Integrais Triplas 1

Introdução à Integral Tripla

Digamos que eu queira achar o volume
de um paralelepípedo retangular

cuja dimensão x é

igual ou maior que zero,

e menor ou igual a três.

A dimensão y é maior
ou igual a zero,

e menor ou igual a quatro.

E a dimensão z, é maior
ou igual a zero

e menor ou igual a dois.

Usando geometria básica
poderíamos facilmente

calcular esse volume,
multiplicando a largura

vezes a altura
vezes a profundidade.

Aqui vamos
resolver esse problema

usando a integral tripla,
e mostrar a sua relação com

a integral dupla, para que
no futuro,

possamos resolver problemas
mais complexos.

Primeiro desenhamos
esse volume.

Os eixos
x, z e y.

x, y, z

Sabemos que x tem
valores entre zero e três.

Aqui x é igual a zero.

Marcamos um, dois
e três em x.

y é entre
zero e quatro.

um, dois, três, quatro.

O plano x-y
fica assim.

Essa é a base
do paralelepípedo.

A dimensão z está
entre zero e dois.

Zero é o plano x-y,
e em z marcamos

um, dois.

Aqui é a altura.

Vou usar uma cor diferente.

Este é o plano x-z.

Temos uma aresta aqui,
e seguimos assim--

Outra aresta aqui,
e seguimos assim

e uma aresta aqui.

Queremos calcular o volume
desse paralelepípedo.

E você sabe como: a profundidade é três.
A largura, quatro.

Essa base é igual 12
vezes a altura.

12 vezes dois é igual a 24.

O volume é de 24
unidades cúbicas,

ou seja lá que unidade
estamos usando.

Vamos calcular isso
usando a integral tripla.

O que é uma
integral tripla?

Imagine se pudêssemos
calcular um volume de uma pequena--

não quero usar a palavra área--
Digamos calcular o volume

de um cubo bem pequeno

inserido aqui.

Isso vai fazer mais sentido,
e ser mais útil quando

tivermos limites variáveis,
e superfícies ou curvas como limites

Digamos que queremos calcular
o volume desse pequeno cubo.

Esse é o cubo.
Inserido no paralelepípedo.

Qual é o
volume desse cubo?

Digamos que sua
largura seja dy.

A altura seja dz, certo?

No meu desenho,
z varia na vertical.

E a profundidade seja dx.

Aqui temos dz.

E aqui dy.

Digamos que esse
volume menor,

inserido no volume maior--
vamos chamá-lo de dv --

seja um tipo de
volume diferencial.

E isso será igual à

profundidade vezes largura vezes altura.

dx vezes dy vezes dz.

Pode-se mudar
a ordem desses termos,

pois a multiplicação
é associativa.

Ou seja, a ordem
dos termos não importa.

Prosseguindo, o que podemos
fazer com esse volume?

Bem, poderíamos
tomar a integral.

As integrais servem para
calcular somas infinitas de

distâncias infinitamente pequenas,

tais como dz, dx, dy, etc.

Vamos considerar esse cubo,

e somá-lo várias vezes
na direção de z.

Somá-lo para cima e para baixo,
ao longo do eixo z,

resultando no volume de uma coluna.
Como seria isso?

Como estamos somando
os pequenos cubos na vertical,

ao longo do eixo z,

teremos uma integral.

Qual é o menor valor de z?

z é igual a zero.

E o limite superior de z?

Ou seja, se adicionarmos
cubos na vertical

até chegar no plano superior,

qual é o limite?
Z é igual a dois.

E agora vamos somar esses dvs.

Vou somar o dz primeiro,

para reforçar que faremos

a integral de z primeiro.

Faremos y em seguida.

E por último x.

Então, essa integral,
do jeito que escrevi,

calcula o volume de uma coluna,
para qualquer valores de x e y.

Ela é uma função de x e y,
mas como estamos lidando

com todas as constantes aqui,

esse valor será
uma constante.

Ele representa o valor constante

do volume de cada
uma dessas colunas.

Essencialmente, equivale
a duas vezes dy vezes dx.

Pois a altura dessa
coluna é dois.

Sua largura e profundidade
são dy e dx.

E se queremos calcular o valor
de uma coluna inteira?

-- até aqui descobrimos apenas
a altura de uma coluna.

Para isso somamos agora
todas as colunas

na direção do eixo y.

Para somar as colunas
na direção de y

usamos essa outra integral,
para a soma dos valores em y.

Y assume valores
entre zero e quatro.

Escrevi essa integral muito para esquerda.
Mas acho que vocês entenderam.

Y é igual a zero, até y é igual a quatro.

E isso nos dará o volume de um plano

paralelo ao plano zy.

E então somamos alguns
desse planos na direção x

e teremos o volume de toda a figura.

Então, somamos
os planos

na direção de x,

para valores de x
entre zero e três.

Esse é um cálculo

bem simples e direto.

Primeiro, calculamos a integral de z.

Não temos nenhuma
constante aqui, mas

podemos assumir
que seja igual a um.

Isto é, dz vezes dy
vezes dx equivale a

um vezes dz vezes
dy vezes dx.

Então qual é
o valor dessa integral?

Bom, a antiderivada
de um relativa a z é z, correto?

Pois a derivada de z
é igual a um.

Calculamos isso para
o intervalo entre dois e zero.

Dois menos zero.

O que é igual a 2.

Em seguida integramos em y,

para y entre zero e quatro,

vezes dy.

E aqui temos x.

De x igual a zero,
à x igual a três dx.

Observe que após termos
integrado com relação a z,

ficamos com uma integral dupla.

E essa integral dupla é a mesma que

vimos nos vídeos
anteriores sobre este tema,

na quais z era uma
função de x e y.

Portanto, poderíamos
ter escrito z como função

de x e y, onde
z é sempre igual a dois.

Z é uma função constante,

independente de x e y.

Se tivéssemos definido
z dessa forma,

e calculado
o volume abaixo

da superfície z igual a dois -
veja aqui a superfície -

teríamos chegado aqui.

Com a integral tripla,

não foi nada diferente.

Você pode estar se perguntando,
por que as usamos?

Vou te mostrar isso um momento.

Continuando, para calcular isso

tomamos a antiderivada de y,

que equivale a dois y.

Temos dois y calculados
para quatro e zero.

Isto é, dois vezes quatro.

Então, oito menos zero.

Em seguida integramos isso

em relação a x entre zero e três.

Isso dá oito x, entre zero e três.

O que é igual a 24 unidades cúbicas.

A pergunta óbvia é então:
para que serve a integral tripla?

Bom, quando
temos um volume

limitado por um
valor constante,

você só precisaria realmente
da integral dupla.

Mas e se eu dissesse
que o objetivo

não é saber o volume
dessa figura geométrica?

O objetivo é calcular a
massa dessa figura geométrica.

E mais ainda,
suponha que a massa

dessa figura, área, ou volume,
não seja uniforme.

Se a massa fosse uniforme,
bastaria multiplicar

a sua densidade uniforme
pelo seu volume, para obter essa massa.

Suponha que a
densidade seja variável.

Por exemplo, o
volume de um gás,

ou de um material
composto por substâncias variadas.

Digamos que a densidade seja
uma função variável.

de x, y e z.

E que a densidade,
representada pelo símbolo ró,

que se parece um p
e é usado na Física densidade,

seja uma função
de x, y e z.

Para simplificar, vamos fazer
x vezes y vezes z.

Para calcular a massa de
qualquer volume pequeno aqui,

multiplicamos esse volume
pela densidade, certo?

Sabe-se que a unidade
usada para densidade

é quilograma por
metro cúbico.

Multiplicando-se por metros cúbicos,
temos quilogramas.

Vamos denotar a massa por d.

d não é uma função, por isso
não queremos parênteses aqui,

Portanto, para uma massa
bem pequena,

isso equivale à sua densidade
neste ponto, que é xyz,

vezes o volume dessa
massa diferencial.

Vamos denotar o volume
dessa massa pequena por dv.

Sabemos que dv equivale
ao produto

da largura pela altura pela profundidade.

Contudo dv não é sempre
o produto de dx, dy e dz.

Trabalhando com
outras coordenadas,

coordenadas polares, por exemplo,
dv será diferente.

Veremos casos assim em breve.

Se queremos calcular a massa,

e como as coordenadas
são retangulares,

isso equivale à função
densidade nesse ponto,

multiplicado
pelo volume diferencial.

vezes dx vezes dy vezes dz.

Obviamente podemos
mudar a ordem dos termos.

Portanto, quando você quer
calcular o volume--

--para calcular a massa--
o que farei no próximo vídeo,

você terá que integrar essa função aqui.

Ao invés de simplesmente
uma sobre z, y e x.

Faremos isso no próximo vídeo.

Você verá que isso
envolve basicamente

calcular antiderivadas e evitar
erros por descuido.

Até o próximo vídeo!

Legendado por Maria Oberlander
Revisado por Clara Nascimento Silva