0:00:00.710,0:00:04.470
上節課

0:00:04.470,0:00:04.870
我給大家介紹了

0:00:04.870,0:00:05.520
偏導下的連鎖律

0:00:05.520,0:00:10.080
我們說 如果有一個函數Ψ

0:00:10.080,0:00:14.020
這是希臘字母Ψ 它是x、y的函數

0:00:14.020,0:00:16.770
如果我要求它的偏導數

0:00:16.770,0:00:19.360
關於。。。 不對 我要求導數

0:00:19.360,0:00:23.430
不是偏導 求它關於x的導數

0:00:23.430,0:00:29.540
那就是?Ψ

0:00:29.540,0:00:32.680
除以?x 加上?Ψ

0:00:32.690,0:00:35.400
除以?y 乘以dy/dx

0:00:35.400,0:00:37.630
上一個影片中 我沒有證明

0:00:37.630,0:00:40.260
但我給了大家一種直觀

0:00:40.260,0:00:40.740
所以相信我吧

0:00:40.740,0:00:41.370
但可能某天

0:00:41.370,0:00:43.030
我會嚴格地證明它

0:00:43.030,0:00:44.750
不過如果有興趣的話

0:00:44.750,0:00:46.120
也能在網絡上找到

0:00:46.120,0:00:49.960
偏導下的連鎖律的證明

0:00:49.960,0:00:52.760
放一邊吧

0:00:52.760,0:00:54.330
下面來看看偏導的另一個性質

0:00:55.600,0:00:56.500
這之後 我們就能直觀地感受

0:00:56.500,0:00:57.080
恰當方程了

0:00:57.080,0:00:59.070
因爲你會發現

0:00:59.070,0:01:02.210
這些足夠讓我們去解恰當方程了

0:01:02.210,0:01:05.140
但直覺這東西吧

0:01:05.140,0:01:05.930
好吧 我不想說它有點難

0:01:05.930,0:01:06.890
因爲直覺有了就是有了

0:01:06.890,0:01:11.490
所以 如果有一個函數Ψ

0:01:11.490,0:01:14.710
我要求Ψ的偏導數

0:01:14.710,0:01:16.580
首先是關於x的偏導

0:01:16.580,0:01:17.510
寫下Ψ

0:01:17.510,0:01:19.640
我不用每次都寫上x、y

0:01:19.640,0:01:22.890
然後我求關於y的

0:01:22.890,0:01:25.480
偏導數

0:01:28.920,0:01:32.730
正如記號 可以寫成。。。

0:01:32.730,0:01:33.460
多多少少可以看做

0:01:33.460,0:01:34.620
把操作符（求導符號）相乘

0:01:34.620,0:01:36.050
可以寫成這樣

0:01:36.050,0:01:42.400
上面是?2Ψ

0:01:42.400,0:01:47.540
下面是?y 或者?x

0:01:47.540,0:01:50.330
也可以寫成。。。

0:01:50.330,0:01:53.040
這是我最喜歡的符號

0:01:53.040,0:01:53.800
因爲它沒有多余的符號

0:01:53.800,0:01:54.850
你可以說

0:01:54.850,0:01:56.350
求偏導 先是x

0:02:00.050,0:02:00.810
這意味著 對Ψ求關於x的偏導

0:02:01.240,0:02:04.060
然後求關於y的偏導

0:02:04.060,0:02:05.870
這是其中一種情況

0:02:05.870,0:02:07.970
先求關於x 再求關於y的偏導

0:02:07.970,0:02:08.650
是怎樣做的呢？

0:02:08.650,0:02:13.100
先是關於x

0:02:13.100,0:02:14.190
把y固定 求關於x的偏導

0:02:14.190,0:02:15.000
關於x的 把y忽略

0:02:15.000,0:02:17.060
然後把x固定

0:02:17.060,0:02:18.670
求關於y的偏導

0:02:18.670,0:02:21.480
那交換x和y的順序

0:02:21.480,0:02:22.370
會發生什麽呢？

0:02:22.370,0:02:24.970
會發生的是。。。

0:02:24.970,0:02:30.400
用另一種顏色 寫下Ψ

0:02:30.400,0:02:32.530
然後求偏導

0:02:32.530,0:02:34.480
先是關於y

0:02:34.480,0:02:35.760
然後是關於x 這是什麽呢？

0:02:36.510,0:02:37.990
這只是記號罷了

0:02:38.000,0:02:40.640
大家應該適應了吧

0:02:40.640,0:02:44.660
這是?x和?y

0:02:44.660,0:02:46.360
這是算符

0:02:46.360,0:02:48.750
這裡可能會引起誤會

0:02:48.750,0:02:49.730
這兩個記號

0:02:49.730,0:02:51.060
盡管是一樣的

0:02:51.060,0:02:52.740
但順序變了

0:02:52.740,0:02:54.250
這不過是因爲

0:02:54.250,0:02:54.910
看待事物的方法不一樣

0:02:54.910,0:02:57.990
這是說 先求關於x的偏導 再y

0:02:57.990,0:03:00.160
這看上更像算符

0:03:00.160,0:03:03.000
先求關於x的偏導 然後求關於y的

0:03:03.000,0:03:04.950
就像是算符乘積那樣

0:03:04.950,0:03:08.840
無論怎樣 這也可以寫成

0:03:08.840,0:03:11.310
先是y 然後才是x

0:03:11.310,0:03:13.070
不好意思 關於y

0:03:13.070,0:03:14.910
然後才是關於x的偏導

0:03:14.910,0:03:17.980
現在 我要告訴大家

0:03:17.980,0:03:20.840
如果求偏之後函數都是連續的

0:03:20.840,0:03:22.260
我們處理的

0:03:22.260,0:03:24.510
大部分函數的定義域都是平凡的

0:03:24.510,0:03:26.780
也就是 是連續的 沒有洞的

0:03:26.780,0:03:29.070
函數的定義中也沒有詭異的地方

0:03:29.070,0:03:30.290
它們通常都是連續的

0:03:30.290,0:03:32.990
特別地 在第一年的微積分或微分課程中

0:03:33.680,0:03:34.510
我們處理的

0:03:34.510,0:03:35.810
大部分是連續函數

0:03:35.810,0:03:37.620
定義域是好的

0:03:37.620,0:03:40.480
如果這兩個函數是連續的

0:03:40.480,0:03:45.410
求偏之後還都是連續的

0:03:45.410,0:03:47.170
那它們就是相等的

0:03:47.170,0:03:54.950
Ψxy等於Ψyx

0:03:54.950,0:04:01.220
現在 我們要應用它了

0:04:01.220,0:04:04.870
求偏下的連鎖律

0:04:04.870,0:04:07.440
應用它去解

0:04:07.440,0:04:09.060
一種類型的微分方程

0:04:09.060,0:04:13.060
一階的微分方程

0:04:13.060,0:04:14.270
叫做“恰當方程”

0:04:14.270,0:04:17.860
恰當方程是怎樣的呢？

0:04:17.860,0:04:21.990
它們是這樣的

0:04:21.990,0:04:23.710
選擇顏色真不容易啊

0:04:23.710,0:04:26.290
這是我的微分方程

0:04:26.290,0:04:29.550
關於x和y的函數

0:04:29.550,0:04:31.830
不確定是什麽

0:04:31.830,0:04:32.920
它可能是x2<i>cosy 或者其他</i>

0:04:32.920,0:04:34.650
不確定是什麽 可以是任意x、y的函數

0:04:34.650,0:04:40.350
加上另一個x、y的函數

0:04:40.350,0:04:44.900
稱之爲N 乘以dy/dx之後等於0

0:04:44.900,0:04:45.560
這是。。。

0:04:45.560,0:04:47.520
我不確定是否爲恰當方程

0:04:47.520,0:04:50.880
不過你看到這樣的形式

0:04:50.880,0:04:52.990
首先要做的是。。。

0:04:52.990,0:04:54.500
首先考慮它是否可隔離變量

0:04:54.500,0:04:56.180
你們應該做一些代數練習

0:04:56.180,0:04:57.620
看看變量是否可隔離

0:04:57.620,0:04:59.210
因爲那可以直接解出來

0:04:59.210,0:05:00.110
如果不可隔離

0:05:00.110,0:05:01.770
但還是這樣的形式

0:05:01.770,0:05:04.460
你就會問“喔 這是恰當方程麽？”

0:05:04.460,0:05:06.340
什麽是恰當方程？

0:05:06.340,0:05:07.270
好吧 首先要看

0:05:07.270,0:05:11.600
這裡的形式

0:05:11.600,0:05:14.000
看上去和這裡很相似

0:05:14.000,0:05:18.210
如果M是?Ψ/?x呢？

0:05:18.210,0:05:24.920
Ψx是否就是M呢？

0:05:24.920,0:05:26.710
這是Ψx嗎？

0:05:26.710,0:05:29.570
又如果這是Ψy呢？

0:05:29.570,0:05:32.500
也就是Ψy=N

0:05:32.500,0:05:32.950
如果。。。

0:05:32.950,0:05:34.670
我只是想說 我們並不確定

0:05:34.670,0:05:37.500
如果你偶然在某處看到這個式子

0:05:37.500,0:05:40.200
你不會知道這是否

0:05:40.200,0:05:41.780
是某函數關於x的偏導數

0:05:41.780,0:05:43.060
或者這也是一個偏導數

0:05:43.060,0:05:43.830
某函數關於y的偏導數

0:05:43.830,0:05:45.810
但我們說 如果是呢？

0:05:45.810,0:05:46.820
如果確實是

0:05:46.820,0:05:49.650
我們就可以重新寫成 Ψ

0:05:49.650,0:05:52.870
關於x的偏導 加上Ψ

0:05:52.870,0:05:58.680
關於y的偏導 乘以dy/dx 等於0

0:05:58.680,0:06:02.050
這裡左邊的式子

0:06:02.050,0:06:04.790
和這裡是一樣的 對吧？

0:06:04.790,0:06:09.040
這是Ψ關於x的導數

0:06:09.040,0:06:10.940
用到了偏導下的連鎖律

0:06:10.940,0:06:12.710
所以可以重寫了

0:06:12.710,0:06:17.130
重寫成 這是Ψ關於x的

0:06:17.130,0:06:20.480
導數

0:06:20.480,0:06:23.410
Ψ是關於x、y的函數 等於0

0:06:23.410,0:06:27.730
看這個微分方程

0:06:27.730,0:06:28.860
寫出這樣的形式

0:06:28.860,0:06:31.070
你會說 哎 還是不能隔離變量吧

0:06:31.070,0:06:32.030
但這是一個恰當方程

0:06:32.030,0:06:35.940
顯然

0:06:35.940,0:06:36.960
如果它出現在

0:06:36.960,0:06:37.740
最近的考試中

0:06:37.740,0:06:38.800
那它很可能是一個恰當方程

0:06:38.800,0:06:40.940
但看到這個形式 你會說

0:06:40.940,0:06:42.070
它可能是一個恰當方程

0:06:42.070,0:06:44.580
如果它是一個恰當方程。。。

0:06:44.580,0:06:45.490
告訴大家

0:06:45.490,0:06:48.350
怎樣最快地作出判斷

0:06:48.350,0:06:49.850
然後就可以寫成

0:06:49.850,0:06:52.550
某函數Ψ的導數了

0:06:52.550,0:06:54.840
這是Ψ關於x的偏導

0:06:54.840,0:06:57.720
這是Ψ關於y的偏導

0:06:57.720,0:06:59.650
如果可以寫成這樣

0:06:59.650,0:07:01.370
就可以對兩邊求導。。。

0:07:01.370,0:07:06.890
不對 應該是兩邊取不定積分

0:07:06.890,0:07:08.320
就能得到Ψ(x,y)=C

0:07:08.320,0:07:10.070
是方程的一個解

0:07:10.070,0:07:11.090
有兩件事

0:07:11.090,0:07:12.770
是我們應該關心的

0:07:12.770,0:07:16.470
之後你可能會說 好的 Sal

0:07:16.470,0:07:19.550
考慮過了Ψ 、偏導數 所有的這些

0:07:19.550,0:07:22.020
首先 怎樣知道這是否是一個恰當方程？

0:07:22.020,0:07:24.590
然後 如果是恰當方程

0:07:24.590,0:07:26.510
也就是存在那樣的一個Ψ

0:07:26.510,0:07:28.290
然後怎樣解出Ψ呢？

0:07:28.290,0:07:32.380
所以 判斷是否恰當方程的辦法

0:07:32.380,0:07:34.690
就是利用這個信息

0:07:34.690,0:07:38.150
我們知道 Ψ和它的偏導們

0:07:38.150,0:07:40.030
在定義域上都是連續的

0:07:40.040,0:07:42.100
然後關於x和y

0:07:42.100,0:07:45.760
求偏導數

0:07:45.760,0:07:46.980
在兩種求偏順序下 它們還是一樣的

0:07:46.980,0:07:48.930
所以我們說 這是偏導

0:07:48.930,0:07:50.180
關於x的 對吧？

0:07:52.610,0:07:55.920
這是關於y的偏導

0:07:55.920,0:07:59.880
如果這是恰當方程

0:07:59.880,0:08:01.330
如果它是恰當的

0:08:01.330,0:08:03.250
對它關於y的

0:08:03.250,0:08:05.330
偏導數 對吧？

0:08:05.330,0:08:11.600
對M求關於y的偏導。。。

0:08:11.600,0:08:13.720
也就是Ψx

0:08:13.720,0:08:15.560
等於M

0:08:15.560,0:08:17.390
如果我們對它求關於y的

0:08:17.390,0:08:18.490
偏導數

0:08:18.490,0:08:22.450
可以重寫成這樣

0:08:22.450,0:08:25.930
它是等於

0:08:25.930,0:08:28.090
Nx 對吧？

0:08:28.090,0:08:31.970
Ψ關於y的偏導 是N

0:08:31.970,0:08:34.760
如果我們對兩邊

0:08:34.760,0:08:36.400
求關於x的偏導

0:08:36.400,0:08:40.960
我們知道它們應該是相等的

0:08:40.960,0:08:44.400
如果Ψ和它的偏導都是連續的話

0:08:44.400,0:08:49.320
所以這是相等的

0:08:49.320,0:08:51.990
因此 這其實是判斷

0:08:51.990,0:08:53.930
恰當與否的辦法

0:08:53.930,0:08:56.300
我來重新寫一下

0:08:56.300,0:08:56.690
總結一番

0:08:56.690,0:09:04.870
如果你看到這樣的形式M(x,y)

0:09:04.870,0:09:09.580
加上N（x,y)dy/dx 等於0

0:09:09.580,0:09:13.110
然後就應該 對M求關於y的

0:09:13.110,0:09:14.430
偏導數

0:09:14.440,0:09:18.280
然後對N求關於x的偏導

0:09:18.280,0:09:24.030
它們會是相等的

0:09:24.030,0:09:26.410
這。。。是若且唯若的

0:09:26.410,0:09:29.060
如果滿足的話 它就是恰當方程

0:09:29.060,0:09:30.930
正合微分方程

0:09:30.930,0:09:32.410
這是恰當的

0:09:32.410,0:09:33.700
如果它是恰當方程

0:09:33.700,0:09:35.510
也就告訴了我們 存在一個Ψ

0:09:35.510,0:09:47.140
它的導數等於0

0:09:47.140,0:09:52.200
或者Ψ(x,y)=C

0:09:52.200,0:09:53.050
這是方程的解

0:09:53.050,0:09:58.480
Ψ關於x的偏導

0:09:58.480,0:09:59.740
等於M

0:09:59.740,0:10:03.760
Ψ關於y的偏導

0:10:03.760,0:10:05.340
等於N

0:10:05.340,0:10:07.550
在下一個影片中

0:10:07.550,0:10:09.810
我會告訴大家 怎麽利用這個信息解方程

0:10:09.810,0:10:11.640
這裡我還是要指出某些東西

0:10:11.640,0:10:13.720
這是Ψ關於x的

0:10:13.720,0:10:14.890
偏導數

0:10:14.890,0:10:17.620
當我們要做判斷時

0:10:17.620,0:10:19.590
要關於y求偏

0:10:19.590,0:10:21.080
因爲我們想得到混合導數

0:10:21.080,0:10:21.470
同樣地

0:10:21.470,0:10:23.410
這是Ψ關於y的

0:10:23.410,0:10:27.030
偏導數 但我們要判斷的話

0:10:27.030,0:10:29.500
就要取其關於x的偏導

0:10:29.500,0:10:30.730
又得到了混合導數

0:10:30.730,0:10:32.570
這是關於y的

0:10:32.570,0:10:33.920
這是關於x的 得到這個

0:10:33.920,0:10:36.300
無論如何 有點複雜

0:10:36.300,0:10:38.360
但希望大家能明白我所做的一切

0:10:38.360,0:10:41.390
我想 大家應該有了

0:10:41.390,0:10:43.470
一種關於恰當方程的直覺

0:10:43.470,0:10:45.950
下節課 我教大家

0:10:45.950,0:10:49.400
解一些恰當方程 下次見啦~