나눗셈 - 1

Introduction to division

나누기라는 말을 전에 들어보셨을 것 같은데요,

어떤 사람이 학생에게 무엇인가를 나누라고했겠지요.

학생과 학생의 동생이 돈을 나누거나

학생과 친구가 돈을 나누거나.

나누기는 본래 무엇인가를 가른다는 뜻입니다.

'나누기' 라는 단어를 써보겠습니다.

동전 4개가 있다고 합시다.

동전을 잘 그려볼께요.

이와 같이 동전 4개를 가지고 있으면

동전에 조지 워싱턴을 그린 것이예요.

그리고 우리 둘이 있다고 합시다.

그리고 우리 둘이 동전을 나누려고합니다.

여기에 있는 사람이 나고,

잘 그려볼께요.

자 여기에 있는 사람이 나고,

머리가 많네요.

그리고 여기에 있는 사람은 학생입니다.

최선을 다 할께요.

대머리라고 하고,

구레나룻은 좀 있네요.

아마 수염도 좀 있는 것 같고.

자 이것이 학생이고, 이것이 나예요.

이제 이 4개의 동전을 우리 둘이 나누려고합니다.

동전이 4개 있고요,

이 동전을 우리 둘이 나누려고 하는 것입니다.

우리는 2명입니다.

숫자 2를 강조하고 싶습니다.

자 동전 4개를 둘로 나누려고 합니다.

우리 둘이 동전을 나눌려고합니다.

여러분은 아마 이와 같이 했을겁니다.

무슨 일이 일어나나요?

음, 우리는 각각 동전 2개를 가지게 되겠네요.

그렇다면 나누어 봅시다.

우리는 2묶음으로 나누려고합니다.

본래 내가 했던 일은 4개의 동전을 가지고

동등한 2개의 묶음으로 나누었습니다.

동등한 2개의 묶음.

이게 바로 나누기라는 것입니다.

우리는 동전 들을 동등한 2개의 묶음으로 갈랐습니다.

그래서 여러분이 동전 4개를 2개의 묶음으로 나눌 때는,

바로 저기에 동전 4개가 있었고요,

그리고 여러분은 이 동전 4개를 2 묶음으로 나누려고합니다.

이것이 묶음 1이고요.

바로 여기에 묶음 1이 있습니다.

그리고 바로 여기에 묶음 2가 있습니다.

각각의 묶음에 동전 몇개가 들어 있나요?

또는 각각의 묶음에 몇개의 동전이 들어 있습니까?

음, 각각의 묶음에, 하나, 둘, 동전 2개네요.

밝은 색을 사용할 필요가 있겠네요.

각각의 묶음에 하나, 둘, 동전 2개가 있습니다.

각각의 묶음에 동전 하나, 둘, 두 개입니다.

이 것을 수학적으로 나타내기 위해서,

여러분이 이미 하셨던 방법일텐데요,

아마 여러분이 친구들과

돈을 가를 때 했을겁니다.

자 좀 옮기고

내 모습 전체를 보실 수 있겠네요.

수학적으로 어떻게 나타낼 수 있을까요?

4 나누기 라고 쓸 수 있고, 여기 4요.

밝은 색을 사용해 볼께요.

그럼 이 4를 2개의 묶음으로 나누면,

이 것이 두 개의 묶음인데요. 묶음 1, 그리고 바로 여기에 묶음 2요.

2개의 묶음 또는 2 개의 모듬으로 나누었습니다.

4 나누기 2의 결과는,

4를 2개의 그룹으로 나누면,

각각의 묶음 안에는 동전 2개가 들어갑니다.

그래서 2가 됩니다.

이 예제를 사용하고자 했던 이유는

나누기라는 것은 이미 여러분이 늘

사용하였던 것이라는 것을 보여주고 싶었기 때문입니다.

그리고 다른 중요한 한 가지는, 나누기가

곱하기의 반대라는 것입니다.

만약 동전 2개를 가진 두 개의 묶음을 가지고 있으면

2 개의 묶음 곱하기 각 묶음의 2개의 동전을 하여

4 개의 동전을 가지고 있다고 말할 겁니다.

그래서 어떤 점에서는 같은 것을 얘기하고 있습니다.

하지만 머리 속에 확고히 심기 위하여

몇 가지 예제를 더 풀어 봅시다.

예제 한 무더기를 풀어 봅시다.

자 써 볼까요, 6 나누기

잘 쓰고 색깔도 입혀서 해 볼께요.

6나누기 3은 무엇일까요?

물체 6개를 그립시다.

어떤 것도 될 수 있어요.

피망 6개가 있다고 합시다.

그리는데 너무 많이 힘은 안 드릴려고요.

음, 피망 같이 보이지는 않지만,

아이디어를 얻을 수 있습니다.

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯

이제 이 6을 3으로 나누겠습니다.

생각할 수 있는 하나의 방법은,

피망 6개를 동등한 3개의 묶음으로

나누는 것을 의미한다는 것입니다.

3명이 이 피망 6개를 나누어 가진다고 하면

한 사람이 각각 몇 개를 가질까요?

3개의 묶음으로 나누어 봅시다.

피망 6개입니다.

3 개의 묶음으로 나누려고 합니다.

3개의 묶음으로 나누는데 가장 좋은 방법은

첫 번째 묶음은 여기에, 두 번 째 묶음은 여기에,

그리고 3번 째 묶음은 여기에 두는 것입니다.

이렇게 하면 각각의 묶음에는 정확히 피망 몇 개가 있을까요?

하나, 둘.

하나, 둘.

하나, 둘, 피망 2개입니다.

그래서 6 나누기 3은 2와 같습니다.

가장 좋게 이해하는 방법은

6을 3개의 묶음으로 나누었다고 보는 것입니다.

이제 조금 다른 시각으로 볼 수 있는데요.

완전히 다르지는 않지만

이게 생각하기에 좋은 방법이예요.

6을 3으로 나누었다고 생각할 수도 있습니다.

다시 한 번, 딸기가 있다고 합시다. 그리기가 좀 쉽네요.

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯.

우리가 전에 했던 3개의 묶음으로 나누는 대신에

묶음 1, 묶음 2, 묶음 3 이었지요.

3 개의 묶음으로 나누는 대신에

내가 하고자 하는 방법은,

6을 3으로 나누려면, 3개가 들어 있는 묶음으로 나누는 것입니다.

3 개의 묶음이 아니고요.

3 개가 들어 있는 묶음으로 나누고 싶습니다.

그러면 3 개가 들어 있는 묶음이 몇 개일까요?

음, 3개가 들어 있는 묶음을 그려봅시다.

여기에 3개가 들어 있는 묶음 1,

그리고 여기에 3개가 들어 있는 묶음 2.

그래서 6개를 가지고 3개가 들어 있는 묶음으로 나누면

마침내 묶음 1, 묶음 2, 2 개의 묶음이 됩니다.

이 것이 나누기에 대하여 생각할 수 있는 또 다른 길입니다.

흥미롭군요.

여러분이 이 두 가지의 관계를 생각하여 보면

6 나누기 3 과 6 나누기 2의 관계를 알 수 있습니다.

여기에서 바로 해 봅시다.

바로 여기에서 이러한 상황에서

6 나누기 2는 무엇입니까?

6나누기 2, 이렇게 하려면

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 개를 그립시다.

6 나누기 2 를 두 개의 묶음으로 나누는 것으로 생각한다면

하나의 묶음은 이렇게, 또 하나의 묶음은

이렇게 됩니다.

각각의 묶음은 3개를 가지고 있습니다.

묶음 안에 3개를 가지고 있습니다.

그래서 6 나누기 2는 3입니다.

또는 다른 방법으로 생각할 수도 있습니다.

6 나누기 2는...

6개를 가지고, 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯.

2개가 들어 있는 묶음으로 나눕니다.

2개가 들어 있는 묶음으로 나눕니다.

어떻게 보면 이 방법이 더 쉽습니다.

각 모둠에 두개의 요소가 있습니다.
하나가 여기에 있군요.

정리를잘 할 필요는 없습니다.

이 것도 2개가 들어 있는 묶음으로 될 수 있고,

다른 묶음도 바로 여기에...

열을 이루어 그릴 필요는 없고요.

그저 두 개로 이루어진 묶음들입니다.

그러면 묶음이 몇 개 있나요?

하나, 둘, 셋,

세 묶음입니다.

그러나 6나누기 3은 2이고, 6 나누기 2는 3 인 것은

우연이 아니라는 것을 유의하여야 합니다.

써 볼께요.

6 나누기 3은 2이고요.

6 나누기 2는 3입니다.

이 2와 이 3을 교환할 수 있는 관계를 볼 수 있는 이유는

2 곱하기 3이 6이기 때문입니다.

물건 3개가 들어 있는 묶음 2개가 있다고 합시다.

물건 3개가 들어 있는 묶음 2개를 그리겠습니다.

자, 3개가 들어 있는 묶음 하나, 그리고 다른 묶음 하나.

그래서 물건 3개가 있는 묶음 2개는 6이 됩니다.

2 곱하기 3은 6입니다.

또는 다른 방법으로 생각할 수 있습니다.

2개가 들어 있는 묶음 3개가 있다면,

2개가 들어 있는 묶음 여기에 하나,

바로 여기에 다른 묶음

그리고 바로 여기에 2개가 들어 있는 세 번 째 묶음.

어떻게 되나요?

2개가 들어 있는 3 개의 묶음.. 3 곱하기 2

이 것도 6이 됩니다.

그래서 2 곱하기 3은 6이 됩니다.

3 곱하기 2도 6이 됩니다.

우리는 곱셈 비데오 강의에서

순서가 상관 없는 것을 보았습니다.

나누기를 할 때,

다른 방법으로 하고 싶으면,

물건 6개를 가지고 있고, 2개의 묶음으로 나누고 싶으면 3을 얻습니다.

물건 6개를 가지고 있고, 물건 3개를 가진 묶음으로 나누고 싶으면, 2를 얻습니다.

문제 몇 개를 풀어 봅시다.

나누기가 무엇인지를 알게 해 줄 것으로 생각합니다.

재미 있는 문제를 해 봅시다.

9나누기 4를 해 봅시다.

9 나누기 4를 생각한다면, 9개를 그려봅시다.

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉.

이 문제 처럼 4로 나눌려면,

4개가 들어 있는 묶음을 생각해야 합니다.

그래서 4개가 들어 있는 묶음으로 나누고 싶으면

한 번 해 봅시다.

여기에 4개로 이루어진 묶음 하나가 있고요.

지금 한 것처럼 아무거나 하나 골랐습니다.

이 것이 4개로 이루어진 묶음 하나입니다.

그리고 바로 여기에 4개로 이루어진 다른 묶음 하나가 있습니다.

그리고 여기 남은 것이 있습니다.

이 것을 나머지라고 부릅니다.

이 나머지는 4개로 이루어진 묶음으로 만들 수 가 없습니다.

4로 나눌 때,

9를 4개로 이루어진 묶음으로만 가를 수 있습니다.

그래서 답은 여기에, 이 것은 여러분에게 새로운 개념일 수도 있는데요,

9 나누기 4는 2 묶음이 됩니다.

여기에 한 묶음, 그리고 여기에 다른 한 묶음.

그리고 나머지 1개가 있습니다.

한 개가 남았는데 이 것은 어떻게 할 수가 없습니다.

나머지--- 그래서 나머지 라고 합니다.

9나누기 4는 2 그리고 나머지 1 입니다.

12 나누기 4를 풀려면-- 12개를 그려 봅시다.

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘.

자, 써 봅시다.

12 나누기 4.

그래서 우리는 이 12개를 나누려고 합니다.

사과 또는 자두라고 합시다.

이 것들을 4개로 이루어진 묶음으로 나눌려고 하는데요.

그렇게 할 수 있나 봅시다.

그럼 이 것이 4개로 이루어진 묶음 하나이고요.

이 것은 다른 묶음이고요.

이 일은 아주 간단한 일입니다.

그리고 여기에 3번 째 묶음이 있고요.

마찬가지입니다.

전에 했던 것 처럼 남은 것은 없습니다.

12개를 4개의 묶음으로 정확히 나누었습니다.

4개로 이루어진 하나, 둘, 셋, 네 묶음.

그래서 12 나누기 4는 3입니다.

지난 번 비데오에서 본 분제도 연습해 볼 수 있습니다.

12 나누기 3은 무었일까요?

다른 색을 써 볼께요.

12 나누기 3.

지금까지 배운 것을 기초로 하여,

답은 4가 됩니다. 왜냐하면 3 곱하기 4는 12이기 때문입니다.

스스로 증명해 봅시다.

그럼, 하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘.

3개가 들어 있는 묶음으로 나누어 봅시다.

좀 이상하게 보일 수 있게 만들어 보겠습니다.

그러면 멋 있고 확실한 기둥만 항상 가지고 있지 않다는 것을 알게됩니다.

그럼, 바로 여기 3개로 이루어진 묶음 하나이고요.

12 나누기 3

봅시다. 마찬가지로 여기에 3개로 이루어진 다른 묶음이 있고,

3개로 이루어진 묶음을 이렇게 택할 수도 있고요.

3개로 이루어진 묶음을 만들고,

쉽게 나눌 수 있는 방법이 있는데요,

이렇게 기묘하게 나누는 것 보다는...

하지만 상관은 없다는 것을 보여드릴려고합니다.

그냥 3개로 이루어진 묶음으로만 나누면 됩니다.

그럼 몇 개의 묶음이 되었나요?

묶음 1개가 여기에

바로 여기에 두 번째 묶음이 있고,

바로 여기에 세 번 째 묶음이 있고,

그리고 여기에--- 다른 색을 사용합시다.

바로 여기에 네 번 째 묶음이 있습니다.

정확히 4개의 묶음이 있습니다.

내가 나누기를 할 때 쉬운 방법이 있다고 말했을 때,

쉬;운 방법은 명백히--- 명백히는 아닐 수 있지만---

이 12를 3개로 이루어진 묶음으로 나누고 싶으면

바로 3개로 이루어진 하나, 둘, 셋, 네 개의 묶음을 얻을 수 있습니다.

이 모두, 12개를 3개로 이루어진 묶음으로 나누고 있는 것입니다.

여러분은 그렇게 생각할 수도 있습니다.

나머지가 있는 다른 문제를 풀어봅시다.

자, 봅시다.

14 나누기 5는?

그럼 14개를 그립시다.

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟, 아홉, 열, 열하나, 열둘, 열셋, 열넷.

열네 개입니다.

이 것을 5개로 이루어진 묶음으로 나누겠습니다.

음, 쉬운 길은, 바로 여기에 묶음 하나,

바로 여기에 두 번째 묶음.

이 것이 마지막이네요. 4개가 남아 있고요.

5개로 이루어진 묶음을 더 만들 수가 없습니다.

그래서 답은 묶음 두 개를 만들 수 있고,

나머지가, 나머지를 r이라고 하면, 4입니다.

2와 나머지 4.

여러분이 연습을 충분히 하면

이런 동그라미를 항상 그리고

이렇게 나누는 일은 없을 겁니다.

그렇게 하는 것이 옳지 않은 일은 아니지만요.

그래서 이런 형식의 문제에 대하여 생각해 볼 수 있는 다른 방법은

14 나누기 5를 어떻게 알 수 있을까요? 라고 물어보는 것입니다.

실제로 이 것을 나타 내는 다를 방법은,

보여 드려도 아무 해가 없는데요.

이렇게 말할 수 있는데요. 14나누기 5는 14를

바로 여기에 있는 기호로--- 5로 나눕니다.

그러면 이렇게 말할텐데요. 자 봅시다.

14에는 5가 몇 번 들어 갈 수 있나요?

자, 봅시다.

5 곱하기 --- 머리 속으로 구구단을 해 보면 ---

5 곱하기 1은 5.

5 곱하기 2는 10.

아지 14보다는 적으니 5가 적어도 2번 들어 갑니다.

5 곱하기 3은 15.

14보다 크니까, 여기에서 뒤로 돌아가야 합니다.

그래서 5는 오직 두 번만 들어 갑니다.

그래서 2 번이 됩니다.

2 곱하기 5는 10 이고요.

빼기를 하면,

14 빼기 10은 4 입니다.

바로 여기에 나머지가 있습니다.

음, 14에는 5가 정확히 두 번 들어가고요,

5개로 이루어진 두 개의 묶음이 있습니다.

이 것은 본질적으로 그냥 10 입니다.

아직 4개가 남아 있습니다.

몇 개 더 풀어 보겠습니다.

이런 문제를 여러분이 정말로, 정말로, 정말로 잘 풀 수 있게.

이런 기호로 써 보겠습니다.

8 나누기 2를 해 봅시다.

이 것을 이렇게 쓸 수도 있는데요, 8 ---

답이 무엇인지 알고 싶습니다.

이 것은 물음표입니다.

이 것을 8 나누기 2라고 쓸 수 있습니다.

하는 방법은 두 가지인데요, 즉시 원호를 그리겠습니다.

원호를 안 그리고 하는 방법도 있습니다.

음, 2 곱하기 1은 2 이고요.

당연히 8에 들어갑니다.

들어 갈 수 있는 좀 더 큰 수를 생각해 볼 수 있는데요.

2를 곱해도 아직 8에 들어갑니다.

2 곱하기 2는 4이지요.

아직 8보다 작고요.

2 곱하기 3은 6입니다.

아직 6보다는 작네요.

2 곱하기, 이런 내 펜에 이상한 일이 일어났습니다.

2 곱하기 4는 정확히 8 입니다.

그래서 2는 8에 4번 들어갑니다.

그래서 2는 8에 4번 들어간다고 말할 수 있습니다.

혹은 8 나누기 2는 4라고 말할 수 있습니다.

원을 그려 볼 수도 있습니다.

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱, 여덟

일부러 복잡하게 그렸습니다.

그럼 2개씩 들어 있는 묶음으로 나누어봅시다.

2개가 들어 있는 묶음 하나, 묶음 두개,

묶음 세개, 묶음 4개 입니다.

8개를 가지고 이 것을 2개씩 들어 있는 묶음으로 나누면

4 개의 묶음이 됩니다.

그래서 8 나누기 2는 4입니다.

도움이 되셨기를 바랍니다!