Digamos que eu queira achar o volume de um paralelepípedo retangular
cuja dimensão x é
igual ou maior que zero,
e menor ou igual a três.
A dimensão y é maior ou igual a zero,
e menor ou igual a quatro.
E a dimensão z, é maior ou igual a zero
e menor ou igual a dois.
Usando geometria básica poderíamos facilmente
calcular esse volume, multiplicando a largura
vezes a altura vezes a profundidade.
Aqui vamos resolver esse problema
usando a integral tripla, e mostrar a sua relação com
a integral dupla, para que no futuro,
possamos resolver problemas mais complexos.
Primeiro desenhamos esse volume.
Os eixos x, z e y.
x, y, z
Sabemos que x tem valores entre zero e três.
Aqui x é igual a zero.
Marcamos um, dois e três em x.
y é entre zero e quatro.
um, dois, três, quatro.
O plano x-y fica assim.
Essa é a base do paralelepípedo.
A dimensão z está entre zero e dois.
Zero é o plano x-y, e em z marcamos
um, dois.
Aqui é a altura.
Vou usar uma cor diferente.
Este é o plano x-z.
Temos uma aresta aqui, e seguimos assim--
Outra aresta aqui, e seguimos assim
e uma aresta aqui.
Queremos calcular o volume desse paralelepípedo.
E você sabe como: a profundidade é três. A largura, quatro.
Essa base é igual 12 vezes a altura.
12 vezes dois é igual a 24.
O volume é de 24 unidades cúbicas,
ou seja lá que unidade estamos usando.
Vamos calcular isso usando a integral tripla.
O que é uma integral tripla?
Imagine se pudêssemos calcular um volume de uma pequena--
não quero usar a palavra área-- Digamos calcular o volume
de um cubo bem pequeno
inserido aqui.
Isso vai fazer mais sentido, e ser mais útil quando
tivermos limites variáveis, e superfícies ou curvas como limites
Digamos que queremos calcular o volume desse pequeno cubo.
Esse é o cubo. Inserido no paralelepípedo.
Qual é o volume desse cubo?
Digamos que sua largura seja dy.
A altura seja dz, certo?
No meu desenho, z varia na vertical.
E a profundidade seja dx.
Aqui temos dz.
E aqui dy.
Digamos que esse volume menor,
inserido no volume maior-- vamos chamá-lo de dv --
seja um tipo de volume diferencial.
E isso será igual à
profundidade vezes largura vezes altura.
dx vezes dy vezes dz.
Pode-se mudar a ordem desses termos,
pois a multiplicação é associativa.
Ou seja, a ordem dos termos não importa.
Prosseguindo, o que podemos fazer com esse volume?
Bem, poderíamos tomar a integral.
As integrais servem para calcular somas infinitas de
distâncias infinitamente pequenas,
tais como dz, dx, dy, etc.
Vamos considerar esse cubo,
e somá-lo várias vezes na direção de z.
Somá-lo para cima e para baixo, ao longo do eixo z,
resultando no volume de uma coluna. Como seria isso?
Como estamos somando os pequenos cubos na vertical,
ao longo do eixo z,
teremos uma integral.
Qual é o menor valor de z?
z é igual a zero.
E o limite superior de z?
Ou seja, se adicionarmos cubos na vertical
até chegar no plano superior,
qual é o limite? Z é igual a dois.
E agora vamos somar esses dvs.
Vou somar o dz primeiro,
para reforçar que faremos
a integral de z primeiro.
Faremos y em seguida.
E por último x.
Então, essa integral, do jeito que escrevi,
calcula o volume de uma coluna, para qualquer valores de x e y.
Ela é uma função de x e y, mas como estamos lidando
com todas as constantes aqui,
esse valor será uma constante.
Ele representa o valor constante
do volume de cada uma dessas colunas.
Essencialmente, equivale a duas vezes dy vezes dx.
Pois a altura dessa coluna é dois.
Sua largura e profundidade são dy e dx.
E se queremos calcular o valor de uma coluna inteira?
-- até aqui descobrimos apenas a altura de uma coluna.
Para isso somamos agora todas as colunas
na direção do eixo y.
Para somar as colunas na direção de y
usamos essa outra integral, para a soma dos valores em y.
Y assume valores entre zero e quatro.
Escrevi essa integral muito para esquerda. Mas acho que vocês entenderam.
Y é igual a zero, até y é igual a quatro.
E isso nos dará o volume de um plano
paralelo ao plano zy.
E então somamos alguns desse planos na direção x
e teremos o volume de toda a figura.
Então, somamos os planos
na direção de x,
para valores de x entre zero e três.
Esse é um cálculo
bem simples e direto.
Primeiro, calculamos a integral de z.
Não temos nenhuma constante aqui, mas
podemos assumir que seja igual a um.
Isto é, dz vezes dy vezes dx equivale a
um vezes dz vezes dy vezes dx.
Então qual é o valor dessa integral?
Bom, a antiderivada de um relativa a z é z, correto?
Pois a derivada de z é igual a um.
Calculamos isso para o intervalo entre dois e zero.
Dois menos zero.
O que é igual a 2.
Em seguida integramos em y,
para y entre zero e quatro,
vezes dy.
E aqui temos x.
De x igual a zero, à x igual a três dx.
Observe que após termos integrado com relação a z,
ficamos com uma integral dupla.
E essa integral dupla é a mesma que
vimos nos vídeos anteriores sobre este tema,
na quais z era uma função de x e y.
Portanto, poderíamos ter escrito z como função
de x e y, onde z é sempre igual a dois.
Z é uma função constante,
independente de x e y.
Se tivéssemos definido z dessa forma,
e calculado o volume abaixo
da superfície z igual a dois - veja aqui a superfície -
teríamos chegado aqui.
Com a integral tripla,
não foi nada diferente.
Você pode estar se perguntando, por que as usamos?
Vou te mostrar isso um momento.
Continuando, para calcular isso
tomamos a antiderivada de y,
que equivale a dois y.
Temos dois y calculados para quatro e zero.
Isto é, dois vezes quatro.
Então, oito menos zero.
Em seguida integramos isso
em relação a x entre zero e três.
Isso dá oito x, entre zero e três.
O que é igual a 24 unidades cúbicas.
A pergunta óbvia é então: para que serve a integral tripla?
Bom, quando temos um volume
limitado por um valor constante,
você só precisaria realmente da integral dupla.
Mas e se eu dissesse que o objetivo
não é saber o volume dessa figura geométrica?
O objetivo é calcular a massa dessa figura geométrica.
E mais ainda, suponha que a massa
dessa figura, área, ou volume, não seja uniforme.
Se a massa fosse uniforme, bastaria multiplicar
a sua densidade uniforme pelo seu volume, para obter essa massa.
Suponha que a densidade seja variável.
Por exemplo, o volume de um gás,
ou de um material composto por substâncias variadas.
Digamos que a densidade seja uma função variável.
de x, y e z.
E que a densidade, representada pelo símbolo ró,
que se parece um p e é usado na Física densidade,
seja uma função de x, y e z.
Para simplificar, vamos fazer x vezes y vezes z.
Para calcular a massa de qualquer volume pequeno aqui,
multiplicamos esse volume pela densidade, certo?
Sabe-se que a unidade usada para densidade
é quilograma por metro cúbico.
Multiplicando-se por metros cúbicos, temos quilogramas.
Vamos denotar a massa por d.
d não é uma função, por isso não queremos parênteses aqui,
Portanto, para uma massa bem pequena,
isso equivale à sua densidade neste ponto, que é xyz,
vezes o volume dessa massa diferencial.
Vamos denotar o volume dessa massa pequena por dv.
Sabemos que dv equivale ao produto
da largura pela altura pela profundidade.
Contudo dv não é sempre o produto de dx, dy e dz.
Trabalhando com outras coordenadas,
coordenadas polares, por exemplo, dv será diferente.
Veremos casos assim em breve.
Se queremos calcular a massa,
e como as coordenadas são retangulares,
isso equivale à função densidade nesse ponto,
multiplicado pelo volume diferencial.
vezes dx vezes dy vezes dz.
Obviamente podemos mudar a ordem dos termos.
Portanto, quando você quer calcular o volume--
--para calcular a massa-- o que farei no próximo vídeo,
você terá que integrar essa função aqui.
Ao invés de simplesmente uma sobre z, y e x.
Faremos isso no próximo vídeo.
Você verá que isso envolve basicamente
calcular antiderivadas e evitar erros por descuido.
Até o próximo vídeo!
Legendado por Maria Oberlander Revisado por Clara Nascimento Silva