6.5 EN: Parallel and Perpendicular Lines, 6.6 EN: Locus

Kita teruskan dgn Koordinat Geometri:
Garisan Selari dan Serenjang.

Garisan Selari mempunyai kecerunan yg sama.

Jadi, kecerunan garisan AB dan CD adalah sama.
Maka m1=m2

Sekarang, kita ada 2 persamaan.

Kita boleh andaikan persamaan ini
mewakili garisan AB dan CD.

Kita mesti tentukan, adakah persamaan
ini utk garisan selari atau tidak.

Mula-mula, tandakan persamaan ini sebagai
persamaan 1 dan 2.

Susunkan persamaan 1 mengikut formula:
y= mx + c

Gunakan kaedah penghapusan iaitu:
bahagikan persamaan 1 dgn nilai 2.

Maka kita dapat y = -3/2x - 1

Jadi kecerunan m1=-3/2

Persamaan 2 ialah dlm bentuk persilangan.

Formula kecerunan bg persilangan, m = -b/a

Darabkan persamaan 2 dgn 3.
m2 = -3/2

Kita dapati bahawa m1 = m2 = -3/2

Maka terbukti kedua-dua garisan adalah SELARI.

Utk membuat persamaan drp garisan selari,

gunakan formula y - y1 = m(x -x1)

Cth: ini ialah garisan 1 dan 2.

Garisan 2 melalui titik A
pada koordinat (x1,y1)

Ingat, garisan selari sama kecerunan.

Dari soalan: garisan BC selari dgn garisan 6x+2y-14=0,

dan melalui titik (1,2).
Carikan persamaan bagi garisan BC.

Mula-mula, carikan kecerunan, m
bagi persamaan 6x+2y-14=0

Susun ikut formula y = mx + c.

Maka y = -3x + 7,
kecerunan, m= -3

Ingat, garisan ini melalui titik (1,2).

Masukkan koordinat titik dan kecerunan, m
ke dlm formula.

Maka kita dapat
y - 2 = -3(x - 1)

Kembangkan persamaan itu. Maka
y = -3x + 5

Sekarang, kita cari persamaan
drp garisan Serenjang pula.

Garisan Serenjang terjadi bila 2 garisan bersilang
dgn sudut tegak 90 darjah.

Utk mengenalpasti garisan Serenjang,
kita guna formula m1m2= -1

Carikan kecerunan, m bg persamaan ini.

Bg persamaan 1, m = -3

Bg persamaan 2, susun ikut formula
y = mx + c.

Maka, 3y = x - 4,
ringkaskan: y = 1/3x - 4/3

Maka, kecerunan, m = 1/3

Ganti masuk nilai-nilai m ke dlm formula m1m2=-1.

Maka, m1 x m2 = -3 x 1/3 = -1

Terbukti bahawa garisan ini ialah SERENJANG.

Kita teruskan lagi bab
Persamaan Serenjang ini.

Utk mencari persamaan bagi garisan yg

melalui titik dan serenjang dgn garisan lain,

kita guna formula
y - y1 = -1/m (x-x1)

Garisan 2 melalui titik dan
serenjang dgn garisan 1.

Cth soalan: cari persamaan garis lurus yg
melalui titik B (2,7)

dan serenjang dgn AB.

Mula-mula, cari kecerunan garisan AB.

m = (7-3) / (2-4)
m = -2

Masukkan koordinat titik B (2,7)
ke dlm formula tadi.

y - 7 = - 1/2 (x - 2).

Kembangkan persamaan ini. Kita akan dapat
y = -1/2x + 8 sbg jawapan.

Kita sudah tiba ke bab terakhir
iaitu Persamaan Lokus.

Lokus ialah jarak yg dilalui
dari 1 titik tetap atau lebih.

Cth: biri-biri ini terikat pada 1 tiang tetap.

Jaraknya dari tiang itu ialah 5km.

Dan ia berjalan dlm lingkungan 5km dari tiang.

Maka, laluan itu dipanggil Lokus

Ada 2 cara utk mencari persamaan Lokus.

Pertama, kita anggap ia sama jarak
dari titik tetap.

Katakan P ialah jarak tetap dari A.
Jaraknya ialah r.

Gunakan formula:
r = √ [(x -x1) kuasa dua + (y - y1)kuasa dua]

r = AP
kerana r ialah jarak dari A ke P.

Cth soalan:
Cari persamaan Lokus titik bergerak, P

yg berjarak malar 6cm dari titik tetap A (2,3)

Maka r = 6, x1 = 2, y1 = 3

Ganti masuk nilai-nilai itu ke dlm formula.

Utk menghapuskan √, nilai 6 mestilah di kuasa dua kan.

Kembangkan persamaan tadi.
Pindahkan 36 ke sebelah kiri.

Samakan persamaan itu dgn 0.

Maka, persamaan Lokus yg kita dapat ialah:

x2 + y2 - 4x - 6y - 23 = 0

Cara ke-2 utk cari persamaan Lokus ialah
dgn nisbah malar dari 2 titik tetap.

Katakan P bergerak malar dari titik A & B.

Jarak AP & PB mungkin sama atau

nisbah, cth 2 : 1

Kita ulang. Lokus P bergerak sepanjang
garisan di antara jarak dari titik A & B.

Kita boleh tulis dgn persamaan:
AP = λBP.

Maka, masukkan formula asal Lokus
kpd persamaan ini.

λ ialah nisbah kpd persamaan Lokus tadi.

Cth soalan:
Cari persamaan Lokus titik bergerak P

yg berjarak dari titik A (-2,0) & B (2,0)

dgn nisbah AP:BP = 2:1

x1= -2, y1 = 0
x2 = 2, y2 = 0

Jarak AP/BP bernisbah 2/1

Gunakan darab silang.
Maka, AP = 2BP

Ganti masuk nilai-nilai ini ke dlm formula Lokus.

Dari hasil darab tadi,
λ = 2,

dan √ (x-2)2 + (y-0)2

Kita hapuskan √ di kedua-dua persamaan.
Maka 2 di kuasa dua kan.

x2 + 4x + 4 + y2 = 4 (x2 - 4x + 4 + y2)

Ringkaskan yg ini:

= 4x2 - 16x +16 + 4y2

Pindahkan semua anu ke kiri
dan samakan dgn 0.

Maka, persamaan Lokus yg kita dapat:
-3x2 - 3y2 + 20x -12 = 0