Cosmology Lecture 1

这个部分的题目是宇宙学

宇宙学是一门古老的学科

已有几千年的历史，不过我不会讲这几千年的内容

几千年是从希腊人的记载开始算的

我们的课程不会介绍那么古老的历史

我们最多会回到20世纪的第二个25年

也就是在哈勃望远镜发现宇宙正在膨胀的时期

关于宇宙学，我要多说几句

作为科学中的一门学科，它是很年轻的

至少我们了解的是如此

一分钟前说过，它是很古老的，从某种意义上来说

但现代意义的宇宙学是非常年轻的

在有哈勃望远镜一段时间之后

在发现了宇宙大爆炸

以及3度的微波背景辐射，也就是大爆炸的残留之后才算开始

当时是60年代，我还是个年轻的学生

在那之前，宇宙学在某种意义上不太像物理，更像是……

博物学家的学问...

研究一下这个，研究一下那个

某处发现一个有趣的恒星

某处发现了一个星系，看上去有点奇怪

分类，命名，测量，确定结论

但是已知信息实在不够准确，很难有精确的结论

直到前些年物理学家们才加入研究

当然，哪里都有物理学家

不过他们来研究宇宙学，是因为

你们看到的奇怪物体，有趣的恒星，星系等等

确实是物理系统

为了描述这些

他们用了角动量，描述物理系统的物理量都用上了

宇宙学涉及化学，所以物理化学家也来研究

但还是把宇宙当成物理系统处理

作为一个使用数学工具

有一系列物理原理和方程的系统

当然很早就有了一些方程，但那些是错的

与观测结果相符的正确的方程，精确的方程

出现得相对晚一些

时间上多少与我的物理职业生涯重合

大概有50年左右

这就是我们的学习内容 把宇宙作为一个系统来研究

把宇宙当一个能用方程描述的系统来研究

如果你不喜欢方程，那你来错地方了

好，现在从哪开始?

从观测开始

最先的观测，也许不一定是绝对真实

因为物理不是绝对的

不过看起来大致是对的

就是宇宙是是各向同性的

各向同性意味着，从这个方向，或那个，那个，那个方向看

当然如果对着恒星或者避开恒星看，是有点不一样的

不过总的来说，如果把天空中所有观测区域的结果平均一下

同时要看得够远，远离我们自己这个星系的周围

宇宙在各个方向看起来几乎一样

这个叫各向同性，在每个方向都一样

如果宇宙是各向同性的

有个例外我一会儿会讲

如果它在我们周围是各项同性

那你可以自信地打赌，宇宙差不多是均匀的

均匀并不是说它在每个方向都一样

而是在每个位置都一样

如果你离开这里，越过了……16个星系

然后看看周围，你大概会看到和这里一样的东西

所以首先，这个论据是什么？

为什么每个方向都相同的各向同性能说明

在很远的地方观察，结果一样

理由非常简单

假设有一些星系分布在某区域

顺便说一句，至少目前在第一部分，有一点不是很重要

称它们为星系还是粒子不重要

它们其实就是一些有质量的点，分布在空间各处

可能我偶尔口误，就把它们称为粒子

所以你们必须清楚，当我说粒子时，指的是星系

除非有特别说明

OK，宇宙里有许多星系

有人知道我们可见范围内的星系有多少吗？

大概1千亿个，10的11次方

有时候可以记一记某些有趣的数字

记一些数字还是蛮好的

在我们能看到的，能在望远镜里看到的范围内

天文上能探究的最大范围内

大约10^11个星系，每个都有10^11个恒星

加一起就是10的22次方颗恒星

如果每颗恒星有大约10个行星

那就是10^23，阿伏伽德罗常数颗的行星

摩尔……哈哈对

呃……行星，行星摩尔

想象我们现在在那里，从哪个方向看都差不多

接着自然会判断，不仅每个方向都一样

每一处也肯定都一样

如果各处不一样那意味着什么？

如果各向同性但不均匀，那只可能是有某种环

每个方向观察结果都一样，但不是…

哦，是球壳，有人说球壳

它的几何结构就类似球壳

Why？并不完全是球壳，它更像是…

（你懂的）

如果是个球壳

你到另一处来观察，肯定就没有各向同性了

所以为了让宇宙看起来是各向同性的

除非我们是恰好处在宇宙的中心

如果我们恰好在处在最中心，也许是偶然，也许是谁有意安排

所有天体都非常对称地围绕我们旋转

如果不相信这个，那就必须相信宇宙中每处几乎一样

这就是均匀的

均匀的意思是，在我们能看到的范围内

总的来说空间均匀地充满了粒子

均匀地分布

这个就叫宇宙学原理

为什么它是对的

怎么可能不对，这可是宇宙学原理

有时候就有人这样反驳

这个是对的，因为在一定精度范围内

观测结果就是如此

某些我不知道怎么评论的媒体报道说

某些天文学家显然是声称看到了某些结构，非常大

比方说这个黑板是整个可见的宇宙，光这些结构就占了好大一片

貌似和完全均匀的观点有点矛盾

当然，“完全均匀”的原理也没有那么严格

有星系存在，这个事实就说明各处其实不太一样

其实还有星系团和超星系团

所以并不是严格意义上的均匀

不过一般的星系团，从足够大的尺度来看

比如10亿光年左右，或者小一点

如果你在这个范围求平均值，那看起来就很均匀

我们就从这一基本事实开始

那处理物理问题的第一步是什么？

说得好，对，定义变量

一般来说应该是削铅笔

等削好铅笔，你就对变量都很清楚了

有一步很重要，我也说不清哪个在前哪个在后，就是…

当然，这是肯定的

不过现在介绍的是以前的，几十年前的

大概是60年代附近，50年代，60年代，40年代

宇宙学原理的观点，在有实际研究进展之前就提出来了

当时只是说：“就先说它是均匀的吧，就叫宇宙学原理，

如果有人问这为什么是对的，那是因为这是一个原理。”

但是，随着越来越多的天文学观测，最终，

宇宙微波背景辐射真的把它定实了

在某种意义上讲

原初的物质分布是极为光滑的，这个我们会讨论

这里有均匀的气体，气体内部存在相互作用

这是粒子气体，相互碰撞，每个粒子都与其他粒子相互作用

目前，总体上星系还是没有电荷，是电中性

但它们不是引力中性的

它们通过牛顿引力作用，引力是在大尺度上唯一一种重要的力

在大尺度上，物质倾向于形成电中性的状态

唯一重要的力是引力

所以引力把所有物质吸引到一起，或者把什么东西吸过来

但这有些令人费解

这一点发生了什么

它是向中心加速，因为这边有这么多物质

还是向那边加速，因为外边也有这么多的物质？

好像它不应该移动到哪里

应该不动，因为哪边的物质都一样多

所以它就应该待在那

那这边这个呢？

一样的，因为每处都是一样的

于是自然会猜测，宇宙肯定是静态的

全都不动，因为所有物质都没有受力，没有在任何方向受到牵引

但这是错的。我们今天将推导宇宙学的牛顿方程

你们可能听说过，宇宙虽然膨胀，但形态结构保持完好

这个一直没有得到解释，直到有广义相对论，直到有爱因斯坦

其实不是这么回事

从历史角度，从时间来说，也许是这样

确实，宇宙的膨胀直到爱因斯坦创立了广义相对论才被理解

从时间顺序看这是事实，但逻辑上不是如此

牛顿本也可以推导出宇宙的膨胀

既然牛顿没有，我们就按他聪明一点就可能想到的方法推一下

第一件事，当然是确定变量

不过第一步通常是建立坐标系

建立的方法就跟以前一样

将空间按坐标系划分

应该是三维的，不过我画的是二维

换句话说就是组建虚拟的网格

那么网格上相邻的点之间的距离设成多少呢？

一米，十米，一百万米，想设成多少都可以

不过有一件比设置网格间距更小的事情要做

这件小事就是，假设格点之间距离够小

这样所有点都在同一个星系内

换句话说，这些星系给出了一个网格

这个网格要符合的条件是，不管发生什么

只要这些星系分布精细均匀

不管怎样每个星系的位置都在网格的某一点上

不管怎样每个星系的位置都在网格的某一点上

这就意味着如果宇宙膨胀或者收缩

网格也随之膨胀或…

换个说法吧，如果星系之间有相对运动

可能是相互远离或相互靠近

那么网格也跟着移动

要选择合适的坐标系，让星系像是“冻”在网格上了

好像不太可能

如果星系是像这样，有的往这边，有的往那边，有的往那边

无规律的运动状态

那么根据星系来建坐标系就没戏了

因为就算是在同一点上，不同的星系也会朝不同的方向移动

但是你在天空中看到的景象不是这样的

你看到的是，天体的运动非常一致，好像一个个都挂在网格上

一个也许在膨胀也许在收缩的网格，这个之后会讲

整个网格像“冻住”了一样

相对运动的原因是网格胀大或者缩小

这就要测量相邻星系的间距

这些距离相对近一点的星系，并不是以非常大的速度相互运动

而是按一种精密协调的规律，就像我刚说的

所以，选一个坐标系，坐标轴命名为x、y、z

但xyz不是按长度来计量

因为网格间距可能会随时间变化

我们按格点位置来标记星系

然后就可以问…

比如说，关于距离的，两点的问题

从两个点的问题开始吧

两个点距离为x，这个间距命名为∆x

距离多远呢？

目前我不知道多远，但这个值我可以假设一下

用米或者其他物理上的长度单位，假设一个实际的距离

可以是一光年，可以是一百万光年

只是一个量度

实际的距离与∆x成正比

这两人之间的距离是这两个点距离的一半

这两点距离的三分之一

所以距离等于∆x乘一个参数

我们叫标度参数

标度参数可能是常量，也可能不是

可能是常量，如果是常量，那么星系间的距离

就在网格上固定了，就不随时间变化

但标度参数也可能随时间变化，所以我们让它变一变

那么两个星系间的距离…

设这个为星系a，这个为星系b

从a到b的距离是a(t)乘∆x ab

∆x是它们之间的坐标距离

来写写更普适的公式

有两个星系分别在网格的任意位置

那它们之间的距离

Dab，就等于a(t)乘……

按勾股定理

∆x的平方加∆y的平方加∆z的平方的和的平方根

换个说法就是，按网格的量度测量网格上的距离，然后乘a(t)

就得到了两点间的真实物理距离

刚说了，a(t)可能随时间变化，也可能不变化

它肯定是随时间变化的，如果不变化，等于说在空间上，星系真的“冻住”了，一动不动

我们看到的不是这样，我们看到星系有相互运动

现在来计算一下星系a和星系b间的相对运动速度吧

这个是两星系间的距离，这里应该是∆ab

这几个距离是在坐标轴上的投影

现在先用这个简单的方程

不用勾股定理，只考虑x轴方向

没关系的

现在有了Dab

a、b两星系相对运动速度是多大呢？

是它对时间的导数，对吧？

距离对时间的导数就是速度

a和b相对运动速度是这个对时间的导数

只有这个值在变

星系a和b已经固定在网格上了

所以∆x不变，已经固定了

可能只有a(标度参数)在变化

所以速度就只是a的导数

a上加一点，就是a的导数

a点和∆x相乘

目前完成的就是求这个公式的微分

然后写出速度对距离的比值

我没写……还是写上ab吧

速度对距离的比值，就是a点对a的比值

注意，∆x被消去了

这就很有意思，说明

速度对距离的比值，跟我们选择的是哪两个星系无关

任意一对星系

不管距离多远或多近

不管它们之间的连线在哪个方向

它们之间的相对速度

不管它们彼此是在靠近还是远离

速度对距离的比值等于a点除以a

看一看，这个值叫什么，有人知道吗

哈勃常数，这个叫哈勃常数

给它命名为H

它有可能是个常数吗？

称其为(哈勃)常数是什么意思？

没理由跟时间无关的，而且也确实不是无关

从这里可以看到它跟x无关

观测者的位置，选哪两个星系，都没有影响

时间给定的话，哈勃常数是一个确定的值

所以称其为哈勃常数不是很恰当

哈勃……（想一想，不叫常数该叫什么呢）

哈勃……参数，哈勃函数

哈勃函数与位置无关，但跟时间是有关的

现在按标准形式来写

宇宙内任意两星系间的相对速度

都等于哈勃参数乘它们之间的距离

哈勃定律就推出来了

对，对，肯定的

嗯

如果哈勃没有发现哈勃定律是对的

你也不可能会作这些推导

但是从另一个角度看

哈勃定律也没有那么惊人

有些……奇葩说

最快的马走得最远，没什么好惊讶的

行

运动越快，就越是能早到达更远的地方

这就是哈勃定律的意义，但是

有趣的是这个公式和哈勃公式

就像你说的，很接近

但是这个公式是说，一切物质都在网格上移动

是网格本身的大小

可能随时间变化，可能不变

当然网格大小是随时间变化的

哈勃常数只是a点对a的比值

以上就是事实

这是哈勃的发现

也是理论宇宙学家的工作基础

关于这个再多说一些

说一下某区域内的质量

选一个尺度为∆x∆y∆z的区域

要足够大

大到……我的宇宙哪去了

本来在这里的

选的区域要大到

让所有小的结构都可以放一起平均计算

质量总共是多少？

质量是跟∆x、∆y、∆z成正比的

区域划得越大，质量就越大

质量的值设为nu

nu只是网格上一个单位体积内的质量

但是这里的体积不是用“米”来度量的

而是用x

所以这是坐标量∆x、∆y、∆z对应的体积内的质量

换句话说，这个区域的确切的体积怎么表示？

这么说吧，这个区域的体积

这个区域的体积不是∆x∆y∆z

Why？

因为这个区域的尺度，在x、y、z轴上的投影

并不是∆x，而是a乘∆x

也就是说同样的一个格子

同样的一个格子体积是a^3乘∆x∆y∆z

right？

因为在x轴上的长度

是a乘∆x，a乘∆y，a乘∆z

接下来写质量密度的方程

现在说的密度就是质量的物理上的密度

每立方千米的质量，每立方光年的质量

其他单位也可以

我们暂时还没有确定单位

稍后会确定的

米就挺好

米，秒和千克挺好的

用千克度量质量

用立方米度量体积

密度怎么表示呢？

密度的术语是𝞀，我也不知道为什么，𝞀就是密度，写一下，密度，密度的含义是，如果你愿意，就是每立方米的千克数

是质量对体积的比值，在这里写作𝝼除以a的立方，这就是我们现有的方程，𝝼除以a的立方。每个格子内的质量是固定的，为什么？因为星系的分布是跟着网格变动的，所以网格上固定区域内的质量是一定的。

就是𝝼除以体积，然后得到密度。当然，如果a随时间变化，密度也就随时间变化，这是显而易见的。如果宇宙膨胀，密度就变小，如果坍缩，密度就变大，这个公式我们之后会反复用到

目前我们还没有用到欧几里得的数学，甚至连牛顿的物理也没用到。现在牛顿来了，牛顿说，不要玩游戏了，忘掉…… 考虑宇宙是均匀的，以及其他条件。但牛顿是个非常非常自我中心的人，始终相信他就是宇宙中心。

所以他会很自然地认为，我，牛顿，我在原点。当然，我们知道，牛顿也知道，如果他聪明的话，不管他人在哪，都会得出一样的方程。选择合适的网格，使得牛顿和我们能在网格的中心，本身并没有错。

其他的东西都围着牛顿，而牛顿更是说，我没有在运动，没有在运动，我是静止的。牛顿是静止在宇宙中心的，出于……数学计算的目的。当然，我们是在一定尺度下讨论问题，所以系统内物体可以看作是均匀分布的。

现在来看一个远处的星系，这里的一个星系。有谁知道这个星系是怎么运动的吗？星系的运动是基于牛顿的公式的假设。牛顿的公式表明所有物体都和其他物体相互吸引。

牛顿的定律有一点特殊，牛顿懂他的定律，毕竟是牛顿定律，牛顿定律说什么呢？如果你想知道一个系统内引力的大小，每个物体都是独立的，不需要完全均匀，每个物体都是独立的

要求出我画的这个参考系里的引力，要求出这个…粒子所受的引力，然后画一个球，那个粒子在球的表面，原点设在球心，设球内所有质量都在球心，只是假设，不是真的都放这里。只是假设宇宙内只有原点处有质量

那球外边呢？球外的质量？忽略掉。

牛顿定律表明，像这样的孤立系统内，作用在一个粒子上的力，

全部来自于，以粒子到球心的距离为半径的球体内部，跟外部无关

我想之前的课里有证明过

经典力学，我记不清了

不过这是真的

这个是正确的定理

这个定理是正确的

这就是为什么我们

在估算这支笔上的重力场时

可以假设地球所有质量都聚集在地心

估算这里的重力场时

要记得地球是个球

要记得地球的质量是很均匀的

所以，我可以假设所有质量聚集在球心

当然，直到这支笔掉到地上

有人就要说，不对，地球质量不是……

在它掉地上之前，假设(地球)所有质量聚集在地心

此外，在这个范围外的质量，在外面

即便是有很多质量，确实是有很多

我不是说天花板的质量

是外边的星系的质量

有更多质量，但是这支笔是感觉不到的

只能感觉到球内的物质

所以牛顿说，我要做的事情是

对这个星系进行计算

这个星系（和原点）有一段距离，距离是多少呢

距离是D

这个距离是 (x^2 +y^2+z^2)的平方根

这个距离是 (x^2 +y^2+z^2)的平方根

x^2 ，y^2，z^2，这一点的坐标

再乘a

和中心的距离

你们能看清吗？红色的字，我不知道为什么用了红色

刚开始只是要做标记，红色看得清吗？好

这个距离是 (x^2 +y^2+z^2)的平方根，勾股定理

乘上a，得到真实的距离

可以改写为……D等于a(t)…把这些都改写为R，大写的R

R不是以米来度量的

仅仅是 (x^2 +y^2+z^2)的平方根

是从中心到这个星系的距离

牛顿的方程涉及力和加速度

所以首先要计算x的加速度

星系在x点处，相对于原点的加速度

首先，速度

速度是V，等于a(t)加一点，乘上R

那加速度呢？再微分一次就是加速度

加速度是a(t)加两点，乘上R

需要担心R随时间变化吗？

不用，因为星系处在这些膨胀网格的一个固定点上

对于这个星系，R是不变的

所以这就是加速度了

还可以乘上这个星系的质量，如果想乘的话

但是没有必要，只是要算加速度

那么这个等于什么？

等于球面内所有能产生引力的物质让它产生的加速度