1
00:00:00,000 --> 00:00:03,419
Digamos que eu queira achar o volume
de um paralelepípedo retangular

2
00:00:03,419 --> 00:00:06,610
cuja dimensão x é

3
00:00:06,610 --> 00:00:08,780
igual ou maior que zero,

4
00:00:08,780 --> 00:00:11,780
e menor ou igual a três.

5
00:00:11,780 --> 00:00:14,600
A dimensão y é maior
ou igual a zero,

6
00:00:14,600 --> 00:00:17,000
e menor ou igual a quatro.

7
00:00:17,000 --> 00:00:20,830
E a dimensão z, é maior 
ou igual a zero

8
00:00:20,830 --> 00:00:23,305
e menor ou igual a dois.

9
00:00:23,305 --> 00:00:26,040
Usando geometria básica
poderíamos facilmente

10
00:00:26,040 --> 00:00:29,810
calcular esse volume,
multiplicando a largura

11
00:00:29,810 --> 00:00:31,570
vezes a altura 
vezes a profundidade.

12
00:00:31,570 --> 00:00:34,210
Aqui vamos
resolver esse problema

13
00:00:34,210 --> 00:00:36,710
usando a integral tripla,
e mostrar a sua relação com

14
00:00:36,710 --> 00:00:38,430
a integral dupla, para que
no futuro,

15
00:00:38,430 --> 00:00:40,460
possamos resolver problemas
mais complexos.

16
00:00:40,460 --> 00:00:44,360
Primeiro desenhamos
esse volume.

17
00:00:44,360 --> 00:00:56,690
Os eixos 
x, z e y.

18
00:00:56,690 --> 00:00:59,650
x, y, z

19
00:00:59,650 --> 00:01:01,910
Sabemos que x tem
valores entre zero e três.

20
00:01:01,910 --> 00:01:03,070
Aqui x é igual a zero.

21
00:01:03,070 --> 00:01:09,120
Marcamos um, dois
e três em x.

22
00:01:09,120 --> 00:01:10,570
y é entre
zero e quatro.

23
00:01:10,570 --> 00:01:13,220
um, dois, três, quatro.

24
00:01:13,220 --> 00:01:15,450
O plano x-y
fica assim.

25
00:01:15,450 --> 00:01:20,510
Essa é a base
do paralelepípedo.

26
00:01:20,510 --> 00:01:22,240
A dimensão z está
entre zero e dois.

27
00:01:22,240 --> 00:01:23,920
Zero é o plano x-y,
e em z marcamos

28
00:01:23,920 --> 00:01:25,510
um, dois.

29
00:01:25,510 --> 00:01:27,130
Aqui é a altura.

30
00:01:27,130 --> 00:01:30,600
Vou usar uma cor diferente.

31
00:01:30,600 --> 00:01:34,520
Este é o plano x-z.

32
00:01:34,520 --> 00:01:38,330
Temos uma aresta aqui,
e seguimos assim--

33
00:01:38,330 --> 00:01:41,260
Outra aresta aqui,
e seguimos assim

34
00:01:41,260 --> 00:01:43,690
e uma aresta aqui.

35
00:01:43,690 --> 00:01:46,090
Queremos calcular o volume
desse paralelepípedo.

36
00:01:46,090 --> 00:01:51,503
E você sabe como: a profundidade é três.
A largura, quatro.

37
00:01:51,503 --> 00:01:53,290
Essa base é igual 12
vezes a altura.

38
00:01:53,290 --> 00:01:55,170
12 vezes dois é igual a 24.

39
00:01:55,170 --> 00:01:57,606
O volume é de 24 
unidades cúbicas,

40
00:01:57,606 --> 00:01:59,500
ou seja lá que unidade
estamos usando.

41
00:01:59,500 --> 00:02:01,990
Vamos calcular isso
usando a integral tripla.

42
00:02:01,990 --> 00:02:03,640
O que é uma 
integral tripla?

43
00:02:03,640 --> 00:02:08,100
Imagine se pudêssemos 
calcular um volume de uma pequena--

44
00:02:08,100 --> 00:02:10,970
não quero usar a palavra área--
Digamos calcular o volume

45
00:02:10,970 --> 00:02:14,880
de um cubo bem pequeno

46
00:02:14,880 --> 00:02:18,066
inserido aqui.

47
00:02:18,066 --> 00:02:20,550
Isso vai fazer mais sentido,
e ser mais útil quando

48
00:02:20,550 --> 00:02:24,603
tivermos limites variáveis,
e superfícies ou curvas como limites

49
00:02:24,603 --> 00:02:29,544
Digamos que queremos calcular
o volume desse pequeno cubo.

50
00:02:29,544 --> 00:02:35,472
Esse é o cubo.
Inserido no paralelepípedo.

51
00:02:35,472 --> 00:02:36,790
Qual é o
volume desse cubo?

52
00:02:36,790 --> 00:02:44,000
Digamos que sua 
largura seja dy.

53
00:02:44,010 --> 00:02:49,680
A altura seja dz, certo?

54
00:02:49,680 --> 00:02:51,840
No meu desenho, 
z varia na vertical.

55
00:02:51,840 --> 00:02:55,940
E a profundidade seja dx.

56
00:02:55,940 --> 00:02:56,750
Aqui temos dz.

57
00:02:56,750 --> 00:02:57,720
E aqui dy.

58
00:02:57,720 --> 00:03:01,270
Digamos que esse
volume menor,

59
00:03:01,270 --> 00:03:04,830
inserido no volume maior--
vamos chamá-lo de dv --

60
00:03:04,830 --> 00:03:06,750
seja um tipo de 
volume diferencial.

61
00:03:06,750 --> 00:03:10,290
E isso será igual à

62
00:03:10,290 --> 00:03:12,730
profundidade vezes largura vezes altura.

63
00:03:12,730 --> 00:03:15,950
dx vezes dy vezes dz.

64
00:03:15,950 --> 00:03:17,760
Pode-se mudar
a ordem desses termos,

65
00:03:17,760 --> 00:03:20,650
pois a multiplicação
é associativa.

66
00:03:20,650 --> 00:03:22,640
Ou seja, a ordem
dos termos não importa.

67
00:03:22,640 --> 00:03:25,190
Prosseguindo, o que podemos 
fazer com esse volume?

68
00:03:25,190 --> 00:03:27,770
Bem, poderíamos
tomar a integral.

69
00:03:27,770 --> 00:03:31,260
As integrais servem para 
calcular somas infinitas de

70
00:03:31,260 --> 00:03:34,800
distâncias infinitamente pequenas,

71
00:03:34,800 --> 00:03:38,240
tais como dz, dx, dy, etc.

72
00:03:38,240 --> 00:03:41,620
Vamos considerar esse cubo,

73
00:03:41,620 --> 00:03:45,370
e somá-lo várias vezes
na direção de z.

74
00:03:45,370 --> 00:03:50,540
Somá-lo para cima e para baixo,
ao longo do eixo z,

75
00:03:50,540 --> 00:03:54,540
resultando no volume de uma coluna.
Como seria isso?

76
00:03:54,550 --> 00:03:56,930
Como estamos somando
os pequenos cubos na vertical,

77
00:03:56,930 --> 00:04:00,670
ao longo do eixo z,

78
00:04:00,670 --> 00:04:02,610
teremos uma integral.

79
00:04:02,610 --> 00:04:04,655
Qual é o menor valor de z?

80
00:04:04,655 --> 00:04:07,830
z é igual a zero.

81
00:04:07,830 --> 00:04:09,280
E o limite superior de z?

82
00:04:09,280 --> 00:04:12,450
Ou seja, se adicionarmos
cubos na vertical

83
00:04:12,450 --> 00:04:14,360
até chegar no plano superior,

84
00:04:14,360 --> 00:04:20,580
qual é o limite?
Z é igual a dois.

85
00:04:20,580 --> 00:04:24,870
E agora vamos somar esses dvs.

86
00:04:24,870 --> 00:04:26,130
Vou somar o dz primeiro,

87
00:04:26,130 --> 00:04:28,170
para reforçar que faremos

88
00:04:28,170 --> 00:04:30,430
a integral de z primeiro.

89
00:04:30,430 --> 00:04:32,010
Faremos y em seguida.

90
00:04:32,010 --> 00:04:34,200
E por último x.

91
00:04:34,200 --> 00:04:37,090
Então, essa integral,
do jeito que escrevi,

92
00:04:37,090 --> 00:04:42,110
calcula o volume de uma coluna,
para qualquer valores de x e y.

93
00:04:42,110 --> 00:04:45,240
Ela é uma função de x e y,
mas como estamos lidando

94
00:04:45,240 --> 00:04:47,130
com todas as constantes aqui,

95
00:04:47,130 --> 00:04:48,600
esse valor será
uma constante.

96
00:04:48,600 --> 00:04:50,580
Ele representa o valor constante

97
00:04:50,580 --> 00:04:53,370
do volume de cada 
uma dessas colunas.

98
00:04:53,370 --> 00:04:56,470
Essencialmente, equivale 
a duas vezes dy vezes dx.

99
00:04:56,470 --> 00:04:59,380
Pois a altura dessa
coluna é dois.

100
00:04:59,380 --> 00:05:03,710
Sua largura e profundidade
são dy e dx.

101
00:05:03,710 --> 00:05:06,570
E se queremos calcular o valor
de uma coluna inteira?

102
00:05:06,570 --> 00:05:09,270
-- até aqui descobrimos apenas
a altura de uma coluna.

103
00:05:09,270 --> 00:05:11,300
Para isso somamos agora
todas as colunas

104
00:05:11,300 --> 00:05:13,730
na direção do eixo y.

105
00:05:13,730 --> 00:05:15,710
Para somar as colunas 
na direção de y


106
00:05:15,710 --> 00:05:20,340
usamos essa outra integral,
para a soma dos valores em y.

107
00:05:20,340 --> 00:05:25,760
Y assume valores 
entre zero e quatro.

108
00:05:25,760 --> 00:05:29,760
Escrevi essa integral muito para esquerda.
Mas acho que vocês entenderam.

109
00:05:29,760 --> 00:05:33,600
Y é igual a zero, até y é igual a quatro.

110
00:05:33,600 --> 00:05:37,200
E isso nos dará o volume de um plano

111
00:05:37,200 --> 00:05:40,120
paralelo ao plano zy.

112
00:05:40,120 --> 00:05:45,860
E então somamos alguns
desse planos na direção x

113
00:05:45,870 --> 00:05:48,040
e teremos o volume de toda a figura.

114
00:05:48,060 --> 00:05:50,190
Então, somamos 
os planos

115
00:05:50,190 --> 00:05:51,750
na direção de x,

116
00:05:51,750 --> 00:05:56,750
para valores de x 
entre zero e três.

117
00:05:56,750 --> 00:05:58,660
Esse é um cálculo

118
00:05:58,660 --> 00:05:59,690
bem simples e direto.

119
00:05:59,690 --> 00:06:03,020
Primeiro, calculamos a integral de z.

120
00:06:03,020 --> 00:06:05,090
Não temos nenhuma
constante aqui, mas

121
00:06:05,090 --> 00:06:07,270
podemos assumir
que seja igual a um.

122
00:06:07,270 --> 00:06:09,720
Isto é, dz vezes dy
vezes dx equivale a

123
00:06:09,720 --> 00:06:12,940
um vezes dz vezes
dy vezes dx.

124
00:06:12,940 --> 00:06:15,150
Então qual é 
o valor dessa integral?

125
00:06:15,150 --> 00:06:20,330
Bom, a antiderivada 
de um relativa a z é z, correto?

126
00:06:20,330 --> 00:06:22,900
Pois a derivada de z
é igual a um.

127
00:06:22,900 --> 00:06:27,570
Calculamos isso para
o intervalo entre dois e zero.

128
00:06:27,570 --> 00:06:30,210
Dois menos zero.

129
00:06:30,210 --> 00:06:32,630
O que é igual a 2.

130
00:06:32,630 --> 00:06:34,390
Em seguida integramos em y,

131
00:06:34,390 --> 00:06:36,733
para y entre zero e quatro,

132
00:06:36,733 --> 00:06:38,096
vezes dy.

133
00:06:38,096 --> 00:06:39,730
E aqui temos x.

134
00:06:39,730 --> 00:06:45,356
De x igual a zero,
à x igual a três dx.

135
00:06:45,356 --> 00:06:48,660
Observe que após termos 
integrado com relação a z,

136
00:06:48,660 --> 00:06:50,360
ficamos com uma integral dupla.

137
00:06:50,360 --> 00:06:53,600
E essa integral dupla é a mesma que


138
00:06:53,600 --> 00:06:55,780
vimos nos vídeos
anteriores sobre este tema,

139
00:06:55,780 --> 00:06:59,520
na quais z era uma
função de x e y.

140
00:06:59,520 --> 00:07:01,880
Portanto, poderíamos
ter escrito z como função

141
00:07:01,880 --> 00:07:04,440
de x e y, onde
z é sempre igual a dois.

142
00:07:04,440 --> 00:07:05,640
Z é uma função constante,

143
00:07:05,640 --> 00:07:06,980
independente de x e y.

144
00:07:06,980 --> 00:07:09,210
Se tivéssemos definido
z dessa forma,

145
00:07:09,210 --> 00:07:11,295
e calculado
o volume abaixo

146
00:07:11,295 --> 00:07:16,520
da superfície z igual a dois -
veja aqui a superfície -

147
00:07:16,520 --> 00:07:17,910
teríamos chegado aqui.

148
00:07:17,910 --> 00:07:19,180
Com a integral tripla,

149
00:07:19,180 --> 00:07:21,030
não foi nada diferente.

150
00:07:21,030 --> 00:07:23,380
Você pode estar se perguntando,
por que as usamos?

151
00:07:23,380 --> 00:07:25,930
Vou te mostrar isso um momento.

152
00:07:25,930 --> 00:07:28,320
Continuando, para calcular isso

153
00:07:28,320 --> 00:07:30,330
tomamos a antiderivada de y,

154
00:07:30,330 --> 00:07:33,760
que equivale a dois y.

155
00:07:33,760 --> 00:07:38,530
Temos dois y calculados
para quatro e zero.

156
00:07:38,530 --> 00:07:41,150
Isto é, dois vezes quatro.

157
00:07:41,150 --> 00:07:42,540
Então, oito menos zero.

158
00:07:42,540 --> 00:07:46,070
Em seguida integramos isso

159
00:07:46,070 --> 00:07:48,340
em relação a x entre zero e três.

160
00:07:48,340 --> 00:07:52,470
Isso dá oito x, entre zero e três.

161
00:07:52,470 --> 00:07:55,430
O que é igual a 24 unidades cúbicas.

162
00:07:55,430 --> 00:07:59,780
A pergunta óbvia é então:
para que serve a integral tripla?

163
00:07:59,780 --> 00:08:02,900
Bom, quando 
temos um volume

164
00:08:02,900 --> 00:08:05,710
limitado por um
valor constante,

165
00:08:05,710 --> 00:08:08,230
você só precisaria realmente
da integral dupla.

166
00:08:08,230 --> 00:08:11,180
Mas e se eu dissesse
que o objetivo

167
00:08:11,180 --> 00:08:13,670
não é saber o volume
dessa figura geométrica?

168
00:08:13,670 --> 00:08:16,550
O objetivo é calcular a
massa dessa figura geométrica.

169
00:08:16,550 --> 00:08:19,170
E mais ainda, 
suponha que a massa

170
00:08:19,170 --> 00:08:23,670
dessa figura, área, ou volume,
não seja uniforme.

171
00:08:23,670 --> 00:08:28,190
Se a massa fosse uniforme,
bastaria multiplicar

172
00:08:28,190 --> 00:08:31,240
a sua densidade uniforme
pelo seu volume, para obter essa massa.

173
00:08:31,240 --> 00:08:33,040
Suponha que a
densidade seja variável.

174
00:08:33,040 --> 00:08:35,850
Por exemplo, o
volume de um gás,

175
00:08:35,850 --> 00:08:39,070
ou de um material
composto por substâncias variadas.

176
00:08:39,070 --> 00:08:42,370
Digamos que a densidade seja
uma função variável.

177
00:08:42,370 --> 00:08:43,240
de x, y e z.

178
00:08:43,240 --> 00:08:47,650
E que a densidade,
representada pelo símbolo ró,

179
00:08:47,650 --> 00:08:50,180
que se parece um p
e é usado na Física densidade,

180
00:08:50,180 --> 00:08:53,880
seja uma função 
de x, y e z.

181
00:08:53,880 --> 00:08:58,370
Para simplificar, vamos fazer
x vezes y vezes z.

182
00:08:58,370 --> 00:09:06,020
Para calcular a massa de
qualquer volume pequeno aqui,

183
00:09:06,020 --> 00:09:08,440
multiplicamos esse volume
pela densidade, certo?

184
00:09:08,440 --> 00:09:12,190
Sabe-se que a unidade 
usada para densidade

185
00:09:12,190 --> 00:09:13,590
é quilograma por
metro cúbico.

186
00:09:13,590 --> 00:09:16,400
Multiplicando-se por metros cúbicos, 
temos quilogramas.

187
00:09:16,400 --> 00:09:22,480
Vamos denotar a massa por d.

188
00:09:22,480 --> 00:09:27,510
d não é uma função, por isso
não queremos parênteses aqui,

189
00:09:27,510 --> 00:09:30,490
Portanto, para uma massa
bem pequena,

190
00:09:30,490 --> 00:09:35,870
isso equivale à sua densidade 
neste ponto, que é xyz,

191
00:09:35,870 --> 00:09:39,710
vezes o volume dessa 
massa diferencial.

192
00:09:39,710 --> 00:09:42,910
Vamos denotar o volume 
dessa massa pequena por dv.

193
00:09:42,910 --> 00:09:47,680
Sabemos que dv equivale
ao produto

194
00:09:47,680 --> 00:09:49,670
da largura pela altura pela profundidade.

195
00:09:49,670 --> 00:09:52,350
Contudo dv não é sempre 
o produto de dx, dy e dz.

196
00:09:52,350 --> 00:09:54,000
Trabalhando com
outras coordenadas,

197
00:09:54,000 --> 00:09:57,670
coordenadas polares, por exemplo,
dv será diferente.

198
00:09:57,670 --> 00:09:59,060
Veremos casos assim em breve.

199
00:09:59,060 --> 00:10:00,443
Se queremos calcular a massa,

200
00:10:00,443 --> 00:10:02,206
e como as coordenadas
são retangulares,

201
00:10:02,206 --> 00:10:04,770
isso equivale à função
densidade nesse ponto,

202
00:10:04,770 --> 00:10:07,350
multiplicado
pelo volume diferencial.

203
00:10:07,350 --> 00:10:11,520
vezes dx vezes dy vezes dz.

204
00:10:11,520 --> 00:10:13,870
Obviamente podemos
mudar a ordem dos termos.

205
00:10:13,870 --> 00:10:16,046
Portanto, quando você quer
calcular o volume--

206
00:10:16,046 --> 00:10:19,060
--para calcular a massa--
o que farei no próximo vídeo,

207
00:10:19,060 --> 00:10:21,550
você terá que integrar essa função aqui.

208
00:10:21,550 --> 00:10:26,690
Ao invés de simplesmente
uma sobre z, y e x.

209
00:10:26,690 --> 00:10:28,410
Faremos isso no próximo vídeo.

210
00:10:28,410 --> 00:10:30,190
Você verá que isso
envolve basicamente

211
00:10:30,190 --> 00:10:34,300
calcular antiderivadas e evitar
erros por descuido.

212
00:10:34,300 --> 00:10:36,920
Até o próximo vídeo!

213
00:10:36,920 --> 00:10:40,300
Legendado por Maria Oberlander
Revisado por Clara Nascimento Silva