03對它關於y的
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8:03 - 8:05偏導數 對吧?
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8:05 - 8:12對M求關於y的偏導。。。
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8:12 - 8:14也就是Ψx
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8:14 - 8:16等於M
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8:16 - 8:17如果我們對它求關於y的
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8:17 - 8:18偏導數
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8:18 - 8:22可以重寫成這樣
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8:22 - 8:26它是等於
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8:26 - 8:28Nx 對吧?
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8:28 - 8:32Ψ關於y的偏導 是N
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8:32 - 8:35如果我們對兩邊
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8:35 - 8:36求關於x的偏導
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8:36 - 8:41我們知道它們應該是相等的
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8:41 - 8:44如果Ψ和它的偏導都是連續的話
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8:44 - 8:49所以這是相等的
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8:49 - 8:52因此 這其實是判斷
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8:52 - 8:54恰當與否的辦法
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8:54 - 8:56我來重新寫一下
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8:56 - 8:57總結一番
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8:57 - 9:05如果你看到這樣的形式M(x,y)
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9:05 - 9:10加上N(x,y)dy/dx 等於0
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9:10 - 9:13然後就應該 對M求關於y的
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9:13 - 9:14偏導數
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9:14 - 9:18然後對N求關於x的偏導
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9:18 - 9:24它們會是相等的
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9:24 - 9:26這。。。是若且唯若的
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9:26 - 9:29如果滿足的話 它就是恰當方程
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9:29 - 9:31正合微分方程
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9:31 - 9:32這是恰當的
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9:32 - 9:34如果它是恰當方程
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9:34 - 9:36也就告訴了我們 存在一個Ψ
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9:36 - 9:47它的導數等於0
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9:47 - 9:52或者Ψ(x,y)=C
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9:52 - 9:53這是方程的解
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9:53 - 9:58Ψ關於x的偏導
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9:58 - 10:00等於M
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10:00 - 10:04Ψ關於y的偏導
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10:04 - 10:05等於N
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10:05 - 10:08在下一個影片中
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10:08 - 10:10我會告訴大家 怎麽利用這個信息解方程
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10:10 - 10:12這裡我還是要指出某些東西
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10:12 - 10:14這是Ψ關於x的
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10:14 - 10:15偏導數
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10:15 - 10:18當我們要做判斷時
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10:18 - 10:20要關於y求偏
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10:20 - 10:21因爲我們想得到混合導數
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10:21 - 10:21同樣地
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10:21 - 10:23這是Ψ關於y的
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10:23 - 10:27偏導數 但我們要判斷的話
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10:27 - 10:30就要取其關於x的偏導
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10:30 - 10:31又得到了混合導數
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10:31 - 10:33這是關於y的
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10:33 - 10:34這是關於x的 得到這個
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10:34 - 10:36無論如何 有點複雜
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10:36 - 10:38但希望大家能明白我所做的一切
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10:38 - 10:41我想 大家應該有了
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10:41 - 10:43一種關於恰當方程的直覺
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10:43 - 10:46下節課 我教大家
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10:46 - 10:49解一些恰當方程 下次見啦~