上節課 我給大家介紹了 偏導下的連鎖律 我們說 如果有一個函數Ψ 這是希臘字母Ψ 它是x、y的函數 如果我要求它的偏導數 關於。。。 不對 我要求導數 不是偏導 求它關於x的導數 那就是?Ψ 除以?x 加上?Ψ 除以?y 乘以dy/dx 上一個影片中 我沒有證明 但我給了大家一種直觀 所以相信我吧 但可能某天 我會嚴格地證明它 不過如果有興趣的話 也能在網絡上找到 偏導下的連鎖律的證明 放一邊吧 下面來看看偏導的另一個性質 這之後 我們就能直觀地感受 恰當方程了 因爲你會發現 這些足夠讓我們去解恰當方程了 但直覺這東西吧 好吧 我不想說它有點難 因爲直覺有了就是有了 所以 如果有一個函數Ψ 我要求Ψ的偏導數 首先是關於x的偏導 寫下Ψ 我不用每次都寫上x、y 然後我求關於y的 偏導數 正如記號 可以寫成。。。 多多少少可以看做 把操作符（求導符號）相乘 可以寫成這樣 上面是?2Ψ 下面是?y 或者?x 也可以寫成。。。 這是我最喜歡的符號 因爲它沒有多余的符號 你可以說 求偏導 先是x 這意味著 對Ψ求關於x的偏導 然後求關於y的偏導 這是其中一種情況 先求關於x 再求關於y的偏導 是怎樣做的呢？ 先是關於x 把y固定 求關於x的偏導 關於x的 把y忽略 然後把x固定 求關於y的偏導 那交換x和y的順序 會發生什麽呢？ 會發生的是。。。 用另一種顏色 寫下Ψ 然後求偏導 先是關於y 然後是關於x 這是什麽呢？ 這只是記號罷了 大家應該適應了吧 這是?x和?y 這是算符 這裡可能會引起誤會 這兩個記號 盡管是一樣的 但順序變了 這不過是因爲 看待事物的方法不一樣 這是說 先求關於x的偏導 再y 這看上更像算符 先求關於x的偏導 然後求關於y的 就像是算符乘積那樣 無論怎樣 這也可以寫成 先是y 然後才是x 不好意思 關於y 然後才是關於x的偏導 現在 我要告訴大家 如果求偏之後函數都是連續的 我們處理的 大部分函數的定義域都是平凡的 也就是 是連續的 沒有洞的 函數的定義中也沒有詭異的地方 它們通常都是連續的 特別地 在第一年的微積分或微分課程中 我們處理的 大部分是連續函數 定義域是好的 如果這兩個函數是連續的 求偏之後還都是連續的 那它們就是相等的 Ψxy等於Ψyx 現在 我們要應用它了 求偏下的連鎖律 應用它去解 一種類型的微分方程 一階的微分方程 叫做“恰當方程” 恰當方程是怎樣的呢？ 它們是這樣的 選擇顏色真不容易啊 這是我的微分方程 關於x和y的函數 不確定是什麽 它可能是x2cosy 或者其他 不確定是什麽 可以是任意x、y的函數 加上另一個x、y的函數 稱之爲N 乘以dy/dx之後等於0 這是。。。 我不確定是否爲恰當方程 不過你看到這樣的形式 首先要做的是。。。 首先考慮它是否可隔離變量 你們應該做一些代數練習 看看變量是否可隔離 因爲那可以直接解出來 如果不可隔離 但還是這樣的形式 你就會問“喔 這是恰當方程麽？” 什麽是恰當方程？ 好吧 首先要看 這裡的形式 看上去和這裡很相似 如果M是?Ψ/?x呢？ Ψx是否就是M呢？ 這是Ψx嗎？ 又如果這是Ψy呢？ 也就是Ψy=N 如果。。。 我只是想說 我們並不確定 如果你偶然在某處看到這個式子 你不會知道這是否 是某函數關於x的偏導數 或者這也是一個偏導數 某函數關於y的偏導數 但我們說 如果是呢？ 如果確實是 我們就可以重新寫成 Ψ 關於x的偏導 加上Ψ 關於y的偏導 乘以dy/dx 等於0 這裡左邊的式子 和這裡是一樣的 對吧？ 這是Ψ關於x的導數 用到了偏導下的連鎖律 所以可以重寫了 重寫成 這是Ψ關於x的 導數 Ψ是關於x、y的函數 等於0 看這個微分方程 寫出這樣的形式 你會說 哎 還是不能隔離變量吧 但這是一個恰當方程 顯然 如果它出現在 最近的考試中 那它很可能是一個恰當方程 但看到這個形式 你會說 它可能是一個恰當方程 如果它是一個恰當方程。。。 告訴大家 怎樣最快地作出判斷 然後就可以寫成 某函數Ψ的導數了 這是Ψ關於x的偏導 這是Ψ關於y的偏導 如果可以寫成這樣 就可以對兩邊求導。。。 不對 應該是兩邊取不定積分 就能得到Ψ(x,y)=C 是方程的一個解 有兩件事 是我們應該關心的 之後你可能會說 好的 Sal 考慮過了Ψ 、偏導數 所有的這些 首先 怎樣知道這是否是一個恰當方程？ 然後 如果是恰當方程 也就是存在那樣的一個Ψ 然後怎樣解出Ψ呢？ 所以 判斷是否恰當方程的辦法 就是利用這個信息 我們知道 Ψ和它的偏導們 在定義域上都是連續的 然後關於x和y 求偏導數 在兩種求偏順序下 它們還是一樣的 所以我們說 這是偏導 關於x的 對吧？ 這是關於y的偏導 如果這是恰當方程 如果它是恰當的 對它關於y的 偏導數 對吧？ 對M求關於y的偏導。。。 也就是Ψx 等於M 如果我們對它求關於y的 偏導數 可以重寫成這樣 它是等於 Nx 對吧？ Ψ關於y的偏導 是N 如果我們對兩邊 求關於x的偏導 我們知道它們應該是相等的 如果Ψ和它的偏導都是連續的話 所以這是相等的 因此 這其實是判斷 恰當與否的辦法 我來重新寫一下 總結一番 如果你看到這樣的形式M(x,y) 加上N（x,y)dy/dx 等於0 然後就應該 對M求關於y的 偏導數 然後對N求關於x的偏導 它們會是相等的 這。。。是若且唯若的 如果滿足的話 它就是恰當方程 正合微分方程 這是恰當的 如果它是恰當方程 也就告訴了我們 存在一個Ψ 它的導數等於0 或者Ψ(x,y)=C 這是方程的解 Ψ關於x的偏導 等於M Ψ關於y的偏導 等於N 在下一個影片中 我會告訴大家 怎麽利用這個信息解方程 這裡我還是要指出某些東西 這是Ψ關於x的 偏導數 當我們要做判斷時 要關於y求偏 因爲我們想得到混合導數 同樣地 這是Ψ關於y的 偏導數 但我們要判斷的話 就要取其關於x的偏導 又得到了混合導數 這是關於y的 這是關於x的 得到這個 無論如何 有點複雜 但希望大家能明白我所做的一切 我想 大家應該有了 一種關於恰當方程的直覺 下節課 我教大家 解一些恰當方程 下次見啦~