WEBVTT

00:00:00.710 --> 00:00:04.470
上節課

00:00:04.470 --> 00:00:04.870
我給大家介紹了

00:00:04.870 --> 00:00:05.520
偏導下的連鎖律

00:00:05.520 --> 00:00:10.080
我們說 如果有一個函數Ψ

00:00:10.080 --> 00:00:14.020
這是希臘字母Ψ 它是x、y的函數

00:00:14.020 --> 00:00:16.770
如果我要求它的偏導數

00:00:16.770 --> 00:00:19.360
關於。。。 不對 我要求導數

00:00:19.360 --> 00:00:23.430
不是偏導 求它關於x的導數

00:00:23.430 --> 00:00:29.540
那就是?Ψ

00:00:29.540 --> 00:00:32.680
除以?x 加上?Ψ

00:00:32.690 --> 00:00:35.400
除以?y 乘以dy/dx

00:00:35.400 --> 00:00:37.630
上一個影片中 我沒有證明

00:00:37.630 --> 00:00:40.260
但我給了大家一種直觀

00:00:40.260 --> 00:00:40.740
所以相信我吧

00:00:40.740 --> 00:00:41.370
但可能某天

00:00:41.370 --> 00:00:43.030
我會嚴格地證明它

00:00:43.030 --> 00:00:44.750
不過如果有興趣的話

00:00:44.750 --> 00:00:46.120
也能在網絡上找到

00:00:46.120 --> 00:00:49.960
偏導下的連鎖律的證明

00:00:49.960 --> 00:00:52.760
放一邊吧

00:00:52.760 --> 00:00:54.330
下面來看看偏導的另一個性質

00:00:55.600 --> 00:00:56.500
這之後 我們就能直觀地感受

00:00:56.500 --> 00:00:57.080
恰當方程了

00:00:57.080 --> 00:00:59.070
因爲你會發現

00:00:59.070 --> 00:01:02.210
這些足夠讓我們去解恰當方程了

00:01:02.210 --> 00:01:05.140
但直覺這東西吧

00:01:05.140 --> 00:01:05.930
好吧 我不想說它有點難

00:01:05.930 --> 00:01:06.890
因爲直覺有了就是有了

00:01:06.890 --> 00:01:11.490
所以 如果有一個函數Ψ

00:01:11.490 --> 00:01:14.710
我要求Ψ的偏導數

00:01:14.710 --> 00:01:16.580
首先是關於x的偏導

00:01:16.580 --> 00:01:17.510
寫下Ψ

00:01:17.510 --> 00:01:19.640
我不用每次都寫上x、y

00:01:19.640 --> 00:01:22.890
然後我求關於y的

00:01:22.890 --> 00:01:25.480
偏導數

00:01:28.920 --> 00:01:32.730
正如記號 可以寫成。。。

00:01:32.730 --> 00:01:33.460
多多少少可以看做

00:01:33.460 --> 00:01:34.620
把操作符（求導符號）相乘

00:01:34.620 --> 00:01:36.050
可以寫成這樣

00:01:36.050 --> 00:01:42.400
上面是?2Ψ

00:01:42.400 --> 00:01:47.540
下面是?y 或者?x

00:01:47.540 --> 00:01:50.330
也可以寫成。。。

00:01:50.330 --> 00:01:53.040
這是我最喜歡的符號

00:01:53.040 --> 00:01:53.800
因爲它沒有多余的符號

00:01:53.800 --> 00:01:54.850
你可以說

00:01:54.850 --> 00:01:56.350
求偏導 先是x

00:02:00.050 --> 00:02:00.810
這意味著 對Ψ求關於x的偏導

00:02:01.240 --> 00:02:04.060
然後求關於y的偏導

00:02:04.060 --> 00:02:05.870
這是其中一種情況

00:02:05.870 --> 00:02:07.970
先求關於x 再求關於y的偏導

00:02:07.970 --> 00:02:08.650
是怎樣做的呢？

00:02:08.650 --> 00:02:13.100
先是關於x

00:02:13.100 --> 00:02:14.190
把y固定 求關於x的偏導

00:02:14.190 --> 00:02:15.000
關於x的 把y忽略

00:02:15.000 --> 00:02:17.060
然後把x固定

00:02:17.060 --> 00:02:18.670
求關於y的偏導

00:02:18.670 --> 00:02:21.480
那交換x和y的順序

00:02:21.480 --> 00:02:22.370
會發生什麽呢？

00:02:22.370 --> 00:02:24.970
會發生的是。。。

00:02:24.970 --> 00:02:30.400
用另一種顏色 寫下Ψ

00:02:30.400 --> 00:02:32.530
然後求偏導

00:02:32.530 --> 00:02:34.480
先是關於y

00:02:34.480 --> 00:02:35.760
然後是關於x 這是什麽呢？

00:02:36.510 --> 00:02:37.990
這只是記號罷了

00:02:38.000 --> 00:02:40.640
大家應該適應了吧

00:02:40.640 --> 00:02:44.660
這是?x和?y

00:02:44.660 --> 00:02:46.360
這是算符

00:02:46.360 --> 00:02:48.750
這裡可能會引起誤會

00:02:48.750 --> 00:02:49.730
這兩個記號

00:02:49.730 --> 00:02:51.060
盡管是一樣的

00:02:51.060 --> 00:02:52.740
但順序變了

00:02:52.740 --> 00:02:54.250
這不過是因爲

00:02:54.250 --> 00:02:54.910
看待事物的方法不一樣

00:02:54.910 --> 00:02:57.990
這是說 先求關於x的偏導 再y

00:02:57.990 --> 00:03:00.160
這看上更像算符

00:03:00.160 --> 00:03:03.000
先求關於x的偏導 然後求關於y的

00:03:03.000 --> 00:03:04.950
就像是算符乘積那樣

00:03:04.950 --> 00:03:08.840
無論怎樣 這也可以寫成

00:03:08.840 --> 00:03:11.310
先是y 然後才是x

00:03:11.310 --> 00:03:13.070
不好意思 關於y

00:03:13.070 --> 00:03:14.910
然後才是關於x的偏導

00:03:14.910 --> 00:03:17.980
現在 我要告訴大家

00:03:17.980 --> 00:03:20.840
如果求偏之後函數都是連續的

00:03:20.840 --> 00:03:22.260
我們處理的

00:03:22.260 --> 00:03:24.510
大部分函數的定義域都是平凡的

00:03:24.510 --> 00:03:26.780
也就是 是連續的 沒有洞的

00:03:26.780 --> 00:03:29.070
函數的定義中也沒有詭異的地方

00:03:29.070 --> 00:03:30.290
它們通常都是連續的

00:03:30.290 --> 00:03:32.990
特別地 在第一年的微積分或微分課程中

00:03:33.680 --> 00:03:34.510
我們處理的

00:03:34.510 --> 00:03:35.810
大部分是連續函數

00:03:35.810 --> 00:03:37.620
定義域是好的

00:03:37.620 --> 00:03:40.480
如果這兩個函數是連續的

00:03:40.480 --> 00:03:45.410
求偏之後還都是連續的

00:03:45.410 --> 00:03:47.170
那它們就是相等的

00:03:47.170 --> 00:03:54.950
Ψxy等於Ψyx

00:03:54.950 --> 00:04:01.220
現在 我們要應用它了

00:04:01.220 --> 00:04:04.870
求偏下的連鎖律

00:04:04.870 --> 00:04:07.440
應用它去解

00:04:07.440 --> 00:04:09.060
一種類型的微分方程

00:04:09.060 --> 00:04:13.060
一階的微分方程

00:04:13.060 --> 00:04:14.270
叫做“恰當方程”

00:04:14.270 --> 00:04:17.860
恰當方程是怎樣的呢？

00:04:17.860 --> 00:04:21.990
它們是這樣的

00:04:21.990 --> 00:04:23.710
選擇顏色真不容易啊

00:04:23.710 --> 00:04:26.290
這是我的微分方程

00:04:26.290 --> 00:04:29.550
關於x和y的函數

00:04:29.550 --> 00:04:31.830
不確定是什麽

00:04:31.830 --> 00:04:32.920
它可能是x2<i>cosy 或者其他</i>

00:04:32.920 --> 00:04:34.650
不確定是什麽 可以是任意x、y的函數

00:04:34.650 --> 00:04:40.350
加上另一個x、y的函數

00:04:40.350 --> 00:04:44.900
稱之爲N 乘以dy/dx之後等於0

00:04:44.900 --> 00:04:45.560
這是。。。

00:04:45.560 --> 00:04:47.520
我不確定是否爲恰當方程

00:04:47.520 --> 00:04:50.880
不過你看到這樣的形式

00:04:50.880 --> 00:04:52.990
首先要做的是。。。

00:04:52.990 --> 00:04:54.500
首先考慮它是否可隔離變量

00:04:54.500 --> 00:04:56.180
你們應該做一些代數練習

00:04:56.180 --> 00:04:57.620
看看變量是否可隔離

00:04:57.620 --> 00:04:59.210
因爲那可以直接解出來

00:04:59.210 --> 00:05:00.110
如果不可隔離

00:05:00.110 --> 00:05:01.770
但還是這樣的形式

00:05:01.770 --> 00:05:04.460
你就會問“喔 這是恰當方程麽？”

00:05:04.460 --> 00:05:06.340
什麽是恰當方程？

00:05:06.340 --> 00:05:07.270
好吧 首先要看

00:05:07.270 --> 00:05:11.600
這裡的形式

00:05:11.600 --> 00:05:14.000
看上去和這裡很相似

00:05:14.000 --> 00:05:18.210
如果M是?Ψ/?x呢？

00:05:18.210 --> 00:05:24.920
Ψx是否就是M呢？

00:05:24.920 --> 00:05:26.710
這是Ψx嗎？

00:05:26.710 --> 00:05:29.570
又如果這是Ψy呢？

00:05:29.570 --> 00:05:32.500
也就是Ψy=N

00:05:32.500 --> 00:05:32.950
如果。。。

00:05:32.950 --> 00:05:34.670
我只是想說 我們並不確定

00:05:34.670 --> 00:05:37.500
如果你偶然在某處看到這個式子

00:05:37.500 --> 00:05:40.200
你不會知道這是否

00:05:40.200 --> 00:05:41.780
是某函數關於x的偏導數

00:05:41.780 --> 00:05:43.060
或者這也是一個偏導數

00:05:43.060 --> 00:05:43.830
某函數關於y的偏導數

00:05:43.830 --> 00:05:45.810
但我們說 如果是呢？

00:05:45.810 --> 00:05:46.820
如果確實是

00:05:46.820 --> 00:05:49.650
我們就可以重新寫成 Ψ

00:05:49.650 --> 00:05:52.870
關於x的偏導 加上Ψ

00:05:52.870 --> 00:05:58.680
關於y的偏導 乘以dy/dx 等於0

00:05:58.680 --> 00:06:02.050
這裡左邊的式子

00:06:02.050 --> 00:06:04.790
和這裡是一樣的 對吧？

00:06:04.790 --> 00:06:09.040
這是Ψ關於x的導數

00:06:09.040 --> 00:06:10.940
用到了偏導下的連鎖律

00:06:10.940 --> 00:06:12.710
所以可以重寫了

00:06:12.710 --> 00:06:17.130
重寫成 這是Ψ關於x的

00:06:17.130 --> 00:06:20.480
導數

00:06:20.480 --> 00:06:23.410
Ψ是關於x、y的函數 等於0

00:06:23.410 --> 00:06:27.730
看這個微分方程

00:06:27.730 --> 00:06:28.860
寫出這樣的形式

00:06:28.860 --> 00:06:31.070
你會說 哎 還是不能隔離變量吧

00:06:31.070 --> 00:06:32.030
但這是一個恰當方程

00:06:32.030 --> 00:06:35.940
顯然

00:06:35.940 --> 00:06:36.960
如果它出現在

00:06:36.960 --> 00:06:37.740
最近的考試中

00:06:37.740 --> 00:06:38.800
那它很可能是一個恰當方程

00:06:38.800 --> 00:06:40.940
但看到這個形式 你會說

00:06:40.940 --> 00:06:42.070
它可能是一個恰當方程

00:06:42.070 --> 00:06:44.580
如果它是一個恰當方程。。。

00:06:44.580 --> 00:06:45.490
告訴大家

00:06:45.490 --> 00:06:48.350
怎樣最快地作出判斷

00:06:48.350 --> 00:06:49.850
然後就可以寫成

00:06:49.850 --> 00:06:52.550
某函數Ψ的導數了

00:06:52.550 --> 00:06:54.840
這是Ψ關於x的偏導

00:06:54.840 --> 00:06:57.720
這是Ψ關於y的偏導

00:06:57.720 --> 00:06:59.650
如果可以寫成這樣

00:06:59.650 --> 00:07:01.370
就可以對兩邊求導。。。

00:07:01.370 --> 00:07:06.890
不對 應該是兩邊取不定積分

00:07:06.890 --> 00:07:08.320
就能得到Ψ(x,y)=C

00:07:08.320 --> 00:07:10.070
是方程的一個解

00:07:10.070 --> 00:07:11.090
有兩件事

00:07:11.090 --> 00:07:12.770
是我們應該關心的

00:07:12.770 --> 00:07:16.470
之後你可能會說 好的 Sal

00:07:16.470 --> 00:07:19.550
考慮過了Ψ 、偏導數 所有的這些

00:07:19.550 --> 00:07:22.020
首先 怎樣知道這是否是一個恰當方程？

00:07:22.020 --> 00:07:24.590
然後 如果是恰當方程

00:07:24.590 --> 00:07:26.510
也就是存在那樣的一個Ψ

00:07:26.510 --> 00:07:28.290
然後怎樣解出Ψ呢？

00:07:28.290 --> 00:07:32.380
所以 判斷是否恰當方程的辦法

00:07:32.380 --> 00:07:34.690
就是利用這個信息

00:07:34.690 --> 00:07:38.150
我們知道 Ψ和它的偏導們

00:07:38.150 --> 00:07:40.030
在定義域上都是連續的

00:07:40.040 --> 00:07:42.100
然後關於x和y

00:07:42.100 --> 00:07:45.760
求偏導數

00:07:45.760 --> 00:07:46.980
在兩種求偏順序下 它們還是一樣的

00:07:46.980 --> 00:07:48.930
所以我們說 這是偏導

00:07:48.930 --> 00:07:50.180
關於x的 對吧？

00:07:52.610 --> 00:07:55.920
這是關於y的偏導

00:07:55.920 --> 00:07:59.880
如果這是恰當方程

00:07:59.880 --> 00:08:01.330
如果它是恰當的

00:08:01.330 --> 00:08:03.250
對它關於y的

00:08:03.250 --> 00:08:05.330
偏導數 對吧？

00:08:05.330 --> 00:08:11.600
對M求關於y的偏導。。。

00:08:11.600 --> 00:08:13.720
也就是Ψx

00:08:13.720 --> 00:08:15.560
等於M

00:08:15.560 --> 00:08:17.390
如果我們對它求關於y的

00:08:17.390 --> 00:08:18.490
偏導數

00:08:18.490 --> 00:08:22.450
可以重寫成這樣

00:08:22.450 --> 00:08:25.930
它是等於

00:08:25.930 --> 00:08:28.090
Nx 對吧？

00:08:28.090 --> 00:08:31.970
Ψ關於y的偏導 是N

00:08:31.970 --> 00:08:34.760
如果我們對兩邊

00:08:34.760 --> 00:08:36.400
求關於x的偏導

00:08:36.400 --> 00:08:40.960
我們知道它們應該是相等的

00:08:40.960 --> 00:08:44.400
如果Ψ和它的偏導都是連續的話

00:08:44.400 --> 00:08:49.320
所以這是相等的

00:08:49.320 --> 00:08:51.990
因此 這其實是判斷

00:08:51.990 --> 00:08:53.930
恰當與否的辦法

00:08:53.930 --> 00:08:56.300
我來重新寫一下

00:08:56.300 --> 00:08:56.690
總結一番

00:08:56.690 --> 00:09:04.870
如果你看到這樣的形式M(x,y)

00:09:04.870 --> 00:09:09.580
加上N（x,y)dy/dx 等於0

00:09:09.580 --> 00:09:13.110
然後就應該 對M求關於y的

00:09:13.110 --> 00:09:14.430
偏導數

00:09:14.440 --> 00:09:18.280
然後對N求關於x的偏導

00:09:18.280 --> 00:09:24.030
它們會是相等的

00:09:24.030 --> 00:09:26.410
這。。。是若且唯若的

00:09:26.410 --> 00:09:29.060
如果滿足的話 它就是恰當方程

00:09:29.060 --> 00:09:30.930
正合微分方程

00:09:30.930 --> 00:09:32.410
這是恰當的

00:09:32.410 --> 00:09:33.700
如果它是恰當方程

00:09:33.700 --> 00:09:35.510
也就告訴了我們 存在一個Ψ

00:09:35.510 --> 00:09:47.140
它的導數等於0

00:09:47.140 --> 00:09:52.200
或者Ψ(x,y)=C

00:09:52.200 --> 00:09:53.050
這是方程的解

00:09:53.050 --> 00:09:58.480
Ψ關於x的偏導

00:09:58.480 --> 00:09:59.740
等於M

00:09:59.740 --> 00:10:03.760
Ψ關於y的偏導

00:10:03.760 --> 00:10:05.340
等於N

00:10:05.340 --> 00:10:07.550
在下一個影片中

00:10:07.550 --> 00:10:09.810
我會告訴大家 怎麽利用這個信息解方程

00:10:09.810 --> 00:10:11.640
這裡我還是要指出某些東西

00:10:11.640 --> 00:10:13.720
這是Ψ關於x的

00:10:13.720 --> 00:10:14.890
偏導數

00:10:14.890 --> 00:10:17.620
當我們要做判斷時

00:10:17.620 --> 00:10:19.590
要關於y求偏

00:10:19.590 --> 00:10:21.080
因爲我們想得到混合導數

00:10:21.080 --> 00:10:21.470
同樣地

00:10:21.470 --> 00:10:23.410
這是Ψ關於y的

00:10:23.410 --> 00:10:27.030
偏導數 但我們要判斷的話

00:10:27.030 --> 00:10:29.500
就要取其關於x的偏導

00:10:29.500 --> 00:10:30.730
又得到了混合導數

00:10:30.730 --> 00:10:32.570
這是關於y的

00:10:32.570 --> 00:10:33.920
這是關於x的 得到這個

00:10:33.920 --> 00:10:36.300
無論如何 有點複雜

00:10:36.300 --> 00:10:38.360
但希望大家能明白我所做的一切

00:10:38.360 --> 00:10:41.390
我想 大家應該有了

00:10:41.390 --> 00:10:43.470
一種關於恰當方程的直覺

00:10:43.470 --> 00:10:45.950
下節課 我教大家

00:10:45.950 --> 00:10:49.400
解一些恰當方程 下次見啦~