Division 1

Einführung der Division

Ich denke du hast sicher schon einmal das Wort "teilen" (oder dividieren = divide) gehört,

wenn dir jemand sagt, dass du etwas aufteilen sollst.

Teile das Geld zwischen dir und deinem Bruder auf

oder zwischen dir und deinem Freund.

Und das heisst eigentlich nur, dass du etwas in Stücke schneidest.

Ich schreibe hier einmal das Wort "dividieren" hin

Angenommen wir haben vier Münzen.

Ich gebe mein Bestes die Münzen zu zeichnen.

Wenn ich vier von diesen Münzen habe.

Das ist meine Zeichnung von George Washington auf der Münze.

Und nehmen wir an, wir sind zu zweit,

und wir wollen die Münzen zwischen uns aufteilen.

Also das hier bin ich.

Ich gebe mein Bestes mich selbst zu malen.

Also das dort bin ich.

Schau, ich habe jede Menge Haare.

Und das dort bist du.

Ich werde mein Bestes geben.

Lassen uns sagen, dass du eine Glatze hast.

Aber Du hast Koteletten.

Vielleicht hast du einen Bart.

So das bist du und das bin ich,

und wir wollen nun diese vier Münzen zwischen uns aufteilen.

Also beachte, wir haben vier Münzen

und wir wollen sie zwischen uns aufteilen.

Wir sind zu zweit.

Und ich möchte Fokus auf die Zahl 2 legen.

Wir wollen also die 4 Münzen durch 2 teilen.

Wir teilen sie zwischen und beiden auf.

Du hast so etwas vermutlich schon gemacht.

Was passiert?

Nun, jeder von uns bekommt zwei Münzen.

Also lass es mich teilen.

Wir werden es durch zwei teilen.

Im Grunde habe ich die vier Münzen genommen

und sie in zwei gleiche Gruppen aufgeteilt.

Zwei gleiche Gruppen .

Das nennt man Division (oder teilen).

Wir unterteilen diese Gruppe von Münzen in zwei gleiche Gruppen.

Also, wenn du vier Münzen in zwei Gruppen aufteilst

also diese vier Münzen dort.

Und du willst sie in zwei Gruppen aufteilen.

Dies ist Gruppe eins.

Gruppe eins hier.

Und hier ist die zweite Gruppe.

Wie viele Zahlen sind in jeder Gruppe?

Oder: wie viele Münzen sind in jeder Gruppe?

Nun, in jeder Gruppe habe ich eine, zwei Münzen.

Ich werde eine hellere Farbe benutzen.

Ich habe eine, zwei Münzen in jeder Gruppe.

Eine Münze und zwei Münzen in jeder Gruppe.

Also, um das mathematisch aufzuschreiben,

Ich denke, so etwas hast du schon getan,

als du Geld geteilt hast.

zwischen dir und deinen Geschwistern und deinen Freunden.

Lass mich das Bild ein wenig verschieben.

So kannst du mein gesamtes Bild sehen.

Wie können wir das mathematisch aufschreiben?

Wir können es folgendermaßen schreiben:

Laß uns die richtigen Farben benutzen

So, das ist vier, diese vier, aufgeteilt in 2 Gruppen

das sind die zwei Gruppen: Gruppe eins und das ist Gruppe zwei.

aufgeteilt in zwei Gruppen

Vier geteilt durch zwei ist gleich

wenn du vier in zwei Gruppen aufteilst,

jede Gruppe wird zwei Münzen enthalten.

Es wird gleich zwei sein.

Und ich habe dieses Beispiel gewählt

weil ich dir zeigen wollte

das Division etwas ist was du schon immer benutzt hast

und das wichtige was du hierbei lernen kannst, ist zu verstehen, dass

es das Gegenteil von Multiplikation ist

Wenn ich sagen würde das ich zwei Gruppen von je zwei Münzen habe,

würde ich die beiden Gruppen mal den zwei Münzen die jede Gruppe hat nehmen

und würde dann sagen das ich 4 Münzen habe.

Also ist das beides das gleiche.

Aber um es für uns zu verdeutlichen,

lass uns noch ein paar Beispiele dazu machen.

Viele Beispiele.

Wir schreiben also: was ist sechs geteilt durch,

, ich versuche es klar und farbig zu machen,

sechs geteilt durch 3, was ergibt das?

Ich male mal sechs Objekte (du kannst ja mitmachen).

Es kann alles sein.

Sagen wir mal ich habe sechs Paprika

, Ich mach mir jetzt nicht so viel Mühe die schön zu malen,

so sieht Paprika ja nicht wirklich aus,

aber ich glaube man kann es erkennen.

also eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs.

und nun teilen wir das durch drei.

Eine Art uns das vorzustellen

ist das wir meine sechs Paprika

in drei gleichgroße Gruppen aufteilen wollen.

Man kann sich also vorstellen das 3 Leute die Paprika untereinander aufteilen wollen,

wieviele bekommt also jeder von ihnen?

Lass sie uns also in drei Gruppen aufteilen.

Also sechs Paprika

und ich teile sie in drei Gruppen auf.

Also der beste Weg um sie in drei Gruppen aufzuteilen ist

ich male die erste Gruppe hier, eine zweite Gruppe hier

und eine dritte Gruppe hier unten.

Und wieviele Paprika sind dann in jeder der Gruppen?

Jede hat eins, zwei. Zwei Paprika.

Eins, Zwei.

Eins, Zwei Paprika.

Also ist sechs geteilt durch drei gleich zwei

Also ist der beste Weg sich das vorzustellen,

das du sechs in drei Gruppen aufteilst.

Man kann sich das auch auf eine andere Art ansehen,

auch wenn das nur ein bisschen anders ist,

aber es ist eine gute Art sich das so zu denken.

Du kannst es dir auch denken wie sechs geteilt durch 3.

Also nochmal, sagen wir mal du hast drei Himbeeren (die sind einfacher zu malen)

eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht.

Aber anstatt die wie eben in drei Gruppen aufzuteilen,

das war Gruppe eins, Gruppe zwei, Gruppe drei.

Anstatt es in drei gruppen aufzuteilen,

würde ich nun mal versuchen zu sagen,

wenn ich sechs durch drei teilen möchte, dann teile ich es in Gruppen von je drei Himbeeren.

Nicht in drei Gruppen,

sondern in Gruppen aus drei Himbeeren,

Also wieviele Gruppen von je drei Himbeeren werde ich bekommen?

Ich male mal ein paar Gruppen von je drei.

Also das ist eine Gruppe von drei.

und das ist eine zweite Gruppe von drei.

Wenn ich also sechs Dinge nehme und sie in Gruppen von jeweils drei aufteile,

dann bekomme ich eins, zwei Gruppe.

Das wäre ein anderer Weg sich Division vorzustellen.

Und das ist eine interessante Sache.

Wenn man über diese beiden Sichtweisen nachdenkt,

dann bemerkt man eine Verbindung zwischen sechs geteilt durch drei und sechs geteilt durch zwei.

Ich versuche das mal zu zeigen.

Was ist sechs geteilt durch zwei,

mit dem im Hinterkopf was ich gerade gesagt habe?

sechs geteilt durch zwei, wenn man das so macht

ich male mal, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs.

Wenn wir die Aufgabe "6 geteilt durch 2" so auffassen, dass wir in zwei Gruppen aufteilen,

dann könnten dies eine Gruppe sein

und dies die andere Gruppe,

und jede Gruppe hätte dann 3 Elemente.

drei Dinge wären darin.

Also: 6 geteilt durch 2 ist 3.
(oder 6 dividiert durch 2 ist 3)

Man kann es aber auch anders betrachten.

Man könnte sagen dass 6 geteilt durch 2 bedeutet:

Man nimmt 6 Objekte

Und man teilt diese in Zweier-Gruppen auf,

wobei jede Gruppe 2 Elemente hat.

Und manchmal ist der einfachere Weg.

Wenn nun jede Gruppe zwei Elemente hat,
eine Gruppe hier

Die Gruppen müssen nicht einmal schön angeordnet sein,

Das könnte eine Gruppe sein,

und das könnte die andere Gruppe sein

Man muss die Gruppen nicht so zeichnen, dass sie schön aufeinander sind.

Das sind einfach nur Zweiergruppen .

Aber wie viele (Zweier-)Gruppen haben wir nun?

Das sind eins, zwei, drei.

Das sind 3 Gruppen.

Eine Bemerkung: es ist kein Zufall,
dass 6 geteilt durch 3 gleich 2 ist,

und 6 geteilt durch 2 gleich 3 ist.

Ich schreibe das mal hin.

Sechs geteilt durch drei ist gleich zwei,

und
sechs geteilt durch zwei ist gleich drei.

Wenn man sich die beiden Gleichungen ansieht,
sieht man dass man diese beiden Zahlen vertauschen kann.

Und das gilt, weil 2 mal 3 gleich 6 ist.

Angenommen ich habe 2 Gruppen mit je 3 Elementen.

Ich zeichne das mal hin: zwei 3er -Gruppen .

Hier ist die eine 3er Gruppe, da die andere.

Zwei Gruppen mit je 3 Elementen ergibt zusammen 6.

2 mal 3 ergibt 6.

Hier der andere Weg.

Wenn ich 3 Gruppen mit jeweils 2 Elementen habe ...

Eine 2er Gruppe ist hier.

Hier ist die andere 2er Gruppe.

Und hier noch die dritte 2er Gruppe.

Was ergibt das?

3 Gruppen mit jeweils zwei Elementen -- drei mal 2.

Das ergibt ebenfalls sechs.

Also: 2 mal 3 ergibt 6.

Und 3 mal 2 ergibt 6.

Wir wissen das vom Video über Multiplikation ...

... dass es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

Und das ist genau der Grund, wenn man eine Division ausführt,

wenn man in die andere Richtung geht ..

Wenn man 6 Dinge hat und möchte sie in 2er Gruppen aufteilen erhält man 3. (Es sind also drei 2er Gruppen).

Wenn man 6 Dinge hat und nöchte die in 3er Gruppen aufteilen dann erhält man zwei. (Zwei 3er Gruppen).

Wir machen noch ein paar weitere Übungen.

Es wird weiter klar machen, um was es bei der Division (beim Teilen) geht.

Jetzt kommt ein interessantes Problem.

Teilen wir 9 durch 4.

Um das zu tun zeichne ich mal 9 Objekte.

1-2-3-4-5-6-7-8-9.

Wenn wir also durch vier teilen ..

Ich möchte in Gruppen mit jeweils 4 Elementen aufteilen.

Wenn ich also in 4er Gruppen aufteilen will

Ich versuche das mal ...

Hier ist die eine 4er Gruppe

Ich habe einfach irgendwelche herausgesucht

Das ist eine 4er Gruppe

Und dann ist hier eine andere 4er Gruppe

Und dann bleibt mir noch dieses eine Ding übrig.

Wir könnten das als Rest bezeichnen.

Den kann ich nicht mehr in eine 4er Gruppe aufteilen.

Wenn ich durch vier teile

kann ich die 9 Elemente nur in zwei 4er Gruppen aufteilen.

Somit ist die Antwort - und das mag nun für manche ein neues Konzept sein -

9 geteilt durch 4 ergibt 2 Gruppen.

Eine Gruppe hier, und eine andere Gruppe da,

und dann habe ich noch einen Rest von 1.

Ich habe eins übrig das ich nicht aufteilen kann.

Rest - das bedeutet nun Rest 1,
(es bleibt ein Element übrig)

9 geteilt durch 4 ist also 2 Rest 1.

Wenn ich nun frage: was 12 geteilt durch 4 ist

Ich male also 12: 1-2-3-...12

Ich schreibe die Aufgabe hin.

12 geteilt durch 4.

Ich möchte also diese 12 Objekte

das könnten Pflaumen sein.

Und ich teile diese in 4er Gruppen
(in Gruppen mit 4 Pflaumen)

Das versuche ich jetzt

Das ist eine 4er Gruppe

Das ist eine andere 4er Gruppe

Und das ist ziemlich offensichtlich

Und hier habe ich die dritte 4er Gruppe.

Diese hier.

Und da bleibt nichts übrig wie im letzten Beispiel.

Ich kann 12 Objekte exakt in drei 4er Gruppen aufteilen.

1 - 2 - 3 Gruppen mit jeweils 4 Elementen.

Also: 12 geteilt durch 4 ergibt 3.

Jetzt können wir die Übung machen wie im letzten Video.

Was ist 12 geteilt durch 3?

Ich wähle eine andere Farbe.

12 geteilt durch 3.

Aufbauend auf dem was wir gerade gelernt haben ...

... können wir sagen, das ergibt 4.
Denn 3 mal 4 ergibt 12.

Aber das wollen wir jetzt nachweisen.

Also 1-2-3-....12

Das wollen wir jetzt in 3er Gruppen aufteilen.

Und die zeichne ich jetzt mal etwas ungewohnt.

Damit klar wird, dass diese Gruppen nicht immer so einfach und klar aussehen müssen.

Das hier ist eine 3er Gruppe

12 geteilt durch 3.

Das hier gibt eine weitere 3er Gruppe.

Und dann nehme ich diese 3er Gruppe

Und dann noch diese Gruppe hier.

Da wäre eine einfachere Möglichkeit gewesen, das aufzuteilen ...

... als diese seltsame Formen.

Aber ich wollte zeigen, dass es darauf nicht ankommt.

Wir teilen einfach nur in 3er Gruppen auf.

Und wie viele Gruppen haben wir?

Wir haben - hier eine Gruppe

Dann haben wir die zweite Gruppe

Und dann hier die dritte Gruppe

Und wir haben - da nehme ich jetzt eine andere Farbe -

Hier haben wir die vierte Gruppe.

Und somit haben wir genau 4 Gruppen.

Wenn ich gemeint habe, dass es einen einfacheren Weg gibt das aufzuteilen

Der einfachere Weg war offensichtlich -- oder auch nicht --

Wenn ich diese Elemente in 3er Gruppen aufteilen möchte,

Hätte ich das so machen können: 1 - 2 - 3 - 4
3er Gruppen

Egal welche Einteilung - ich teile jeweils 12 Objekte in 3er Gruppen auf.

Man kann sich die Gruppen so vorstellen.

Machen wir ein weiteres Beispiel mit Rest.

Hm..

Was ist 14 geteilt durch 5?

Wir wollen 14 Objekte malen

1-2-3-4- ... -14

14 Objekte

Und ich werde sie in 5er Gruppe aufteilen

Die einfachste Möglichkeit ist -
Hier ist eine 5er Gruppe

Das sind nun zwei Gruppen.

Aber hier sind nur noch 4 übrig.

Und damit kann ich keine 5er Gruppe mehr machen.

Die Antwort für die Aufgabe ist also: Ich kann 5er Gruppen machen

und mir bleibt dann noch ein Rest - "r" für Rest -
Ein Rest von 4.

2 Rest 4.

Wenn man genug Übung hat

wird man nicht mehr diese Kreise zeichnen wollen

um sie dann auf diese Art und Weise aufzuteilen.

Obwohl das nicht falsch wäre.

Man kann das Problem auch wie folgt angehen ...

14 geteilt durch 5 ...
Wie kann ich das herausfinden?

Das könnte ic hwie folgt aufschreiben

und da entsteht kein Schaden wenn ich das zeige

Man kann sagen: 14 geteilt durch 5 ist das gleiche wie:
14 - geteilt durch

dieses Zeichen soll "geteilt durch" sein -
geteilt durch 5

Und das geht nun wie folgt

Wie oft passt 5 in 14 ?

Schauen wir mal ..

5 mal
- und man macht sich diese Tabelle im Kopf-

5 mal 1 ergibt 5.

5 mal 2 ergibt 10.

Das ist immer noch kleiner 14. Also passt 5 mindestens 2 mal in 14.

5 mal 3 ergibt 15.

Nun, das ist größer als 14. Also muss ich eins zurück gehen.

Also geht 5 nur 2 mal in 14.

Also 2 mal

2 mal 5 ist 10

Und dann mancht man eine Subtraktion
(man zieht Zahlen voneinander ab)

Also: 14 minus 10 ergibt 4.

Und das ist der gleiche Rest wie hier.

Ich kann also 5 genau 2 mal in 14 unterbringen

Das sind also zwei 5er Gruppen.

Was letztlich 10 ergibt.

Und es bleiben immer noch 4 übrig.

Wir machen noch mehr Beispiele

um sicher zu gehen, dass das wirklich gut verstanden wird.

Ich will es in dieser Form aufschreiben

Die Aufgabe soll sein:
8 geteilt durch 2

.

Ich möchte das Ergebnis davon wissen.

Hier also ein Fragezeichen.

Ich könnte das auch so schreiben:
8 geteilt durch 2

In beiden Fällen rechne ich das so
(das mit den Kreisen kommt später)

hier nochmal ohne Kreise

Also: 2 mal 1 ergibt 2.

Das passt auf jedenfall in 8.

Man kann sich eine größere Zahl ausdenken, die in 8 passt

wenn man sie mit 2 multipliziert.

2 mal 2 ergibt 4.

Das ist immer noch kleiner als 8

2 mal 3 ergibt 6.

Immer noch kleiner als 8.

2 mal --
(oh , mit meinem Stift ist was seltsames passiert)

2 mal 4 ist ganz genau 8.

Somit passt 2 genau 4 mal in 8.

Also kann man hier hinschreiben:
2 passt in acht 4 mal

Oder: 8 geteilt durch 2 ergibt 4.

Wir können auch unsere Kreise malen

1 - 2 - 3 ... - 8

Ich habe die absichtlich unordentlich gemalt

Die wollen wir nun in 2er Gruppen aufteilen

Eine 2er Gruppe, zwei 2er Gruppen

drei 2er Gruppen,
vier 2er Gruppen.

Wenn ich also 8 Objekte in 2er Gruppen aufteile

erhält man 4 Gruppen.

8 geteilt durch 2 ergibt 4.

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